基于SINS/BDS/彈道的組合導航

殷佳偉，朱建良，薄煜明

(南京理工大學 自動化學院，南京 210094)

導彈是一種攻擊距離遠、殺傷力強、殺傷范圍廣的武器，具有重大戰(zhàn)略意義，對導航系統(tǒng)的穩(wěn)定性和精確性均提出了較高的要求[1]。如今運用較為廣泛、技術(shù)較為成熟的組合導航模式為慣導/衛(wèi)星組合導航，具有較好的導航定位效果。

慣導/衛(wèi)星組合導航系統(tǒng)通過卡爾曼濾波器進行數(shù)據(jù)融合，而濾波器能正確輸出的前提是收到衛(wèi)星數(shù)據(jù)和慣導數(shù)據(jù)[2]。

捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)(Strapdown Inertial Navigation System, SINS )所需成本較低，同時可以獨立工作并且能得到較為詳細的導航信息。然而通過慣導解算得到的定位數(shù)據(jù)存在累積誤差，會隨時間發(fā)散，不利于長期工作狀態(tài)[3]。

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System, GNSS)恰好彌補了慣導系統(tǒng)的缺點，不僅誤差不會隨時間發(fā)散，而且數(shù)據(jù)的精度也相對較高。目前我國的北斗導航衛(wèi)星系統(tