找準(zhǔn)體驗點，讓學(xué)生真正明白

馬玨

【摘? ?要】數(shù)學(xué)概念是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，當(dāng)數(shù)學(xué)概念的抽象概括特征“碰上”小學(xué)生的具體形象思維，就需要找準(zhǔn)概念的“體驗點”，讓學(xué)生經(jīng)歷完整學(xué)習(xí)概念的過程，即從“它是什么（概念理解）”到“怎么得到它（方法層面）”再到“它有什么用（問題解決）”，從而進(jìn)行意義的自主建構(gòu)，真正“明白”概念。

【關(guān)鍵詞】方程教學(xué);體驗點

數(shù)學(xué)概念是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念具有抽象概括的特征，而小學(xué)生又處于具體形象思維的階段，因此在概念教學(xué)中要讓學(xué)生真正明白，不能僅靠知識傳授，需要找準(zhǔn)體驗點，即學(xué)生學(xué)習(xí)時的困惑之處，讓他們不斷地去感悟和理解，從而實現(xiàn)意義的自主建構(gòu)。人教版教材五年級上冊安排了“方程的意義”教學(xué)單元，這是概念教學(xué)的重要內(nèi)容，體現(xiàn)在：一方面，小學(xué)階段學(xué)生大多運(yùn)用算術(shù)方法解決問題，這是學(xué)生第一次接觸代數(shù)思想;另一方面，方程在中學(xué)會進(jìn)一步展開學(xué)習(xí)，這是為中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接做好準(zhǔn)備。

在方程教學(xué)中可以抓住三個概念理解的體驗點，促進(jìn)學(xué)生真正明白。

一、承接“用字母表示數(shù)”的認(rèn)識，明白方程的意義

方程的意義是什么？一些教學(xué)只停留在對方程外在形式的認(rèn)知上，反復(fù)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生找到“=”，找到“字母”，這樣的式子就是方程。而找的目的在于判斷一個式子是不是方程，這是一種顯性知識的教學(xué)。方程的意義的本質(zhì)在于讓學(xué)生經(jīng)歷方程的形成過程，明白為什么式子中會出現(xiàn)字母，這個字母有什么用，式子表示的是一種怎樣的關(guān)系，這種關(guān)系最終要解決什么問題。也就是說，要更加重視隱性知識的教學(xué)。學(xué)生在前期“用字母表示數(shù)”的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)知道不確定的數(shù)用字母表示，可以用含有字母的式子表示數(shù)量之間的關(guān)系。方程的意義的教學(xué)要承接“用字母表示數(shù)”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，順勢而學(xué)，讓學(xué)生真正明白。體驗過程可以通過兩組材料的呈現(xiàn)進(jìn)行設(shè)計。

（一）出示第一組材料，初步感悟

教師出示第一組材料（如圖1）并引導(dǎo)：找一找這組材料的規(guī)律，用式子把三個數(shù)之間的關(guān)系表示出來。

生：10+9=19;8+15=23;a+12=15。

師：第三個式子為什么用到了字母？

生：因為有個數(shù)不知道，可以用字母來表示。

師：“a+12”表示什么？

生：a與12相加。

師：這三個式子都表示了一種什么關(guān)系？

生：上面兩個數(shù)相加的和與下面的數(shù)相等。

師：這里的“=”表示左邊的結(jié)果等于右邊，是一種相等關(guān)系。

（二）出示第二組材料，再次感悟

教師出示第二組材料（如圖2）并引導(dǎo)：繼續(xù)找一找這組材料的規(guī)律，用式子把三個數(shù)之間的關(guān)系表示出來。

生：4×9=36;7×8=56;b×5=45。

師：這三個式子都表示了一種什么關(guān)系？

生：上面兩個數(shù)相乘的積與下面的數(shù)相等。

師：也表示了一種相等關(guān)系，可以用“=”聯(lián)結(jié)。

（三）兩組材料的對比與討論

師：像這些表示相等關(guān)系的式子，我們稱為“等式”。10+9=19，8+15=23，a+12=15，4×9=36，7×8=56，b×5=45都是等式。在等式中有一些數(shù)量不知道時，可以用“字母”來表示，含有“未知數(shù)”的等式叫作方程，這里的“a+12=15”“b×5=45”都是方程。

