改進的猶豫模糊語言熵的一般公式與生成算法

黃 林，袁修久

空軍工程大學 基礎部，西安710051

在實際決策中，由于問題的繁雜性和認識的局限性，專家用定性的語言術語進行方案評價可能更為直觀易懂。Zadeh[1]首先提出了模糊語言法，用自然語言來表達人們的定性決策信息。借鑒Torra[2]提出的猶豫模糊集，Rodriguez等[3]提出了猶豫模糊語言術語集的概念，其語言變量的取值為語言術語集的一個有序且連貫的子集。Rodriguez等[4]研究了猶豫模糊語言術語集的基本運算性質，給出了將自然語言轉化為猶豫模糊語言術語集的方法。Liao等[5]給出了猶豫模糊語言術語集的數學表達形式，并研究了其相關系數。Wang等[6]拓展了猶豫模糊語言術語集的概念，取消了語言術語項必須連續的限制，提出了擴展的猶豫模糊語言術語集的概念。

猶豫模糊語言信息基于人們給出的語言術語，靈活、全面地反映決策者的真實偏好，廣泛應用于項目管理、能力評估[7]、模式識別[8]、醫療診斷[5]、多屬性決策[9-10]等領域。為了刻畫猶豫模糊語言信息的不確定性，猶豫模糊語言術語集的信息測度被引入到了多屬性決策等應用中。猶豫模糊語言信息測度，包括距離、相似度和熵等。猶豫模糊語言術語集的相似度主要用來識別和評價不同的猶豫模糊語言信息。猶豫模糊語言術語集的熵主要用來度量猶豫模糊語言信息的不確定性程度。

目前，一些學者對猶豫模糊語言術語集的信息測度進行了研究。Liao等[11]提出了一系列猶豫模糊語言術語集的距離和相似度；Farhadinia[12]研究了猶豫模糊語言術語集的熵、相似度和距離間的關系，提出了猶豫模糊語言術語集的熵、相似度和距離的具體公式；Tang等[13]研究了猶豫模糊語言術語集的包含測度及其在聚類算法中的應用；Gou等[14]研究了猶豫模糊語言術語集與猶豫模糊集的關系及轉換函數，提出了多種猶豫模糊語言術語集的熵和交叉熵。

然而，現有的擴展猶豫模糊語言術語集的熵無法區分與補集相等的猶豫模糊語言術語集的不確定性，并且在刻畫猶豫模糊語言信息的不確定性時，對猶豫性考慮得相對較少，從而無法全面反映猶豫模糊語言信息的不確定性。

為了克服現有擴展猶豫模糊語言術語集的熵的不足，本文改進了擴展猶豫模糊語言術語集熵的定義，從模糊性和猶豫性兩方面來刻畫擴展猶豫模糊語言術語集的不確定性，根據文獻[14]的猶豫模糊語言術語集與猶豫模糊集的關系及轉換函數，分別定義了擴展猶豫模糊語言術語集的模糊熵和猶豫熵，給出了模糊熵和猶豫熵的一般公式與生成算法。并且為了描述擴展猶豫模糊語言術語集的整體不確定性，定義了一個擴展猶豫模糊語言術語集的總熵。

1 猶豫模糊語言術語集

定義1[15]設S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}為語言術語集，τ為正整數。其中，中間項語言術語s0表示評估值為“無偏差”，剩下的語言術語對稱地分布于中間項的兩邊，s-τ和sτ為該語言術語集的下界和上界。并且語言術語集S滿足：sk

例如評價方案的好壞時，當τ=3，下標對稱的七值語言術語集S可取：

定義2[15]設S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}為語言術語集，Hs={|xj∈X}為論域X={x1,x2,…,xn}上的猶豫模糊語言術語集（Hesitant Fuzzy Linguistic Term Set，HFLTS）。其中hs(xj)={s(i)(xj)|s(i)(xj)∈S,i=1,2,…,lj},lj為hs(xj)中語言術語的個數，hs(xj)為S中的一組連續的語言術語集合。稱hs(xj)為猶豫模糊語言術語元（Hesitant Fuzzy Linguistic Element，HFLE）。δi為語言術語s(i)(xj)的下標。

文獻[14]研究了猶豫模糊語言術語元和猶豫模糊元（Hesitant Fuzzy Element，HFE）兩者間的關系，定義了HFE與HFLE的兩個等價變換函數。

定義3[14]設S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}是語言術語集，hs={st|t∈[-τ,τ]}是一個HFLE，hγ={γ|γ∈[0,1]}是一個HFE，與語言變量st等價信息的隸屬度γ由以下函數獲得：

另外，通過以下函數得到與隸屬度γ等價信息的語言變量st：

其中，P([0,1])是[0,1]的冪集。

定義4[14]設S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}為語言術語集，hs(x)={s(i)|i=1,2,…,lx}是一個HFLE，則稱hˉs(x)=為hs的補。

擴展猶豫模糊語言術語集（Extended HFLTS，EHFLTS）的定義與HFLTS的定義類似，區別在于擴展猶豫模糊語言術語元（Extended HFLE，EHFLE）中的語言術語項取消了必須連續的限制。并且EHFLTS同樣滿足定義3和定義4。

為了便于計算擴展猶豫模糊語言術語集的熵和相似度，本文進行以下假設：

（1）一個EHFLE為hs(xj)，將hs(xj)中的語言術語按升序排列，s(i)(xj)表示hs(xj)中從小到大的第i個語言術語。

2 現有的擴展猶豫模糊語言術語集的熵的不足

本文指出了現有的擴展猶豫模糊語言術語集的熵存在的不足，并通過數值例子進行說明。

在文獻[14]中，Gou等提出的擴展猶豫模糊語言術語集的熵公式如下：

然而Gou等[14]提出的擴展猶豫模糊語言術語集的熵存在一些不足，下面通過例1詳細說明。

例1設S={st|t=-3,-2,-1,0,1,2,3}為一個語言術語集是論域X={x1,x2}上的兩個EHFLTS：

利用提出的熵公式得出：

例1說明了現有的擴展猶豫模糊語言術語集的熵公式，不能區分那些與補集相等的擴展猶豫模糊語言術語集的不確定性，會出現與實際不相符的情況。

此外，在文獻[12]中，Farhadinia提出的擴展猶豫模糊語言術語集的熵公式如下：

Farhadinia[12]提出的猶豫模糊語言術語集的熵公式，在刻畫猶豫模糊語言信息的猶豫度方面也存在著不足，不能全面地反映某些猶豫模糊語言術語集的不確定性。下面通過例2詳細說明。

例2設S={st|t=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}為一個語言術語集是論域X={x1,x2}上的兩個EHFLTS：

例2說明了現有的擴展猶豫模糊語言術語集的熵對猶豫模糊語言信息中的猶豫性考慮得相對較少，無法全面刻畫出猶豫模糊語言信息的不確定性，會出現結果與人們直覺不相符的情況。

3 改進的擴展猶豫模糊語言術語集的熵

現有的熵公式主要是根據文獻[14]和文獻[12]中的擴展猶豫模糊語言術語集的熵的公理化定義構造的，而現有熵公式的不足的根源是熵的公理化定義存在缺陷。

因此，為了克服現有的擴展猶豫模糊語言術語集熵的定義的缺陷，借鑒猶豫模糊元的二元熵[16]的思想，從模糊性和猶豫性兩方面來刻畫擴展的猶豫模糊語言術語集的不確定性，分別提出了擴展的猶豫模糊語言術語集的模糊熵和猶豫熵的公理化定義和一般公式。

3.1 擴展的猶豫模糊語言術語集的模糊熵

模糊熵的本質是刻畫擴展猶豫模糊語言術語集的模糊性，反映決策信息的模糊程度。根據定義3，給出了擴展猶豫模糊語言術語集的模糊熵的公理化定義。

定義5設S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}為語言術語集，Hs是論域X={x1,x2,…,xn}上的EHFLTS，hs(xj)={s(i)(xj)|i=1,2,…,lj}為Hs的EHFLE。若EF:Hs→[0,1]滿足：

