以“一題”變“一型”，于“無(wú)形”中尋“有型”

朱錚誼

【摘? ?要】變式教學(xué)是我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中值得保留的重要經(jīng)驗(yàn)。新一代教師尤其要關(guān)注：課堂教學(xué)中要變“以‘一題說(shuō)‘一題”為“以‘一題變‘一型”，變“以教師講題”為“學(xué)生論題”。進(jìn)行變式教學(xué)時(shí)，教師需掌握教材習(xí)題的知識(shí)內(nèi)在邏輯順序，從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，在不改變問(wèn)題本質(zhì)的前提下，變換問(wèn)題的條件、結(jié)論、形式，形成由一題多解向多題一解轉(zhuǎn)化的教學(xué)回路，使問(wèn)題有“型”可尋，給學(xué)生減負(fù)，給教師減壓。

【關(guān)鍵詞】無(wú)形;變式;有型;一題多變;多題一解

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中會(huì)遇見各式各樣的問(wèn)題，但很多時(shí)候，表面上看起來(lái)紛繁復(fù)雜的問(wèn)題，其核心往往就是一些基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)模型。通過(guò)一道題介紹一類題，讓學(xué)生在變式練習(xí)中提高解題能力，是我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)中值得保留的重要經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)中教師應(yīng)關(guān)注：變“以‘一題說(shuō)‘一題”為“以‘一題變‘一型”，變“以教師講題”為“學(xué)生論題”。高效的變式教學(xué)可以有效提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，變“雙負(fù)”為“雙贏”。

下面以一道關(guān)于周長(zhǎng)的習(xí)題為例，談?wù)勅绾卫米兪浇虒W(xué)有效提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

圖1是由6個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形擺成的，如果把5號(hào)小正方形拿走，這個(gè)圖形的周長(zhǎng)和原來(lái)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)相比（? ? ?）。

A.減少1厘米? ? B.增加2厘米? ? C.增加3厘米

這道題涉及的知識(shí)點(diǎn)并不難，又有具體的圖形支撐，看起來(lái)只需要在頭腦中“拿掉”5號(hào)小正方形，數(shù)數(shù)線段數(shù)就能得到答案，對(duì)三年級(jí)學(xué)生來(lái)講應(yīng)該不難。但在一次測(cè)試中，兩個(gè)班90名學(xué)生中僅有21名學(xué)生答對(duì)了本題。為探究學(xué)生的思維過(guò)程，以便改進(jìn)教學(xué)，筆者從以下三個(gè)問(wèn)題入手，進(jìn)行了思考與研究：（1）在解決這個(gè)問(wèn)題前，學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)有什么？（2）學(xué)生是如何解答問(wèn)題的？（3）教師如何組織課堂變式教學(xué)，才能讓學(xué)生清晰地明確這類問(wèn)題的解題思路？

一、對(duì)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)的探尋

本題所考查的內(nèi)容是“長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)計(jì)算”，在做本題前學(xué)生已有了一些相關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)：（1）知道了長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法;（2）知道可以通過(guò)用“數(shù)”和“平移”的方法求不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)。

學(xué)生在練習(xí)中遇到過(guò)類似的問(wèn)題，如：

1.拆分后求周長(zhǎng)的問(wèn)題。

把一個(gè)長(zhǎng)2厘米、寬1厘米的長(zhǎng)方形，分成兩個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形，此時(shí)的周長(zhǎng)與原來(lái)相比（? ? ?）。

A.增加了1厘米 B.減少了2厘米 C.增加了2厘米

2.平移后求周長(zhǎng)的問(wèn)題。

如圖2所示，螞蟻從A出發(fā)與從B出發(fā)找食物，走過(guò)的路（? ?）。

A.A更近 B.B更近 C.一樣近

二、對(duì)學(xué)生如何解答問(wèn)題的分析

開展高效的變式教學(xué)，教師應(yīng)先清楚學(xué)生是怎樣想的，再?zèng)Q定教什么。為了便于分析，對(duì)90名學(xué)生解答本題的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。選擇正確答案B的學(xué)生有21人，占總?cè)藬?shù)的23.3%;選擇錯(cuò)誤的學(xué)生中，選答案A的是16人，占17.8%，選答案C的是53人，占58.9%。

通過(guò)訪談了解學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)的思維過(guò)程大致如下。

1.利用平移的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題。將5號(hào)小正方形上面的1條邊平移到下面后可以發(fā)現(xiàn)，去掉5號(hào)小正方形的圖形與原圖相比多了5號(hào)小正方形左右兩條邊，也就是多了2厘米。

