“乘法分配律”教材習題難度比較研究

趙少棠

【摘? ?要】借鑒顧泠沅等人的研究，建立乘法分配律習題難度的四個水平劃分標準。根據這個標準對六個版本教材中“乘法分配律”的習題難度進行比較，發現無論是習題總數量，還是不同水平層次的習題量和所占的比例，不同版本教材之間都有較大差異。由此得到啟示與建議：研究習題有必要建立難度劃分標準;教材編者要仔細考慮習題的總數量和各水平層次的習題量;教師需要根據教材及學情增減不同層次的習題。

【關鍵詞】教材比較;習題;認知水平;乘法分配律

習題是教材的重要組成部分，它對學生鞏固知識、提高能力、提升素養起到很大的作用。乘法分配律是一條重要的運算定律，對于乘法分配律的相關習題，一線教師雖然可以憑經驗粗略地判斷出它們的難易，但很難對習題做比較精細的難度刻畫。通過建立乘法分配律習題難度水平的劃分標準，對現行的人教版、北師大版、浙教版、滬教版、西南師大版、青島版六個版本教材中關于乘法分配律的習題難度進行比較，以期能夠更好地分析教材的習題難度并獲得啟示。

一、“乘法分配律”習題難度的劃分標準

我們平時所說的習題的難易是指學生在解題時所反映出的難易程度，解答習題的能力反映了學生的數學認知水平。顧泠沅等提出了四個數學認知水平，分別是水平1：計算——操作性記憶水平;水平2：概念——概念性記憶水平;水平3：領會——說明性理解水平;水平4：分析——探究性理解水平[1]。其中，水平1和2為記憶水平，屬于低層次的認知水平。水平3和4為理解水平，屬于較高層次的認知水平。本文根據這四個水平的含義，結合“乘法分配律”的有關內容，給出乘法分配律習題難度劃分標準如下。

水平1：計算——操作性記憶水平。這是一個起點水平，對應這一水平的習題只要求學生記憶乘法分配律的形式，并能夠在具體的數中，在有“幫扶”的情況下進行模仿。它有兩種具體的習題形式。

（1）在“形式”上辨認是否屬于乘法分配律的等式，判斷拆分過程的正確與否。

（2）在有“幫扶”的情況下對“乘法分配律”進行模仿性的應用，也就是能夠根據乘法分配律對算式進行簡單拆分。這里的“幫扶”主要是指在等式中提供部分數，讓學生去完成另一部分，以便構成符合乘法分配律的等式。比如圖1中的題目。

水平2：概念——概念性記憶水平。對應這一水平的習題主要指的是能夠在沒有“幫扶”的情況下，初步應用乘法分配律進行簡便計算;能夠在有“幫扶”的情況下，將乘法對加法的分配律類比到乘法對減法的分配律并用符號進行表達。它有兩種具體的習題形式。

（1）直接應用乘法分配律進行簡便計算。這里的直接應用主要是指學生只需要根據題目給定的數，直接應用乘法分配律進行簡便計算，不需要先對數進行拆分，再用分配律進行簡便計算，后一種經過拆分后的應用可以稱為間接應用。比如，直接應用只要求學生“簡便計算125×（80+8）”，而不要求學生“簡便計算125×88”。

（2）在有“幫扶”的情況下，將乘法對加法的分配律類比到乘法對減法的分配律，并能夠運用符號、字母的形式填空。如“填空：（? ?）×（85-13）=29×（? ）-29×（? ）”。

水平3：領會——說明性理解水平。對應這一水平的習題指的是能夠間接應用乘法分配律進行簡便計算，即對題目進行適當的變化以后再運用乘法的分配律進行簡算;能夠根據應用問題列出算式后，靈活應用乘法分配律進行簡便計算。如“用乘法分配律計算103×12或24×205”這樣的計算題，或“甲乙兩個工程隊分別從兩端同時開鑿一條隧道。甲隊每天鑿9米，乙隊每天鑿11米，120天后鑿完。求這條隧道的長”。

水平4：分析——探究性理解水平。對應這一水平的習題指的是能夠結合圖示或其他形式說明乘法對加法的分配律成立;能夠運用類比得到“乘法對減法的分配律，除法對加減法的分配律”的形式，并能夠運用不同的表征方式說明這些分配律是否成立;能夠綜合靈活地應用乘法分配律解決問題等。如“結合圖（如圖2）與同伴說說等式3×6+4×3=（6+4）×3為什么成立” 。

二、六個版本教材習題的難度比較與分析

根據上面建立的關于乘法分配律習題難度水平劃分的標準，對現行六個版本的教材習題進行了水平劃分與分析。在劃分的習題中既包括新課后面的習題，也包括緊跟新課后面練習課的習題，但不包括總復習中的習題。對于一道大題里有幾道小題的，按照小題的數量統計。六個版本教材習題難度水平劃分見表1。

從上表的統計數據，可以得到以下結論：

1.習題總量差異較大。在六個版本教材中，習題量最多的是青島版，有30題，幾乎是習題量最少的滬教版（16題）的2倍。六個版本教材習題總量統計情況，見圖3所示。

編寫多少習題能夠讓學生達到課程標準提出的要求，這是一個非常值得研究的問題。

2.有四個版本的教材沒有編寫水平4的習題。水平4層次的習題要求學生綜合靈活地應用分配律解決問題，對培養創新思維和高階思維都將起到積極的作用，需要有合適的數量。

3.每一個水平層次的習題量相差較大。只比較各版本教材習題的一個水平，發現習題的數量相差也比較大。比如水平1的習題，從總數量來說，北師大版教材沒有水平1的習題;滬教版教材水平1的習題只有2個，最多的是人教版教材，有9個。而水平2的習題，浙教版教材有13個，人教版教材只有4個。各水平層次的習題數量情況，見圖4所示。

每一個層次的習題各編寫多少合適，同樣需要研究。

4.同一個層次的習題數量占習題總數量的百分比差異較大。某一個層次的習題數量占這套教材的習題總數量有一個百分比，各套教材之間這個百分比差異較大。比如，就水平1來說，人教版教材水平1的習題量占總數量的33.3%，而滬教版教材只占12.5%，兩者相差20.8%。就水平2來說，人教版教材的習題量占總數量的14.8%，滬教版教材卻占了56.3%，兩者相差41.5%。這說明各套教材的編者對于“某一個水平層次的習題應該占總數量的百分之幾”，在認識上存在著較大的差異。下面兩個扇形統計圖（如圖5），反映了人教版教材和北師大版教材每一個水平層次的習題數量占總數量的比例關系，可以比較清晰地看出兩個版本教材每一個水平層次習題占比的相差情況。

三、啟示與建議

通過以上水平層次劃分標準的建立和各版本教材不同水平層次習題數量的統計和分析，得到以下啟示與建議。

（一）有必要建立難度劃分標準

對于教齡較長、經驗相對豐富的教師來講，對習題的難易可以憑經驗進行判斷，也能說出哪一個習題對學生來說比較難，哪一個比較容易。但在對習題的難度建立劃分標準時，僅憑經驗就不夠了，需要更理性的思考和判斷，需要學習類似顧泠沅等人研究的認知水平理論或SOLO分類評價理論。經過理性的思考，建立劃分難度的標準以后，教師可以從模糊地憑經驗進行判斷上升到理性地依據標準進行判斷。這個過程很有必要，它可以提升一線教師的經驗和理論水平，以便更好地為學生的學習服務。

（二）教材編者要考慮習題的總量和不同水平層次的習題量

通過上面的比較可知，六個版本的教材中，有的缺乏水平1的習題，有的缺乏水平4的習題，同一套教材中也有各個水平層次習題數量差距較大的情況。為了更好地編寫教材，編者應該仔細考慮習題的水平層次，盡量做到每個水平層次的習題都有所涉及，并且有一個合適的比例。結合實踐發現，四個層次的比例分別為30%，30%，25%，15%或許是比較合適的。

（三）教師需要根據教材及學情增減不同層次的習題

一線教師在使用教材教學時，需要有“習題的水平層次”的意識，并且有能力區分出教材中不同習題的水平層次，再結合所教學生的實際情況，對教材中的習題進行處理，可以增加或減少不同層次的習題。從上面的比較中可知，多數版本的教材沒有水平4層次的習題，而對于部分數學素養比較好的學生來說，這一層次的習題不可或缺。為了更好地促進這部分學生的發展，教師需要增加水平4層次的習題。

參考文獻：

[1]楊玉東，賀真真.數學教學改革三十年：現實與實現：來自“青浦實驗的新世紀行動”[J].上海教育科研，2007（12）.

（廣東省深圳市寶安區建安小學? ?518133）