則稱EF(Hs)為擴展的猶豫模糊語言術語集Hs的模糊熵。

3.2 擴展的猶豫模糊語言術語集模糊熵的一般公式

基于擴展猶豫模糊語言術語集的模糊熵的公理化定義，提出擴展猶豫模糊語言術語集模糊熵的一般公式。

定理1設S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}為語言術語集，Hs是論域X={x1,x2,…,xn}上的一個EHFLTS，hs(xj)={s(i)(xj)|i=1,2,…,lj}為Hs的EHFLE，設

其中cj為正實數，fi:[0,1]×[0,1]→[0,1]滿足：

（1）?x,y∈[0,1],fi(1-x,1-y)=fi(y,x)；

（2）fi(0,0)=0；

（3）fi分別關于x,y在[0,0.5]上嚴格遞增。

證明（1）若?x∈X,當g(hs(x))={0},即g(s(i)(x))=0，或者當g(hs(x))={1},即g(s(i)(x))=1,由于fi(0,0)=fi(1,1)=0，有

由EF(Hs)的定義，且D(0)=0，有

反之，當EF(Hs)=0，有

由D:[0,a]→[0,1]嚴格遞增，D(0)=0，有

由fi(0,0)=fi(1,1)=0,有g(s(i)(xj))=g(s(lj-i+1)(xj))=0,i=1,2,…,lj,即g(hs(x))={0}；或者g(s(i)(xj))=g(s(lj-i+1)(xj))=1,i=1,2,…,lj,即g(hs(x))={1}。

（2）當?x∈X，g(hs(x))={0.5}時，有

反之，當EF(Hs)=1，有

由D:[0,a]→[0,1]嚴格遞增，D(a)=1，有

可得EF(Hs)=EF(Hˉs)。證畢。

選取不同的函數fi和D，可以構造多種擴展的猶豫模糊語言術語集的模糊熵公式。滿足定理1條件的函數fi(x,y)和D(x)如下：

基于提出的擴展猶豫模糊語言術語集的模糊熵的一般公式，給出擴展猶豫模糊語言術語集的模糊熵的生成算法，步驟如下：

（1）選取具體的函數fi(x,y)和D(x)；

（2）驗證函數fi(x,y)和D(x)是否滿足定理1的條件；

（3）由定理1的擴展猶豫模糊語言術語集模糊熵的一般公式，生成具體的擴展猶豫模糊語言術語集的模糊熵公式。

利用本節提出的擴展猶豫模糊語言術語集的模糊熵公式，計算例1中的兩個擴展猶豫模糊語言術語集的熵，結果如表1所示。

表1 不同的模糊熵公式對應的的熵值Table 1 Entropy values of and corresponding to different fuzzy entropy formulas

表1 不同的模糊熵公式對應的的熵值Table 1 Entropy values of and corresponding to different fuzzy entropy formulas

?

由表1可以看出，無論采用哪種模糊熵公式，H1s的模糊熵都大于H2s的模糊熵，這與人們的直覺也是相一致的。

因此，本節提出的擴展猶豫模糊語言術語集的模糊熵很好地克服現有的熵的不足，充分反映了猶豫模糊語言信息的模糊程度，可以很好地區分與補集相等的擴展猶豫模糊語言術語集的不確定性。

3.3 擴展的猶豫模糊語言術語集的猶豫熵

猶豫熵的本質是刻畫擴展猶豫模糊語言術語元中的元素的離散程度，反映決策時專家評估的猶豫程度。擴展猶豫模糊語言術語元中的元素越分散，猶豫熵越大；反之，則猶豫熵越小。

參照文獻[17]，本文給出了擴展猶豫模糊語言術語集的猶豫熵的公理化定義。

定義6設S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}為語言術語集，Hs是論域X={x1,x2,…,xn}上的EHFLTS，hs(xj)={s(i)(xj)|i=1,2,…,lj}為Hs的EHFLE。若EH:H(S)→[0,1]滿足：

則稱EH(Hs)為擴展猶豫模糊語言術語集Hs的猶豫熵。

3.4 擴展的猶豫模糊語言術語集猶豫熵的一般公式

基于擴展猶豫模糊語言術語集的猶豫熵的公理化定義，提出了擴展猶豫模糊語言術語集猶豫熵的一般公式。

定理2設S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}為語言術語集，Hs是論域X={x1,x2,…,xn}上的EHFLTS，hs(xj)={s(i)(xj)|i=1,2,…,lj}為Hs的EHFLE，設