2.借助數(shù)周長(zhǎng)的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題。先數(shù)出原長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為10厘米，再數(shù)出拿走5號(hào)小正方形后的周長(zhǎng)為12厘米，12厘米-10厘米=2厘米。

3.去掉5號(hào)小正方形后多出來(lái)了3條邊，所以周長(zhǎng)增加了3厘米。

前2種思考都是正確的，可以解決問(wèn)題。而第3種思考只關(guān)注到“拿走的部分”信息，沒(méi)能從整體思考，因此得到的是錯(cuò)誤答案。

三、對(duì)教師如何組織教學(xué)的思考

借助從一道題變一類題的變式教學(xué)，可以有效幫助教師解決教學(xué)中的難點(diǎn)問(wèn)題。以本題為例，結(jié)合四個(gè)策略談一談如何組織有效的變式教學(xué)。

（一）以錯(cuò)喚思，初探問(wèn)題

從前面的測(cè)試開始。課堂上先組織學(xué)生看錯(cuò)例，分析選C的同學(xué)是怎樣想的，經(jīng)過(guò)集體交流，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：去掉5號(hào)小正方形后多出了3條邊，所以選C的同學(xué)認(rèn)為周長(zhǎng)比原來(lái)增加了3厘米，沒(méi)有考慮到拿走5號(hào)小正方形后，下面的一條邊減少了1厘米的周長(zhǎng)。

分析完錯(cuò)例后，組織學(xué)生積極展示自己的想法，多樣化的思維碰撞一觸即發(fā)。學(xué)生中又多了1種想法：拿走5號(hào)小正方形后多了3條邊，但少了5號(hào)小正方形下面的1條邊，3-1=2厘米。

一道數(shù)學(xué)題可以有多種解題方法，一題多解可以有效發(fā)散學(xué)生的思維。思維發(fā)散出去，再聚攏回來(lái)，形成由一題多解向多題一解轉(zhuǎn)化的教學(xué)回路，使思維聚焦問(wèn)題本質(zhì)，達(dá)到以不變應(yīng)萬(wàn)變的解題高度。

（二）以變促思，深入探究

變式教學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)知，意在拓寬思路、發(fā)展智力。教師可由淺入深、循序漸進(jìn)地將問(wèn)題一步步分解，滿足不同層次學(xué)生的需求，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)。課堂上教師通過(guò)三次變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從不斷變化的“形”中找到不變的“型”。

變式一：

圖3是由6個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形擺成的，如果把2號(hào)小正方形拿走，這個(gè)圖形的周長(zhǎng)和原來(lái)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)相比（? ? ）。

（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)拿走中間2、5的共同之處，初步感知無(wú)“形” 中的有“型”。）

課堂教學(xué)組織：先組織學(xué)生獨(dú)立思考，再組織集體交流反饋，最后組織四人小組討論：拿走2號(hào)或5號(hào)小正方形后為什么周長(zhǎng)都增加了2厘米？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)2號(hào)、5號(hào)都是中間的小正方形，因此拿走后周長(zhǎng)增加了3條邊，同時(shí)減少了1條邊，最后周長(zhǎng)都增加了2厘米。

變式二：

圖4是由6個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形擺成的，如果把6號(hào)小正方形拿走，這個(gè)圖形的周長(zhǎng)和原來(lái)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)相比（? ? ）。

（設(shè)計(jì)意圖：拿走一個(gè)小正方形的情況其實(shí)只有兩類，拿走中間的2號(hào)、5號(hào)和拿走角上的1號(hào)、3號(hào)、4號(hào)、6號(hào)。在對(duì)比完變式一后，再來(lái)對(duì)比變式二，學(xué)生利用之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，更易發(fā)現(xiàn)拿走1號(hào)、3號(hào)、4號(hào)、6號(hào)的相同點(diǎn)。）

課堂教學(xué)組織：先組織學(xué)生獨(dú)立思考，再引導(dǎo)學(xué)生比較拿走6號(hào)和拿走5號(hào)的不同，在對(duì)比中深化理解，最后組織學(xué)生進(jìn)一步思考：要使周長(zhǎng)不變，只拿走一個(gè)小正方形還可以怎么拿？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)拿走1號(hào)、3號(hào)、4號(hào)、6號(hào)這四個(gè)角上的小正方形，都是在多了兩條邊的同時(shí)又少了兩條邊，因此拿走后周長(zhǎng)是不變的。

