基于MATLAB可視化程序處理《經典物理》復雜習題的教學研究*

董少光，朱傳云，譚 鵬

(佛山科學技術學院物理與光電工程學院，廣東 佛山 528000)

1 引言

《經典物理》是理工科專業學生必修的一門專業基礎課，一般在大一學年的下學期和大二學年的上學期開設。在這個學習階段學生雖然有一定的高等數學基礎知識，但是由于《經典物理》教學主要停留在理論分析的層面上，物理公式中繁瑣的數學推導過程，讓學生感覺到《經典物理》的理論性、嚴謹性太強，與物理問題在實際生活中的應用偏離很大，導致一部分學生對《經典物理》的學習失去了信心和興趣。這種長久以來的教學現象必定會引起教師對如何講授《經典物理》要采取一系列的探索和改革，改革主要體現在教學方法、教學內容以及教學手段上[1]。

理工科專業的學生需要培養通過數值模擬的科學計算能力來解決實際問題，這種能力是學生在畢業后的工作或科研中必須擁有的解決問題能力和科學素質[2]。在《經典物理》的教學中，數值模擬計算方法的優越性得到了大多數學生的認可，使一些原來無法通過解析法解決的物理問題利用數值模擬計算方法后可以得到較充分的討論和分析，一些比較枯燥的、難度較大的物理習題也變得生動有趣并具有一定的啟發性，一些計算量很大的物理習題更是被輕而易舉地解決了。而且，由于數值模擬計算具有成本低、上手快、操作性強等特點，可以廣泛應用于《經典物理》探究性的教學過程，這對培養學生的科學理念、創新素質、探索和創新精神、科學思維能力和智力提升等方面都有重要的意義[3]。

在《經典物理》的教學過程中，適時地引入MATLAB 數值模擬計算方法既可以使物理概念和物理規律的教學更加直觀、易于接受，也可以在課堂上生動直觀地展示特殊的物理現象，還可以讓學生初步地了解MATLAB 數值模擬計算在解決復雜物理問題中的具體應用。將MATALB 的數值模擬計算方法引入《經典物理》的習題教學中，可使習題教學更生動、更形象，習題內容更充實、更直觀和計算結果的可視化。如果將MATALB 的數值模擬計算應用到《經典物理》的習題教學中，就能顯示復雜的物理過程，而且能讓學生對物理習題有一個科學而清晰的全面理解，同時還能通過習題教學激發學生的學習興趣，從而進一步推動《經典物理》教學的現代化進程[4]。

2 MATLAB 的數值計算及模擬仿真

在《經典物理》的教學過程中，基于PPT 的電子教案已經得到了廣泛的應用。然而用PPT 制作的電子教案還是有很多的局限性，物理學中很多實驗或者計算結果的圖像再現，是很難用PPT 制作完成的。為了加強學生對物理基本概念、物理過程以及物理知識應用的深刻理解，把學生從抽象的物理思維和復雜的數學計算中解脫出來，將MATLAB 引入《經典物理》教學是一種非?？尚械慕鉀Q方法[5]。MATLAB 具有可視化的數值計算、符號計算、繪畫作圖及動畫仿真功能，能準確地反映物理學中的各種物理問題。在《經典物理》教學過程中，合理地利用MATALB 輔助課堂教學，不僅能夠使一些抽象的、枯燥的物理問題變得形象、有趣，提高教師的教學效果和學生的學習質量，更重要的是能夠激發學生對《經典物理》的學習興趣，有助于培養學生的創新意識，提升學生的創新素質和創造能力[6]。

采用融入MATLAB 軟件的多媒體課件和傳統的黑板+粉筆的綜合教學模式，就可以充分發揮MATLAB數值模擬計算和模擬結果可視化在《經典物理》教學中的作用，可以向學生傳達更多更新的《經典物理》教學內容，展示《經典物理》課程中更豐富的物理現象，將學生的注意力從數值計算過程轉移到對物理現象的理解和物理問題的實際應用，激發學生探索學習物理科學問題的興趣，從而達到提高《經典物理》教學質量的目的[7]。因此，MTALAB 為《經典物理》的復雜計算和實驗數據處理提供了更好的解決方法。

在使用MATLAB 數值模擬計算求解《經典物理》較復雜的問題之前，一定要學生先利用課余時間自學MATLAB 軟件的基本知識，并要求學生課前用MATLAB 軟件制作一些《經典物理》中相對簡單問題的課件。教學中應該注意到MATLAB 軟件只是《經典物理》教學的輔助手段，只有在適當的課堂教學要求下靈活應用該軟件，才能達到理想的教學目的和課堂教學效果[8]。因此，對高等院校理工科的學生來說，在《經典物理》的學習過程中，學會使用MATLAB 軟件是學生必須掌握的基本技能。

學生在做《經典物理》習題時，最讓學生頭疼的不是根據題意列出相應的物理方程，而是對物理方程進行復雜的數學計算。將MATLAB 的數值模擬計算引入《經典物理》習題求解過程，大大擴展了學生的認知視野，培養了學生分析問題和解決問題的創新能力。對那些用通常的數學方法求解相當麻煩、計算量比較大的物理問題，采用MATLAB 數值模擬計算可讓學生從繁瑣的數學計算中解放出來，把思維的注意力放在物理問題的本質理解上，這對教師的物理教學和學生的物理學習都是非常有益的。

3 MATLAB 在處理復雜物理習題中的應用

MATLAB軟件所包含的大量的程序包為求解復雜的《經典物理》問題提供了很多方便。在《經典物理》教學過程中，教師可以適當地使用MATLAB 軟件進行數值計算，避免在黑板上進行繁瑣的數學演算過程，集中精力分析物理公式或物理方程所描述的物理現象和物理本質。

3.1 MATLAB的符號計算功能

在《經典物理》教學過程中，MATLAB軟件在符號運算、圖像繪制、模擬仿真方面有著明顯的優勢。利用MATLAB軟件繪制的圖像和制作的動畫仿真適當地引入到《經典物理》教學某些章節的電子教案里，不但能使復雜的物理現象可視化，使抽象問題的形象化，而且能讓學生對復雜的物理問題有了一個科學而又清晰的理解和認識。MATLAB的數值計算只能得到實際問題的近似解，而符號計算則可得到實際問題的精確解。MATLAB的符號運算是由符號數學工具箱中的相關函數操作完成的。MATLAB符號計算函數主要有：符號變量和符號表達式創建函數sym和syms，極限函數limit(F,x,a)、微分函數diff(S,v,n)、積分函數int(S,v,a,b)、符號表達式解代數方程函數solve(eqn)，常微分方程符號解函數dsolve(‘eqn1,eqn2,…’,‘cond1,cond2,…’,‘v’)等。

微分運算是《經典物理》習題教學和物理練習過程中經常遇到的，MATLAB軟件提供的微分函數命令diff(S,v,n)不僅可求函數的一階導數，而且還可以計算函數的高階導數和偏導數。在《經典物理》的靜電場理論部分，學習了場強與電勢的關系后，如果已知電勢的分布情況就可以通過微分函數求出對應的場強分布了。

例題1，在計算圓電荷與直線電荷之間的作用力等問題時，常用到下面的積分公式（不計積分常量）。

其中，k是參數。求證上述積分。當x=0 時，積分為零。根據參數畫出積分的函數曲線。

%數值積分和符號積分方法

%一階常微分方程的解析解，數值解和符號解

3.2 MATLAB模擬結果的可視化圖形

在《經典物理》習題計算過程中，原始數據雖然能夠精確地表達問題本身的內在信息，但是學生很難從大量的離散數據中發現物理問題的本質含義和隱含的物理規律。如果將所給的數據進行可視化處理，就能直接感受到數據背后隱藏的物理現象的內在本質和內在聯系以及物理變化規律等。MATLAB 提供了豐富的函數類型，對應于不同圖形功能表達式。常用的函數有：繪制二維數據圖形函數plot(x,y)；二維顯函數曲線圖形函數fplot(‘function’,[a,b])，二維隱函數曲線圖形函數ezplot(‘function’,[a,b])等。

例題3，一鏈條長為l，放在光滑的桌面上，其中長為b的一段處于下垂狀態。鏈條從靜止開始運動，求鏈條的運動規律，并求鏈條滑出桌面的時間和速度各為多少？

解析：由牛頓第二定律和牛頓第三定律以及數學的微積分和初始條件可以求得，鏈條下落的時間與高度的關系為：鏈條下落時的長度（高度）的規律為：。當鏈條完全滑出桌面時，所需要的時間為：，鏈條的速度為：。

例題4，兩個強度和波長都相同的光點關于圓孔對稱分布，單色光通過圓孔產生的衍射圖樣疊加結果如何？并說明瑞利判據。

解析：光源上一個光點發出的光通過圓孔后，由于衍射的存在，不能聚集為一個點而主要是一個亮斑。兩個點光源發出的光通過圓孔后，就會形成兩個亮斑。如果兩個點光源相距很近，兩個亮斑就重疊得比較多，就有可能無法分辨出兩個點光源。當一個點光源形成的亮斑中央與另一個點光源形成的第1 級暗紋重疊時，另一個點光源形成的亮斑中央也與前一個點光源形成的第1 級暗紋重疊，正常的人眼就剛好能夠分辨兩個光點的像，這就是瑞利判據。

式中，J1為一階貝塞爾函數。再取1z=z+Δz，z2=z-zΔ，則光強又可表示為

當Δz=0時，表示兩個光點重疊，此時兩個光點的像無法分辨。當Δz=0.305時，兩個光點的像此時恰好能夠分辨。以Δz為參數，取z為自變量向量，即可計算總光強，畫出總光強曲線。如果將z向量化為坐標矩陣，則可畫出衍射條紋和光強曲面。

%瑞利判據的三種曲線和圖片

4 結論

在《經典物理》的習題教學和練習的過程中，利用MATLAB 軟件的數值計算功能可以使物理習題的復雜計算過程變得輕松易解，利用MATLAB 軟件的符號計算功能可以解復雜的物理方程如代數方程、高階微分方程、超越方程等，利用MATLAB 軟件數據處理的可視化功能可以將物理問題的計算結果以二維或三維圖形的方式呈現，從這些可視化的圖形中學生很容易發現對應的物理規律或物理量之間的變化趨勢，更好地理解物理問題產生的原因或本質。利用MATLAB 軟件的可視化程序設計可以使《經典物理》的習題教學在一定的程度上減輕了老師課堂的教學強度，同時也降低了復雜的數學計算過程對學生理解物理問題的干擾。這種教學輔助手段如果利用得當的話，一定可以提高《經典物理》的課堂教學效果，激發老師的教學激情，更重要的是激發學生學習《經典物理》的興趣，提升學生的科學素質和創新能力。