其中cj為正實數[0,1]滿足：

（1）fi(x,y)=0當且僅當x=y；

（2）fi(x,y)=1當且僅當{0,1}?{x,y}≠?；

（3）fi(x,y)=fi(1-y,1-x)；

（4）fi(x,y)≥fi(α,β)，若[0,1]。

證明（1）若?x∈X,g(hs(x))={m},其中m(0≤m≤1)為實數，有g(s(i)(xj))=(s(k)(xj))=m,i,k=1,2,…,lj；由fi(x,y)=0當且僅當x=y，有

由G(0)=0，有EH(Hs)=G(0)=0。

反之，當EH(Hs)=0，有

由G:[0,a]→[0,1]嚴格遞增，且G(0)=0，得

由fi(x,y)=0當且僅當x=y，可得出

即?x∈X，g(hs(x))={m}，其中0≤m≤1為實數。

（2）若?x∈X,g(hs(x))={0,1}，fi(x,y)=1當且僅當且G(a)=1，有EH(Hs)=G(a)=1。

反之，若EH(Hs)=1，有

由G:[0,a]→[0,1]嚴格遞增，且G(a)=1，有

若lj=2，由條件（2）可得到g(s(1)(xj))=0,g(s(2)(xj))=1，即g(hs(x))={0,1}。若lj≥2,假設lj=3,可得

則由前兩式有g(s(1)(xj))=0,g(s(2)(xj))=1,g(s(3)(xj))=1,并由第三式有g(s(2)(xj))=0,g(s(3)(xj))=1，由此得到的結果前后不一致。同樣地，可以證得lj>3時，其得到的結果也是前后不一致的。因此，只能取lj=2，即證得

則EH(Hs)=EH(Hˉs)。證畢。

選取不同的函數fi和G，可以構造多種擴展的猶豫模糊語言術語集的猶豫熵公式。滿足定理2條件的函數fi(x,y)和G(x)如下：

此外，還可以利用一個一元函數來構造滿足定理2的擴展猶豫模糊語言術語集的猶豫熵公式。

定理3設為一個語言術語集，Hs是論域X={x1,x2,…,xn}上的擴展猶豫模糊語言術語集，hs(xj)={s(i)(xj)|i=1,2,…,lj}為Hs的擴展猶豫模糊語言術語元，設

（1）M(x)=0當且僅當x=0；

（2）M(x)=1當且僅當x=1；

（3）M在[0,1]上單調遞增。

定理3的證明過程與定理2的證明過程類似。其中，令f(x,y)=M(| |x-y)，0≤f(x,y)≤1，則f(x,y)滿足定理2中的條件。即證得EH(Hs)為擴展的猶豫模糊語言術語集Hs的猶豫熵。

選取不同的函數M和G，可構造出多種擴展的猶豫模糊語言術語集的猶豫熵公式。

綜上，依據定理2、定理3可以給出猶豫模糊語言術語集的猶豫熵的生成算法。

下面給出基于定理2的猶豫模糊語言術語集的猶豫熵的生成算法步驟：

（1）選取具體的函數fi(x,y)和G(x)；

（2）驗證fi(x,y)和G(x)是否滿足定理2的條件；

（3）由定理2提出的猶豫模糊語言術語集的猶豫熵的一般公式，生成具體的猶豫模糊語言術語集的猶豫熵公式。

基于定理3的猶豫模糊語言術語集猶豫熵的生成算法步驟與定理2的類似。

利用本節提出的擴展猶豫模糊語言術語集的猶豫熵公式，計算例2中的兩個擴展的猶豫模糊語言術語集的熵，結果如表2所示。

表2 不同的猶豫熵公式對應的的熵值Table 2 Entropy values of corresponding to different hesitant entropy formulas

表2 不同的猶豫熵公式對應的的熵值Table 2 Entropy values of corresponding to different hesitant entropy formulas

?