變式三：

圖5是由6個(gè)邊長(zhǎng)1厘米的小正方形擺成的，如果把3號(hào)和5號(hào)小正方形拿走，這個(gè)圖形的周長(zhǎng)和原來(lái)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)相比（? ? ）。

（設(shè)計(jì)意圖：拓展學(xué)生思維，打破只拿走一個(gè)小正方形的思維限制，使問(wèn)題變得更靈活、更有趣，有助于學(xué)生深入探究變與不變的本質(zhì)，同時(shí)為接下來(lái)的自主改編習(xí)題環(huán)節(jié)提供支架。）

課堂教學(xué)組織：組織學(xué)生與變式二進(jìn)行比較。找相同：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變式二和變式三都是拿走了一個(gè)角上的小正方形，這時(shí)周長(zhǎng)沒(méi)變;找不同：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變式三比變式二多拿走了一個(gè)中間的小正方形，因此拿走3號(hào)和5號(hào)小正方形后周長(zhǎng)增加了2厘米。

多層次、多樣化的變式教學(xué)可以深化學(xué)生對(duì)同一類問(wèn)題的理解，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同問(wèn)題間的內(nèi)在聯(lián)系，找到同一類問(wèn)題的統(tǒng)一解題方法，聚焦問(wèn)題本質(zhì)。教師在設(shè)計(jì)變式時(shí)需注意知識(shí)之間的聯(lián)系，使問(wèn)題具有延展性，有思維容量、有思維深刻性的變式，留給學(xué)生更多的思維空間。

（三）以創(chuàng)構(gòu)思，活化應(yīng)用

許多問(wèn)題教師明明教過(guò)，但條件變一變學(xué)生又做錯(cuò)了，這說(shuō)明學(xué)生對(duì)于一類題型的思維方式未能有效內(nèi)化。因此在變式后可以讓學(xué)生自己來(lái)創(chuàng)造問(wèn)題，改變題干中的已知條件等，這樣的教學(xué)形式可以多維度測(cè)試學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況，幫助學(xué)生更加靈活地應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)。

課堂上學(xué)生創(chuàng)造的題目主要分為四類：第一類，“拿走角落上的某兩個(gè)小正方形，求剩下圖形的周長(zhǎng)”。如“拿走2號(hào)和3號(hào)”“拿走1號(hào)和6號(hào)”“拿走1號(hào)和3號(hào)”等。問(wèn)題提出后，學(xué)生通過(guò)討論交流，很快發(fā)現(xiàn)這三題在拿走圖形后周長(zhǎng)與原來(lái)周長(zhǎng)相比是不變的。教師適時(shí)追問(wèn)：為什么拿走的小正方形不同，但最后周長(zhǎng)都不變？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：都是拿走了角上的。第二類，“拿走一個(gè)中間和一個(gè)不相鄰的角上的某兩個(gè)小正方形，求剩下圖形的周長(zhǎng)”。如“拿走2號(hào)和6號(hào)”，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)本題與變式三相似，都是拿走了一個(gè)中間的小正方形和一個(gè)角上的小正方形。此時(shí)教師追問(wèn)：為什么拿走2號(hào)和3號(hào)都是拿走一個(gè)角上的小正方形和一個(gè)中間的小正方形，最后結(jié)果卻不一樣？經(jīng)過(guò)交流討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，2號(hào)和3號(hào)是相鄰的，2號(hào)和6號(hào)是不相鄰的，2號(hào)和3號(hào)可以看成一個(gè)整體，就是拿走了一個(gè)角。第三類問(wèn)題有了拓展的雛形，如“拿走任意兩個(gè)小正方形，答案可能有多少種？”“拿走任意三個(gè)小正方形，圖形的周長(zhǎng)能保持不變嗎？如果能，怎么拿？”第四類問(wèn)題更加開放，如“有25個(gè)小正方形擺成了一個(gè)大正方形，從中任意拿走三個(gè)，怎么拿周長(zhǎng)會(huì)保持不變？怎么拿周長(zhǎng)會(huì)增加？”等等。學(xué)生在這樣的延伸思考中更加深入地理解知識(shí)，真正地從“一題”走向了“一型”。

上述課堂變式教學(xué)的組織形式，改變的不僅僅是問(wèn)題的條件、結(jié)論，還改變了教授形式，做到了以生為本，課堂上學(xué)生主動(dòng)參與其中，積極思考，深入探究，在總結(jié)、歸納中找到了這一類問(wèn)題中不變的“型”。這樣的變式教學(xué)，使得學(xué)生解決問(wèn)題的能力得以全面提升。

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（浙江省海寧市南苑小學(xué)? ?314400）