雙半圓柱平行電極系統(tǒng)的電場及其數(shù)值模擬

王福謙， 于學(xué)東

（四川西南航空職業(yè)學(xué)院機(jī)務(wù)學(xué)院，成都610400）

0 引 言

雙半圓柱平行電極系統(tǒng)常用于二維電化學(xué)電池電流和電致化學(xué)發(fā)光強(qiáng)度等問題的研究［1-2］，但對該電極系統(tǒng)本身的電場分布的討論，相關(guān)文獻(xiàn)還未見報道。本文擬將保角變換、理論計(jì)算及計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬相結(jié)合，研究雙半圓柱平行電極系統(tǒng)的電場，給出其電勢和場強(qiáng)分布函數(shù)，通過軟件Matlab繪制其電場線和等勢線圖，計(jì)算其兩極的最大場強(qiáng)，并分析其最大場強(qiáng)隨電極參數(shù)的變化規(guī)律。

利用保角映射將具有復(fù)雜邊界形狀的區(qū)域映射為簡單邊界形狀的區(qū)域［3-10］，將雙半圓柱平行電極及邊界所形成的復(fù)雜形狀邊界的區(qū)域變換為矩形域，則電極所形成的非均勻場就變換為均勻場，再將均勻場中得到的電勢分布函數(shù)反變換至原求解區(qū)域，便可得到雙半圓柱平行電極系統(tǒng)的電勢分布函數(shù)，繼而討論該電極的場強(qiáng)分布函數(shù)。

1 電勢分布與場強(qiáng)分布函數(shù)

有位于絕緣板上的兩平行放置的半圓柱電極，其邊界分別為Γ1和Γ2，半徑分別為r1和r2，電極間距為g，左、右兩電極的電勢分別為-φ0和φ0，其橫截面如圖1所示。

圖1 雙半圓柱平行電極的橫截面

因在垂直于雙半圓柱面母線的所有截面上的電場分布均相同，故本文所研究的電場為平行平面場。為方便地求出雙半圓柱平行電極的電場分布，通過保角變換將雙電極及邊界所形成的復(fù)雜形狀區(qū)域變換為矩形域［1］。通過分式變換函數(shù)

式中：

將圖1所示的區(qū)域變換為半圓環(huán)形區(qū)域，如圖2所示。再作如下的對數(shù)變換

圖2 保角變換后半圓環(huán)區(qū)域

將如圖2所示的區(qū)域變換為矩形區(qū)域，且兩半圓柱電極映射矩形的左右兩個邊，如圖3所示。

圖3 變換后矩形區(qū)域

由變換式（1）、（2）可得

因在ζ平面上變換后的兩電極之間的電場為均勻電場，則在該平面上兩電極之間的電勢分布為

將式（3）、（4）代入式（5），得

式（7）為雙半圓柱平行電極所形成電場的電勢函數(shù)表達(dá)式。 Δ

由場強(qiáng)與電勢的微分關(guān)系E=-φ，利用式（7）可得

式（8）為雙半圓柱平行電極電場的場強(qiáng)分布函數(shù)表達(dá)式。

2 場分布的數(shù)值模擬及電極形狀蛻變的特殊情形的討論

2.1 場分布的數(shù)值模擬

為給出雙半圓柱平行電極的電場分布圖的直觀圖像，以驗(yàn)證本文所得結(jié)論的正確性，下面用軟件Matlab對該電場分布進(jìn)行數(shù)值模擬，其三維電勢分布圖和橫截面上的電場線和等勢線的分布見圖4、5（取U=100 V）。由圖5可見：電場線與等勢線及導(dǎo)體邊界均垂直，場線分布正確，為預(yù)期結(jié)果。

圖4 雙半圓柱平行電極的電場三維電勢分布（r1=10 m，r2=8 m，g=5 m，U=100 V）

圖5 雙半圓柱平行電極的電場（r1=10 m，r2=8 m，g=20 m，U=100 V）

2.2 幾種特殊情形的電場分布

當(dāng)雙半圓柱平行電極間的距離g=20 m，U=100 V，電極半徑取一些特殊值時，可得到幾種特殊情形下的電場分布，現(xiàn)討論如下：

（1）當(dāng)r1=r2=10 m時，此情形的電場為兩半徑相等的雙半圓柱平行電極的電場（見圖6）；

圖6 等半徑的雙半圓柱平行電極的電場

（2）r1=10 m、r2=0.01 m時，此情形的可視為帶電半圓柱荷和與之平行的線電荷所形成的電場（見圖7）；

圖7 半圓柱與平行線電荷所形成的電場

（3）當(dāng)r1=r2=0.001 m時，此情形的電場可視為放置在絕緣平面上的兩平行線電荷所形成的電場（見圖8）。

圖8 置于絕緣平面上的平行線電荷所形成的電場

兩半徑相等的雙半圓柱平行電極的電場、帶電半圓柱荷和與之平行的線電荷所形成的電場及放置在絕緣平面上的兩平行線電荷所形成的電場，均為本文所討論問題的特例，本文的研究結(jié)論具有一定的普遍性。

3 電極電場的最大場強(qiáng)分析

3.1 電極電場的最大場強(qiáng)

雙半圓柱平行電極底部邊緣的曲率最大，再結(jié)合場分布模擬結(jié)果（見圖5），知其場強(qiáng)最大處位于兩半圓柱底部相對處的A、B兩點(diǎn)，如圖9所示。

圖9 雙半圓柱平行電極的電場強(qiáng)度最大位置處A、B

對于電極Γ1右側(cè)底部A處，有x=r1，y=0，由式（8），得

對于電極Γ2左側(cè)底部B處，有x=r1+g，y=0，由式（8），得

3.2 EA、EB隨r1、g及r2變化變化規(guī)律

圖10、11所示分別為用軟件Matlab描繪出EA、EB隨r1、g及r2變化的圖像，實(shí)現(xiàn)了EA、EB隨r1、g及r2變化規(guī)律的可視化。

圖10 E A隨r1、g、r2的變化趨勢

由圖10可見，當(dāng)g和r2保持不變時，隨著r1的增大，電極A處的曲率邊小，電荷面密度減小，其表面附近的場強(qiáng)EA也減小；由圖11可見，當(dāng)r1和r2保持不變時，隨著g的增大，A處的電荷面密度減小，其表面附近的場強(qiáng)EA也減小；由圖12可見，當(dāng)r1和g保持不變時，隨著r2的增大，A處的電荷面密度增大，其表面附近的場強(qiáng)也增大，且r2增至較大值時，EA隨r2緩慢增加，并趨于一個確定值。由圖13～15可見，EB隨r1、g和r2的變換規(guī)律與EA相同。

圖11 EB隨r1、g、r2的變化圖像

4 結(jié) 語

本文將保角變換、理論計(jì)算及計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬相結(jié)合，研究了雙半圓柱平行電極系統(tǒng)的電場，得到了其電勢分布和場強(qiáng)分布函數(shù)，并利用Matlab軟件對場分布進(jìn)行了數(shù)值模擬，給出了場分布的直觀圖像，為邊界形狀復(fù)雜的電極的電場分布問題的求解提供了一種新的方法，在科研上具有一定的理論意義和實(shí)用價值。