由表2可以看出，與熵公式Ed1的結果不同，無論采用哪種猶豫熵公式，H4s的猶豫熵都大于H3s的猶豫熵，這與人們的直覺也是相一致的，很好地區分了不同的擴展猶豫模糊語言術語集的不確定性。

因此，本節提出的猶豫熵充分考慮了猶豫模糊語言信息中的猶豫性，能夠很好地克服傳統的猶豫模糊語言術語集熵的不足，充分刻畫了專家決策時的猶豫程度。

3.5 擴展的猶豫模糊語言術語集的總熵

為了描述猶豫模糊語言信息的整體不確定性，參照文獻[18]，給出了一個擴展的猶豫模糊語言術語集的總熵。

定義7設S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}是一個語言術語集，Hs是論域X={x1,x2,…,xn}上的EHFLTS，hs(xj)={s(i)(xj)|i=1,2,…,lj}為Hs的EHFLE，EF(Hs)為Hs的模糊熵，EH(Hs)為Hs的猶豫熵，若EC(Hs)滿足：

（1）EC(Hs)=0，當且僅當?x∈X，g(hs(x))={1}或g(hs(x))={0}；

（2）EC(Hs)=1，當且僅當?x∈X或

（4）EC(Hs)=EC(Hˉs)。

則稱EC(Hs)為擴展的猶豫模糊語言術語集的總熵。

根據擴展的猶豫模糊語言術語集總熵的公理化定義，提出了擴展的猶豫模糊語言術語集總熵的一般公式。

定理4[19]設S={st|t=-τ,…,-1,0,1,…,τ}是語言術語集，Hs是論域X={x1,x2,…,xn}上的EHFLTS，hs(xj)={s(i)(xj)|i=1,2,…,lj}為Hs的EHFLE，EF(Hs)為Hs的模糊熵，EH(Hs)為Hs的猶豫熵，設

并且F:[0,1]×[0,1]→[0,1]滿足：

（1）F(x,y)=0，當且僅當x=y=0；

（2）F(1,0)=F(0,1)=1，F(x,y)=F(y,x)；

（3）F分別關于x,y在[0,1]上嚴格遞增。

則EC為擴展的猶豫模糊語言術語集的總熵。

注F(1,1)是無意義的，因為F(1,1)不能取到。

容易證得提出的總熵滿足其公理化定義。選取不同的函數F，可構造出具體的總熵公式。

（1）當F(x,y)=max(x,y)時，有

（2）當F(x,y)=min(x+y,1)時，有

（3）當F(x,y)=x+y-xy時，有

4 基于猶豫模糊語言熵的多屬性決策應用

4.1 教授晉升的優選評估實例

某高校有一個晉升教授的名額，現有5位候選教師A1,A2,A3,A4,A5參與評選。分別從政治表現及工作態度M1、教學水平M2、外語水平M3、科研水平M4這4個屬性來對這5位教師進行評價。

該高校邀請了相關領域的具有豐富專業背景、經驗以及知識水平的專家，對候選對象進行評價。評價因素較多，為了全面準確地評價，采用擴展猶豫模糊語言術語元來反映專家的評估信息。

為了更好地表達專家對評選對象的評價，列出評價語言術語集S={s-3,s-2,s-1,s0,s1,s2,s3}，其分別表示評價為“很差”“差”“較差”“一般”“較好”“好”“很好”。專家對5位候選對象的評價信息如表3所示。

表3 猶豫模糊語言術語集評價信息Table 3 Evaluation information of hesitant fuzzy linguistic term set

參照文獻[12]，本文采用猶豫模糊語言術語集的多屬性決策模型處理教授晉升的優選評估問題。

首先，計算評價對象各屬性的權重。利用本文提出的擴展猶豫模糊語言術語集的熵公式，分別從模糊熵和猶豫熵兩方面來描述不確定性，得到各屬性的總熵值。選取，求得各屬性的總熵值Ec(Mj)。

