HPM視角下“字母表示數”的教學設計

吳曉瓊

摘要：HPM是數學史與數學教育的簡稱。字母表示數的發展經歷了三個階段，修辭代數、縮略代數、符號代數，是從算式過渡到代數的標志，本設計從數學史的角度出發，對教學進行重構，改善當前教學的不足之處。

關鍵字：HPM 字母表示數

教學內容：北師大版四年級下冊第61-62頁

教學目標：結合具體情景，會用字母表示數和數量關系;經歷探索用字母表示數的過程，體會字母表示數的必要性。

一、情境導入，逐步建構

1.?親歷字母表示數的抽象概括過程

數青蛙兒歌：1只青蛙4條腿，2只青蛙8條腿……

問題：1只青蛙幾條腿？2只青蛙幾條腿，算式是怎樣？

生：1×4=4，2×4=8。

師依次詢問3只，4只，5只青蛙的腿數，生依次回答。

師：這幅圖還有幾只青蛙，它的腿數又是多少呢？

生：無數只青蛙和無數條腿。

師：接下來舉行個比賽，半分鐘的時間，用算式來表示青蛙的腿數，要求如下：（1）從第6只青蛙開始寫;（2）只寫算式，不寫答案;（3）算式豎著對齊。（活動一）

問題2：觀察寫的算式，這些算式有什么特點？

生：一個乘數是4，另一個乘數在不斷的變大。

師：寫得完嗎？為什么？

生：寫不完。因為青蛙的只數不確定，青蛙越來越多。

師：青蛙的腿數怎么表示呢？用自己喜歡的方法表示在學習單上（活動二）。

（1）情況一：不知道怎么表達青蛙的只數，用文字“無數”代替。

（2）情況二：用特殊的符號、圖形，會發現寫不完，數量關系體現不出來。

（3）情況三：用字母N表示青蛙，用字母B表示腿數，N×B為青蛙的腿數，忽略了青蛙的腿數是確定的4只。N=青蛙，B=腿數，N×B

（4）情況四：用字母表示青蛙的只數。n只青蛙n×4條腿

師：你們覺得那種表示方法更好，為什么？

生：字母。字母可以表示未知的青蛙數，是不確定的，方便快捷地表示出關系。

【設計意圖】活動一讓學生親歷寫不完的過程，急需一種新的表示方法來表示數量間的關系。而活動二讓學生用自己喜歡的方式進行表達，學生的表達方式也正是字母表示數的發展歷程--修辭代數（文字）、縮略代數（特殊的符號）、符號代數（字母），通過比較，用字母表示數更方便簡潔。

2.?體會含有字母的式子即表示特定的數量關系也表示結果

師：請問你今年多少歲？生：10歲。

師：老師比你們大17歲，老師多少歲？生：27歲。

師：如何用算式表示？生：10+17。

師：明年你們上五年級了，老師又多少歲？生：11+17。

師：日子一天天過去，你們每年大一歲，老師也每年大一歲，怎么表示老師與你們之前的年齡關系呢？

生：可以用字母表示，我們n歲，老師就n+17歲。

師：n是什么意思？生：n是我們的歲數。

師：是固定的嗎？生：不是，n在變化。

師：這個式子表示出了老師與你們的年齡差關系，也就是說含有字母的式子可以表示兩個數之間的關系，對嗎？生：對！

【設計意圖】學生已經歷過字母表示數的過程，因而在這一環節由教師的引導可抽象概括出字母可以表示特定的數量關系，也再次體會用字母表示數的必要性及簡潔性，滲透函數思想^[2]。

二、編故事，鞏固建構

主角1：5×a

師：接下來，老師給大家帶來一個有意思的活動----“編故事”。主角1是“5×a”，老師先示范個例子。（隨意走到學生的書桌，拿起他的筆），如果一只筆a元，那么5×a就是---

生：5只筆的錢。師：并且還是5只相同的筆的錢。

[學生活動]小組內互編故事。師巡堂，引導說出不同的故事主體，如價錢、人數、重量等，尋找好故事。

生1：一個盒子里有a塊巧克力，5個盒子就有5×a塊巧克力。

生2：我有5本書，每本書都是a元，5本書就是5×a元

生3：一個教室里有5個人，5間教室就有5×a個人……

師：同學們都說得非常好，這樣的例子說得完嗎？

生：說不完！

師：是的，世界上只要兩個量之間是有5倍關系的，都可以用5×a概括進來！

主角2：8+b

師：（隨意挑選教室的物體）這本書8元，數學書比它貴b元，數學書就是---生齊答8+b元，快快開始吧。

生4：我今年b歲，姐姐比我大8對，姐姐今年8+b歲

生5：我有8只筆，我同桌比我多b只筆，同桌有8+b只筆。

生6：我站在b層樓，媽媽站在比我高8層樓的地方，媽媽站在8+b層樓。

【設計意圖】通過前面的學習，學生已了解可以用字母表示數，而這一環節是為了鞏固建構，充分發揮學生的想象力，體會到兩個量存在倍數關系，或特定關系的，都可以用含有字母的式子來表示。

三、?歷史回溯，介紹字母表示數的歷史

師：大家把故事說得如此的豐富多彩，接下來老師給大家介紹字母表示數的歷史吧！

師：在歷史上，人們一開始是用文字表示數量與數量之間的關系的，比如

[課件展示]文字---每個重量×5，每個價錢×5，每班人數×5。

師：用文字表達，顯然比字母繁瑣冗長，因此古希臘的數學家丟番圖想到了用特殊的符號---“縮寫”來表示數量間的關系。

[課件展示]特殊的符號---“縮寫”，丟番圖，并把“重”，“價”，“人”標紅，轉化成“z×5”，“j×5”，“r×5”。

師：仿照丟番圖的方法，我們取每個數量關系的首字母，如每個重量，重量取z，那么價錢取---j，人數取---r

師：但是這里的字母都表示特定的意思，不能把j×5和r×5混淆起來，因此這種方法并沒有給數學家們研究數學帶來便利。一直到了17世紀，法國數學家韋達想，如果把情景中固定的意思去掉的話，不就是5和一個數量相乘嗎？

[課件展示]“z×5”，“j×5”，“r×5”，依次變成“□×5”

師：因為字母表示起來更方便，韋達就把“□×5”表示成了“a×5”，這里的字母與□一樣，就是一個符號，自從韋達把字母當做符號使用后，代數學得到了快速地發展，韋達也被稱為“近代代數學之父”。

師：同學們，你們知道從丟番圖用“縮寫”表示數一直到韋達用字母表示數經歷了多長時間嗎？

師：經歷了一千兩百多年的時間呢，老師知道同學們還存在著困惑，別著急，數學家們用了上千年才認識字母可以表示數，我們才用了一節課呢。

【設計意圖】以簡潔的語言介紹字母表示數的歷史，修辭代數---用文字表示，縮略代數---丟番圖，符號代數---韋達，感受數學文化的魅力，豐富情感價值。

四、?鞏固小結（略）

參考文獻

[1]汪曉勤，栗小妮.數學史與初中數學教學----理論、實踐與案例[M].華東師范大學出版社，2019：101-103.

[2]蔡宏圣.數學史走進小學數學課堂：案例與剖析[M].北京：教育科學出版社，2016：22