師：方程中為什么要用字母表示未知數(shù)？

生：這樣能表示出數(shù)量之間的關(guān)系。

師：是一種什么關(guān)系？

生：相等的關(guān)系。

師：你能根據(jù)相等關(guān)系知道未知數(shù)是多少嗎？

生：能！ a是3，b是9。

師：方程用字母表示未知數(shù)，表示已知數(shù)和未知數(shù)之間的相等關(guān)系，這樣就能求出未知數(shù)。列方程是為了解決問題。

在上述教學(xué)過程中，通過兩組材料的對比，學(xué)生主動用字母表示未知數(shù)，并列出字母式，表示已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系。學(xué)生由此明白方程和等式的關(guān)系，方程都是等式，只是其中有一些數(shù)量不知道;進(jìn)一步明白方程的意義是表示已知數(shù)和未知數(shù)之間的相等關(guān)系，從而求出未知數(shù)解決問題。

二、基于方程的意義，明白列方程的關(guān)鍵點

怎么列方程？在以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)：學(xué)生在設(shè)未知數(shù)時往往是求什么設(shè)什么，不思考為什么要這么設(shè);對于找等量關(guān)系普遍感到困難，列不出方程;出現(xiàn)了套“模式”的現(xiàn)象。教學(xué)時，教師不必拘泥于列方程解決問題的若干類型，應(yīng)該基于方程的意義，加深學(xué)生對列方程的兩個關(guān)鍵點的體驗，即“用字母表示未知數(shù)”“找到未知數(shù)和已知數(shù)之間的相等關(guān)系”，以有效突破難點。體驗過程可以通過三組材料的呈現(xiàn)，設(shè)計如下。

（一）出示第一組材料，明確兩個關(guān)鍵點

師：什么是方程？

生：方程表示未知數(shù)和已知數(shù)之間的相等關(guān)系。

生：用字母表示未知數(shù)，可以求出方程中的未知數(shù)解決問題。

師：下面圖（如圖3）中的未知數(shù)表示什么？你能找到等量關(guān)系嗎？請你嘗試著列出方程。

生：左邊這個圖中小貓的質(zhì)量不知道，用x表示。“小貓的質(zhì)量+球的質(zhì)量=盒子的質(zhì)量”，方程是“x+0.5=2.5”。

生：右邊這個圖中球的質(zhì)量不知道，用x表示。“兩個球的質(zhì)量=砝碼的質(zhì)量”，方程是“2x=50”。

（二）出示第二組材料，分析等量關(guān)系

師：沒有了天平，你還能找到未知數(shù)和已知數(shù)之間的等量關(guān)系，列出方程嗎？

教師出示圖4，請學(xué)生回答。

生：從左邊這個圖中，可以看出“原價-優(yōu)惠=現(xiàn)價”，方程是“x-45=128”。

生：右邊這個圖的等量關(guān)系是“總質(zhì)量÷數(shù)量=每杯質(zhì)量”，方程是“x÷4=75”。

師：我們要分析已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系，找到等量關(guān)系才能列出方程。

（三）出示第三組材料，感悟設(shè)未知數(shù)

教師出示圖5，請學(xué)生回答。

師：想一想，這里設(shè)什么量為“x”呢？

生：設(shè)2個熱水瓶裝水的質(zhì)量為x? g。

生：其實只要設(shè)1個熱水瓶的裝水量為x? g，2個熱水瓶一樣，就可以用2x? g表示。

生：如果設(shè)2個熱水瓶的裝水量為x? g，求出x后除以2，也能知道1個熱水瓶的裝水量。

師：你們的意思是，如果要知道1個熱水瓶的裝水量，可以直接設(shè)它為x，用2x就可以表示2個熱水瓶的裝水量;當(dāng)然，也可以間接設(shè)2個熱水瓶裝水的質(zhì)量為x? g，然后將求出來的“x除以2”也能知道1個熱水瓶的裝水量。那么，為什么不設(shè)杯子的裝水量為x呢？

生：因為杯子的裝水量知道啊！應(yīng)該設(shè)未知數(shù)為x。

師：我們設(shè)“1個熱水瓶裝水的質(zhì)量為x? g”，等量關(guān)系是什么呢？請你列出方程。

生：等量關(guān)系是“2個熱水瓶的裝水量+杯子的裝水量=一壺水的裝水量”，方程是 “2x+75=2000”。

在上述教學(xué)過程中，通過第一組材料，學(xué)生借助天平，初步感悟列方程的兩個關(guān)鍵點是“設(shè)未知數(shù)”和“找到等量關(guān)系”;第二組材料去掉了天平的直觀圖式，學(xué)生需要自己分析未知數(shù)和已知數(shù)的等量關(guān)系，加深對等量關(guān)系的認(rèn)識;第三組材料中沒有標(biāo)出未知數(shù)，學(xué)生通過討論發(fā)現(xiàn)，根據(jù)需要，可以直接設(shè)要求的量為x，也可以先間接設(shè)相關(guān)的量為x，再求出要求的量，但是設(shè)的都是未知量，以此加深對設(shè)未知數(shù)的認(rèn)識。