將求得的各屬性的總熵值Ec(Mj)，代入熵權法公式計算出各屬性的權重，如表4所示。

表4 各屬性的熵值和權重Table 4 Entropy and weight of each attribute

根據專家的評價信息，考慮到屬性M1,M2,M3,M4都為利益型，得到正理想解和負理想解分別為：

利用猶豫模糊語言術語集的相似度公式S[14]，計算各方案Ai(i=1,2,…,m)分別與負理想解和正理想解間的加權相似度

參照多屬性決策中的滿意度公式[20]，給出了考慮決策者風險偏好的貼近度公式，計算各個方案與理想解之間的相對貼近度。各方案貼近度的結果如表5所示。

表5 各方案與理想解間的加權相似度和相對貼近度Table 5 Weighted similarity and relative closeness between each scheme and ideal solution

其中，θ(0≤θ≤1)表示風險偏好系數。θ>0.5時，表示決策者是風險接受型；θ<0.5時，表示決策者是風險規避型；θ=0.5時，則表示為風險均衡型。

由表5可以看出，各方案的貼近度的排序結果為A3?A2?A1?A5?A4，可知候選對象A3為最優的晉升教授的人選。

在決策分析中，風險偏好系數θ的不同可能會影響到決策的結果，本文進一步分析決策結果對風險偏好系數θ的敏感度。對于風險偏好系數θ(θ∈[0,1])，取一定的變化步長(l=0.02)，各方案的相對貼近度隨風險偏好系數θ的變化情況如圖1所示。

圖1 貼近度隨風險偏好系數θ的變化Fig.1 Closeness change with risk preference coefficient θ

由圖1可以看出，盡管風險偏好系數θ不斷變化，各方案的貼近度的排序結果始終是A3?A2?A1?A5?A4，與上述的決策結果是一致的。并且可以看出，各方案的貼近度的排序結果對于風險偏好系數θ的變化不敏感。其中，隨著風險偏好系數θ靠近0.5，各方案的貼近度的區分度越好；特別當θ=0.5時，各方案的貼近度的排序區分情況最好。

采用熵權法來計算各屬性的權重，得出的各屬性權重較為客觀。但是當決策者根據自身偏好選取不同的熵公式后，各屬性的權重可能會發生改變。為了確定決策結果是否具有一定的可靠性，下面將選取不同類型的擴展猶豫模糊語言熵，對得到的決策結果進行敏感度分析。

圖2 情況1的貼近度隨風險偏好系數θ的變化Fig.2 Closeness change of Case 1 with risk preference coefficient θ

圖3 情況2的貼近度隨風險偏好系數θ的變化Fig.3 Closeness change of Case 2 with risk preference coefficient θ

從圖2和圖3可以看出，隨著風險偏好系數θ的變化，兩種情況下各方案的貼近度的排序結果沒有發生變化，說明了兩種情況下各方案的排序結果對風險偏好系數θ的變化不敏感。

給定風險偏好系數θ=0.5,分別取參數p=8,p=12,p=15,p=20，采用擴展的猶豫模糊語言術語集的模糊熵公式猶豫熵公式、總熵公式以及加權相似度公式S6計算得出各方案與理想解間的貼近度。四種參數p值下各方案貼近度的結果如圖4所示。

圖4 方案的貼近度隨參數p的變化Fig.4 Closeness change of scheme varies with parameter p

從圖4可以看出，分別取不同的參數p值時，四種情況下各方案的貼近度的排序結果沒有發生變化，都為A3?A2?A1?A5?A4。但是隨著參數p的變化，各方案的貼近度之間的差異更為明顯。特別當參數p=20時，各方案之間的區分效果最好。

綜合上述結果，可以得出：盡管采用不同的熵公式，并考慮決策者不同的風險偏好，但方案A3始終是最優的方案。說明了最終決策結果具有一定的可靠性，可以選擇候選對象A3作為最后的晉升教授的人選。

4.2 對比分析

文獻[14]和文獻[12]提出了猶豫模糊語言術語集的多屬性決策方法。為了說明本文決策方法的可行性與有效性，下面將文獻[14]方法、文獻[12]方法與本文方法進行對比分析。

首先，利用文獻[14]的猶豫模糊語言術語集的多屬性決策方法來進行對比分析。

步驟1利用擴展的猶豫模糊語言術語集的熵和交叉熵公式[14]，計算評價對象各屬性的熵與交叉熵。然后，基于熵權法公式得出各屬性的權重為w=(0.269 0,0.362 4,0.122 5,0.246 1)T。

