用幾何畫板培養學生幾何直觀核心素養
——以“成對出現的特殊三角形”片段教學為例

◎ 熊家燦

一、直觀是抽象的基礎

我們知道,直觀想象是發現問題的基礎,也是邏輯推理、數學抽象的思維基礎。高水平的幾何直觀的養成,主要依賴于學生參與的幾何活動,包括觀察、操作(例如折紙、展開、折疊、切截、拼擺等)、判斷、推理等。此外教師培養學生幾何直觀能力的自覺意識不足,在題目講解過程中失去了很多寶貴的培養契機,哪些類型題目的學習適合培養學生的幾何直觀能力? 如何利用解題教學培養學生的幾何直觀能力? 學生的接受能力如何? 用什么方式進行幾何直觀?

幾何畫板無疑在幾何直觀教學中成了最出色的軟件之一,可以為教師提供便捷的平臺,能夠動態展示對象的位置關系,變化規律,也能快速額驗證數學猜想,有利于促進學生通過數學實驗發現問題與提出問題,有利于提升學生的直觀想象素養。

二、數學問題幾何直觀化

1.再現問題.已知:如圖(1) △ABC是等邊三角形,∠AOC=∠AOB=60°求證:OA=OB+OC

2.知識解讀.在八年級學習完三角形的證明以及圖形的旋轉與平移后,關于三角形的運動問題隨處可見,這個問題,看似“不動”,但要證明這三條線段的數量關系,必須要改變至少一條線段的位置,因此本題中體現了“動”。同時題目條件中蘊含了一個等邊三角形以及兩個60°角。如何去變換,顯得尤為重要。那么此時幾何直觀的核心素養在該類問題中就得以充分的體現,因此選取該題培養初中生的數學核心素養。

三、教學片段設計

1.教學目標制定

(1)探索并掌握成對出現的等邊三角形共頂點時所帶來的結論;(2)能夠總結出成對出現的等邊三角形共頂點時,產生全等三角形及相等線段、相等夾角的本質原因;(3)經歷探索——發現——猜想——證明的過程,豐富數學活動經驗,發展相應的能力,并回顧起本章所學的知識內容;(4)通過問題的探究,能夠舉一反三,解決相關問題,發展數學應用意識;(5)借助幾何畫板,通過幾何直觀,把復雜的問題變得簡明、形象,培養數學核心素養。

2.教學過程設計

第一環節:成對出現的等邊三角形

先觀察圖形(2)特點,讓學生總結出圖形具備的特點,可能變化的情況,并連接AE,BD.

當等邊三角形ABC與等邊三角形CDE共頂點C時,總結出相 關 結論:(1) △ACE?△BCD;BD=AE;(3) ∠AFB=60°;

設計意圖:讓學生觀察圖形,在得出結論過程中,讓學生自主發揮,給予學生一定的發展空間,同時更能充分觀察圖形特點,得出相關結論。

以先猜想后證明,再應用的思路進行。借助幾何畫板可以精準作圖,幫助學生能夠正確猜想,同時要求學生精準作圖。其次,通過幾何畫板可以幫助同學們感受圖形在變化過程中的不變關系,進而探索出解決問題的思路。

第二環節:問題解決。已知:如上圖(1) △ABC是等邊三角形,∠AOC=∠AOB=60°,求證:OA=OB+OC

證法一:構造等邊三角形△BOD

將線段OA繞點A順時針旋轉60,與線段OB相較于點D,因為△ABC是等邊三角形,所以AB=AC,∠BAC為60°,因為△BOD是等邊三角形,所以AD=AO,∠DAO為60°,因為∠BAD=60°-∠DAP,∠CAO=60°-∠DAP,所以∠BAD=∠CAO,所以△BAD?△CAO,所以BD=OC,因為OD=OA,所以OB=OD+DA=OA+OC.

證法二:構造等邊三角形△COD

將線段OC繞點C逆時針旋轉60°,與線段OB相較于點D,因為△ABC是等邊三角形,所以CB=CA,∠ACB為60°,因為△COD是等邊三角形,所以CD=CO,∠DCO為60°,因為∠BCD=60°-∠DCA,∠ACO=60°-∠DCA,所以∠BCD=∠ACO,所以△BDC?△ACO,所以BD=OA,因為OC=OD,所以OB=OD+DB=OA+OC.

方法三:構造等邊三角形△CDD

將線段OC繞點O逆時針旋轉60°得線段OD,連接CD,因為△ABC是等邊三角形所以CB=CA,∠ACB為60°,因為△COD是等邊三角形,所以CD=CO,∠OCD為 60°,因 為∠BCO=60°+∠ACO,∠ACD=60°+∠ACO,所以∠BCO=∠ACD,所以△BDO?△ACD,所以OB=AD,因為OC=OD,所以OB=AD=OA+OD=OA+OC.

設計意圖:通過本題,培養學生的幾何直觀素養以及先觀察、猜想再證明的幾何直觀能力。

四、抽象是直觀的升華

該問題的研究還可深入至兩個等腰直角三角形共頂點、兩個等腰三角形共頂點、兩個正方形共頂點,同時兩個正方形共頂點,若夾角為90°,那么該圖形還可用于證明勾股定理。充分體現一圖多變,一題多解,幾何圖形相互聯系的特點。直觀想象核心素養,所為初中數學學科核心素養之一,能否有效提升,在一定程度上直接影響著數學抽象、邏輯推理、運算能力等核心素養的培養和發展。換句話說,其他核心素養在一定程度上受限于直觀想象。提升核心素養,需要激發學生好奇心。合理利用信息技術,為學生深度學習提供了可能,為學生理解數學問題本質奠定了基礎,為提高課堂效率提供了可能,為提升幾何直觀核心素養奠定了基礎。