三、凸顯列方程的關(guān)鍵點，明白列方程解決問題的優(yōu)越性

在教學(xué)中，學(xué)生往往會有這樣的疑惑：“這個問題我以前就會列算式解決，為什么還要學(xué)習(xí)用方程解決呢？”如果告訴學(xué)生，因為初中要學(xué)習(xí)這個內(nèi)容，所以小學(xué)要先學(xué)習(xí)一下，學(xué)生一定不樂意，初中的內(nèi)容可以初中學(xué)，列方程解決問題太麻煩啦！所以，必須要讓學(xué)生對列方程解決問題的優(yōu)越性有所體驗。教師可以呈現(xiàn)以下兩個材料，組織學(xué)生展開討論。

（一）出示第一個材料，感悟順向思維

足球上黑色皮是五邊形，白色皮是六邊形。白色皮共有20塊，比黑色皮的2倍少4塊，共有多少塊黑色皮？

師：你會列方程解決問題嗎？

生嘗試解答：設(shè)黑色皮有x塊，等量關(guān)系是“黑色皮的塊數(shù)×2-4=白色皮的塊數(shù)”，方程是“2x-4=20”，求得x=12。

師：如果用以前列算式的方法解決，該怎么列式呢？

生：（20+4）÷2=12（塊）。

師：為什么信息中是“少4塊”，算式中反而是“+4”呢？

生（討論）：因為白皮是黑皮的“2倍少4塊”，所以需要反過來想，白皮要加上4塊才是黑皮的2倍，所以20要先加上4，再除以2，才是黑皮的數(shù)量。

師：列方程解決問題時需要這樣反過來想嗎？

生（討論）：不需要，因為根據(jù)白皮是黑皮的“2倍少4塊”，可以直接列出等量關(guān)系“黑色皮的塊數(shù)×2-4=白色皮的塊數(shù)”，得到方程“2x-4=20”。

師：列方程解決這個問題和列算式解決這個問題，有什么不一樣？

生（討論）：列方程解決問題是順著思考的，用算式解決問題需要反過來想。

師：列算式解決這樣的問題時，因為要反過來思考，所以老是有同學(xué)出錯;列方程解決問題就可以避免這樣的錯誤，你們感受到了嗎？

（生一致認(rèn)同）

（二）出示第二個材料，感悟未知數(shù)可以作為條件使用

籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？

師：這是我們熟悉的雞兔同籠問題，以前是怎么解決的？

生：用假設(shè)法解決。

師：學(xué)習(xí)了列方程解決問題，你能再試試看嗎？

學(xué)生嘗試用方程解決：設(shè)兔子有x只，雞有（8-x）只;等量關(guān)系是“雞的腳數(shù)+兔的腳數(shù)=一共的腳數(shù)”;方程是“4x+2（8-x）=26”，求得x=5，雞為8-x=3。

師：為什么我們以前要用假設(shè)法解決雞兔同籠問題？

生（討論）：因為雞的只數(shù)和兔的只數(shù)都不知道，所以只能先假設(shè)，再調(diào)整。

師：列方程解決時，為什么可以列出等式？

生（討論）：因為將兔子設(shè)為x只，雞就可以表示為（8-x）只，所以就能表示出兔子的腳數(shù)和雞的腳數(shù)，列出等式啦！

師：用字母表示未知量，可以當(dāng)作條件進(jìn)行使用，所以列方程能解決比較復(fù)雜的問題，將問題變得簡單，以后你們會有更多的體會。

在上述教學(xué)過程中，通過第一個材料，學(xué)生嘗試列方程解決易錯的問題，在兩種方法的對比中發(fā)現(xiàn)，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，是一種順向思維，有時候比列算式更容易理解題意;在第二個材料的討論中，學(xué)生嘗試列方程解決較復(fù)雜的問題，在老題新做的對比中發(fā)現(xiàn)，列方程解決問題時未知數(shù)也可以作為條件使用，可以將問題簡單化。

上述方程教學(xué)時的三個體驗點，體現(xiàn)了種子課教學(xué)的理念，一個完整的概念學(xué)習(xí)需要包含三個部分，即讓學(xué)生明白“它是什么（概念理解）”“怎么得到它（方法層面）”“它有什么用（問題解決）”。除此之外，還有一些體驗點也是需要在教學(xué)中關(guān)注的。例如：為什么要用等式的性質(zhì)解方程，而不用四則運(yùn)算的關(guān)系來解方程？同樣的等量關(guān)系可以列出不同的方程來解決，但形如“x=”這樣的方程為什么沒有意義，等等。這些都是學(xué)生不斷深入學(xué)習(xí)后產(chǎn)生的更為細(xì)化的問題，需要在后繼學(xué)習(xí)中逐步解決。

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