幾何證明(1)
——教學設計

王安華

(山東省寧陽縣第六中學 271412)

課題：專題復習—幾何證明(1)

一、教學目標

1.通過例題探究學習，掌握證明線段相等的基本方法.

2.通過例題探究學習，總結添加輔助線的基本方法.

3.通過一題多解，培養學生分析問題、轉化以及綜合運用能力.

4.培養學生推理能力，提高學生思維水平.

二、教學重點

構造全等三角形，證明兩條線段相等.

三、教學難點

添加輔助線.

四、教學準備

幾何畫板課件.

五、教學過程

1.知識回顧(6分鐘)

(1)哪些定理可以幫助我們證明兩條線段相等？(學生回憶后，部分同學展示，3分鐘)

主要有：全等三角形的對應邊相等，等角對等邊，平行四邊形的對邊相等，角的平分線的性質，線段垂直平分線的性質等.

(2)等腰三角形、等邊三角形有什么性質？(學生回憶，部分同學展示，3分鐘)

設計意圖：(1)通過回憶相關定理，為學生證明線段相等提供方向.

(3)回憶等腰三角形、等邊三角形性質為例題學習提供基本知識和儲備.

2.新課學習(約27分鐘)

(1)新課引入：今天我們通過一個例題，來學習證明線段相等的一般方法.

(2)出示例題(課件出示)

例題如圖1，△ABC是等邊三角形，D是邊AB上一點，E是CB延長線上一點，且DE=DC，求證：AD=BE

(3)學生自主探究：(8分鐘)

設計意圖：給學生8分鐘的思考時間，充分發揮學生的主體地位，讓學生先獨立思考，找到自己的解決辦法，培養學生獨立思考能力.

(4)小組討論(5分鐘)

設計意圖：小組討論5分鐘，在組內展示自己的方法，獲得成功感，借鑒其他同學思路、方法，提高思維能力，同時幫助有困難的同學解決問題

(5)小組展示(教師根據小組討論情況選擇發言)：(約5分鐘)要求學生重點展示方法(怎么做)和思路分析(為什么這么做，你是怎么想到的這個辦法？)

(6)教師點評(7分鐘)

教師根據學生展示情況，做好預設

①若學生出現預設方法中作等邊三角形一邊的平行線，引導學生思考在其他位置作平行線，得到不同構圖方法并總結.(作等邊三角形一邊的平行線，和另外兩邊相交，又會出現一個等邊三角形，得到線段相等)

②若學生方法中出現了教師預設中的方法4或方法5，引導學生對這種方法進行思路分析，獲得直接構造三角形全等的方法經驗.

③對于教師預設方法6，根據課堂情況進行選擇，若學生證明方法中出現，讓學生重點介紹方法選擇的思路源泉，給其他學生以啟迪.若學生證明方法中未出現，教師課根據課堂時間靈活掌握(或課下出示給學生).

例題解析：

方法1如圖2，作DM∥BC,與AC相交于點M.

①證明△ADM是等邊三角形，得到AD=DM

②證明△BDE≌△MCD得到BE=DM

由①②得到BE=AD

方法2如圖3，作DM∥AC，與BC相交于點M.

②證明△BDE≌△MDC,得到BE=CM

由①②得到BE=AD

方法3如圖4作EM∥AC,與AB延長線相交于點M.

①證明△EBM是等邊三角形，得到BE=EM

②證明△EDM≌△DCA得到EM=AD

由①②得到BE=AD

方法4如圖5，作DM⊥AC,EN⊥AB，垂足分別是M，N.

證明△CDM≌△DEN，得到DM=EN

①證明△ADM≌△BEN得到BE=AD

(思路分析：構造要證明的兩線段所在的直角三角形全等)

方法5如圖6，在CA延長線上取一點M，使DM=DC，(或以D為圓心畫弧，交CA延長線于點M)證明△BED≌△AMD

(思路分析：構造要證明的兩線段所在的三角形全等)

方法6如圖7，作DN⊥BC,垂足為N，交CA延長線于M，連接EM

①證明AM=AD(思路源于魯教版七下110頁習題10.7知識技能1題)

②利用DN是EC的垂直平分線(三線合一)得到ME=MC,進一步得到AM=BE

由①②得到BE=AD

3.變式練習(10分鐘)

(變式練習可根據前面例題完成情況出示或改為課下練習.)

如圖8，△ABC是等邊三角形，D是邊AB延長線上一點，E是CB延長線上一點，且DE=DC，求證：AD=BE

4.課堂總結(2分鐘)

今天你有哪些收獲？

(重點引導學生總結：①證明線段相等的方法，②構造全等三角形的方法，③作等腰三角形一邊的平行線與另兩邊相交，有什么作用？)

5.布置作業

(2015年煙臺中考試題)如圖9，已知△ABC是等邊三角形，點E在線段AB上，點D在直線BC上，且DE=EC，將△BCE繞點C順時針旋轉60°至△ACF，連接EF.試證明：AB=DB+AF.