步驟2利用EHFLES的期望值和方差公式，在所有備選方案之間針對每個屬性進行配對比較，可以建立相對于每個屬性的0-1優先級關系矩陣。

步驟3根據步驟2的優先級矩陣，計算出總體贊成權重w(Ai?Ak)，總體反對權重w(Ai?Ak)和總體無差異權重w(Ai=Ak)(i,k=1,2,…,m)。其中

步驟4計算關于方案對(Ai,Ak)的總體優劣值。

其中，0≤?≤1，參數?表示(Ai=Ak)的重要程度。

步驟5給定一個閾值ψ>1，根據判斷公式得出各方案之間的關系，然后可以構造最終的0-1優先級關系矩陣。

取?=0.8，ψ=1.1，可以得出0-1優先級關系矩陣為：

步驟6根據最后的0-1優先級關系矩陣，計算出每個方案Ai的排序值：Δ1=2-3=-1，Δ2=4-1=3，Δ3=5-0=5，Δ4=1-4=-3，Δ5=3-2=1。

根據每個方案Ai的排序值，可以得出各個候選方案的排序結果為A3>A2>A5>A1>A4,最優的方案為A3。

另外，利用文獻[12]的猶豫模糊語言術語集的多屬性決策方法進行對比分析。

步驟1計算方案的各屬性的權重。采用熵公式計算出各屬性的熵值，然后利用熵權法，得出各屬性的權重為w=(0.196 1,0.258 5,0.246 3,0.299 1)T。

步驟2給出猶豫模糊語言正理想解x+與負理想解x-。

根據表1中的猶豫模糊語言評價信息，猶豫模糊語言正理想解x+與負理想解x-分別為：

步驟3計算各方案xi與理想解之間的貼近度：

計算得出各方案的貼近度為RC1=0.587 4，RC2=0.619 9，RC3=0.789 0，RC4=0.429 4，RC5=0.571 6。

步驟4根據各方案的貼近度結果，將方案排序為A3?A2?A1?A5?A4，可知候選對象A3為最優的晉升教授的人選。

文獻[14]方法、文獻[12]方法與本文方法得出的結果進行對比，具體的結果如表6所示。

表6 排序結果對比Table 6 Comparison of ranking results

通過對比可以看出，本文的結果與文獻[14]方法、文獻[12]方法得出的結果中，最優的候選對象都是A3，說明了本文決策方法的可行性與有效性。相比較而言，文獻[14]方法的過程更為復雜，計算量較大，并且采用的熵公式存在不足，無法全面反映專家的決策信息。文獻[12]方法的過程較為簡單，但是定義的熵存在缺陷，可能會造成決策信息的丟失，不能全面地刻畫決策者的意見。

本文采用改進的猶豫模糊語言熵公式，從模糊性和猶豫性兩方面來刻畫猶豫模糊語言信息的不確定性，改進了文獻[14]和文獻[12]中猶豫模糊語言熵的缺陷，相比于文獻[14]和文獻[12]能夠更為全面地反映決策者的意見。此外，本文在決策過程中考慮了決策者的風險偏好，進行了決策結果對于風險偏好系數的敏感性分析，并且討論了熵和相似度中的參數對方案排序結果的影響，使得本文決策的結果更為合理準確。

本文的研究結果改進了現有擴展猶豫模糊語言術語集的熵的不足，從模糊性和猶豫性兩方面刻畫了猶豫模糊語言信息的不確定性，給出了模糊熵和猶豫熵的一般公式與生成算法，并考慮了決策者的偏好對決策結果的影響，使得多屬性決策的結果更能符合實際情況。

5 結束語

本文改進了擴展猶豫模糊語言術語集的熵的定義，從模糊性和猶豫性兩方面刻畫了擴展猶豫模糊語言術語集的不確定性，提出了擴展的猶豫模糊語言術語集的總熵，并且給出了模糊熵和猶豫熵的一般公式與生成算法。本文的研究成果克服了現有的擴展猶豫模糊語言術語集熵的不足，更為全面地刻畫了猶豫模糊語言信息的不確定性，進一步發展了猶豫模糊語言信息測度理論。未來可以對猶豫模糊語言術語集的其他信息測度及其應用進行討論與研究。