基于卡爾曼方法的歷史建筑不均勻沉降預測

陳小杰, 龔賽博

(1.上海房屋質量檢測站, 上海 200031; 2.上海理工大學 環境與建筑學院, 上海 200093)

隨著當前城市化速度的加快, 城市基礎設施大規模升級。地鐵和隧道等地下工程的施工可能對歷史建筑周圍的土體造成擾動[1]。歷史建筑物由于建造年代久遠， 材料和結構老化, 其抗變形能力很差, 在土體擾動下容易發生不均勻沉降。當不均勻沉降過大時, 結構會產生開裂、 傾斜等現象, 甚至危害歷史建筑的安全。因此, 需要定期對歷史建筑進行沉降觀測, 并預測其不均勻沉降趨勢。

卡爾曼濾波模型和回歸分析模型是常用的數據分析和預測模型, 常用于預測施工中建筑物的不均勻沉降[2]。回歸分析模型是一種靜態的數據分析模型, 根據不均勻沉降與影響因子之間的相互關系建立回歸方程, 以預測某一時刻歷史建筑的不均勻沉降， 但是這種方法要求數據有一定的規律, 否則預測會產生較大誤差, 而且不能實時處理監測數據, 預測成本較大[3]。卡爾曼濾波模型使用一組狀態方程和觀測方程來描述動態觀測系統, 可以根據觀測值不斷地修正預測值, 其本質上是最優線性估計算法。相比于回歸分析模型, 卡爾曼濾波模型可以快速、 實時地處理大量監測數據, 預測成本較低， 并且它可以將系統狀態和觀測信息有機結合, 有效提高不均勻沉降的預測精度[4]。基于卡爾曼濾波模型的優勢, 本文構建了卡爾曼濾波沉降預測模型, 利用該模型對某歷史建筑的不均勻沉降進行預測, 并與工程中常用的多項式回歸分析模型進行了對比分析。

1 卡爾曼濾波沉降預測模型

1.1 觀測系統的離散化模型

(1)

可用下面的連續性方程來表示:

(2)

此方程為常系數線性微分方程, 其解等于相應齊次方程的通解和非齊次方程特解的和。求解過程已在文獻[5]中詳細描述， 此連續線性微分方程的解為

(3)

將上式進行離散化

(4)

若用下標k+1和k分別表示tk+1和tk, 對式(4)進行求解, 并設

(5)

即可得觀測系統的狀態方程

(6)

其中: Δt=tk+1-tk為觀測間隔。由于相鄰兩次觀測時間間隔相同, 取Δt=1。同時考慮到觀測方程為

(7)

上述觀測系統的離散化模型可以表示為

xk+1=Axk+Γwk,

(8)

yk=Bxk+vk,

(9)

其中:xk是系統狀態向量;yk是觀測向量;wk是系統噪聲;vk是觀測噪聲;A為狀態轉移矩陣;B為觀測矩陣;Γ為系統噪聲的系數矩陣。

1.2 卡爾曼濾波過程

1.2.1 基本卡爾曼濾波模型 卡爾曼濾波模型可以利用觀測信息實時、 快速地估計隨時間不斷變化的狀態向量, 并對未來時刻的狀態向量進行預測。實現過程為[7-8]

① 根據上一時刻的最優估計, 預測當前時刻的系統狀態:

x(k|k-1)=A·x(k-1|k-1);

(10)

② 計算第① 步中當前時刻預測結果的偏差

P(k|k-1)=A·P(k-1|k-1)·AT+ΓQΓT,

(11)

其中:P為預測結果偏差的方差陣,P(k-1|k-1)表示上一時刻的預測偏差;

③ 計算當前時刻的卡爾曼增益

Kg(k)=P(k|k-1)·BT(B·P(k|k-1)·

BT+R)-1;

(12)

④ 修正第①步的預測, 獲得當前時刻的最優估計結果

x(k|k)=x(k|k-1)+Kg(k)·[y(k)-

Bx(k|k-1)];

(13)

⑤ 計算相應于第④步當前時刻最優估計結果的偏差

P(k|k)=[I-B·Kg(k)]·P(k|k-1)。

(14)

因此, 只要給定初始值x(0|0)和初始估計結果偏差P(0|0), 利用觀測值y1,y2, …,yk便可由上述的遞推方程得到k時刻狀態向量的最優濾波值x(k|k)。

1.2.2 卡爾曼濾波預測模型 基本的卡爾曼濾波方程實現了對狀態的最優估計, 如果為了實現一步預測, 應采用卡爾曼濾波的一步預測方程對歷史建筑的沉降進行預測[9]:

x(k+1|k)=A(k)x(k|k-1)+Kg*(k)·

[y(k)-Bx(k|k-1)],

(15)

其中, 預測模型的卡爾曼增益Kg*(k)和預測結果偏差P(k+1|k)分別為

Kg*(k)=A·P(k|k-1)·BT·[A·P(k|k-1)·

AT+R]-1,

(16)

P(k+1|k)=[A-B·Kg*(k)]·P(k|k-1)·

BT+ΓQΓT。

(17)

利用上述方程得到k+1時刻的最優預測值x(k+1|k), 實現對沉降的一步預測。當迭代n次時, 即可完成n步預測。

2 工程實例及沉降預測

由于臨近地鐵的施工對土體造成較大擾動, 影響了上海市黃浦區某歷史建筑原有地基和基礎的狀態, 需要對其進行基礎托換施工。該歷史建筑于1934年竣工, 上部結構為現澆鋼筋混凝土結構, 基礎為雙向鋼筋混凝土條形基礎, 平面形式近似矩形。為了防止該歷史建筑在基礎托換期間因不均勻沉降引發嚴重破壞, 對其進行靜力水準系統自動化連續沉降監測。觀測點均勻布置在該歷史建筑四周的柱基上, 共布置19個觀測點, 如圖1所示, 其中S13為基準點。由于S01測點距離基準點最遠, 且由各測點監測數據可知, 該測點的不均勻沉降最大， 因此本文對S01測點15期的監測數據進行分析。首先建立卡爾曼濾波的動態觀測模型, 運用該模型對前10期監測數據進行濾波, 然后分別用卡爾曼濾波模型、 基于卡爾曼濾波的多項式回歸分析模型和傳統多項式回歸分析模型對后5期數據進行預測對比分析。

圖1 測點布置圖

2.1 卡爾曼濾波模型

殘差是實際觀測值減去估計值(擬合值)所得之差, 它反映了估計值的準確程度[11]。結合卡爾曼濾波的遞推公式和上述的初始狀態。對比實際觀測值和卡爾曼濾波值, 并進行殘差分析, 得到S01測點數據前10期的濾波結果, 見圖2。 監測數據由第2期開始收斂, 協方差逐漸趨向于0。卡爾曼濾波的結果與原始數據相差不大, 殘差的絕對值最大不超過0.3 mm, 說明初始狀態的選取比較合理。濾波后的曲線更加平滑, 能夠更好地反映歷史建筑的沉降趨勢。

圖2 卡爾曼濾波結果(a)和濾波協方差(b)

2.2 沉降預測及對比分析

在沉降預測過程中, 根據前10期原始觀測數據, 將觀測時間作為自變量, 不均勻沉降作為因變量, 建立傳統的多項式回歸分析模型, 并運用該模型預測后5期的不均勻沉降; 基于前10期的卡爾曼濾波數據, 用多項式回歸模型建模, 然后利用該模型得到后5期的預測結果; 根據前10期的濾波結果, 用卡爾曼濾波模型對后5期的不均勻沉降進行預測。將3種方法所得的預測結果與實際觀測值進行對比, 并進行殘差分析, 其結果見表1。

表1 不同模型的預測結果對比

3種方法所得到的預測值與實際觀測值殘差的絕對值均小于2 mm, 說明這幾種方法的預測結果和實際觀測值較為吻合, 都適用于歷史建筑不均勻沉降的預測, 但是卡爾曼濾波預測值的中誤差只有0.174 mm, 預測精度最高。相比之下, 傳統多項式回歸分析模型的預測誤差較大, 其預測值的中誤差為1.122 mm, 明顯大于另外兩種方法。同時, 基于卡爾曼濾波值的多項式回歸模型由于剔除了建模數據中的部分隨機干擾, 其預測精度與傳統的多項式回歸模型相比有所提高, 但是沒有達到卡爾曼濾波模型的預測精度。

根據以上分析, 卡爾曼濾波模型相比于多項式回歸模型, 能夠更好地預測歷史建筑的不均勻沉降。在預測過程中, 多項式回歸模型每一次預測更新都需要將前幾期的數據重新整合建模。相比之下, 卡爾曼濾波模型不需要儲存大量數據, 只需要新一期的監測數據即可進行預測, 大大節省了時間和成本, 因此卡爾曼濾波模型更適合于實際工程。

3 結束語

(1)與傳統的多項式回歸模型相比, 卡爾曼濾波模型能夠更好地預測歷史建筑的不均勻沉降。它可以實時、 快速地處理大量監測數據, 提高了預測效率, 有效運用于實際工程。

(2)基于卡爾曼濾波的多項式回歸模型可以對初始的監測數據進行修正, 剔除數據中部分隨機擾動的影響, 一定程度上提高了多項式回歸模型的預測精度。

(3)在實際應用中, 需要考慮卡爾曼濾波的收斂速度，且濾波初值的選取對濾波效果的影響較大, 其預測值可能帶有模型誤差, 需要進一步研究。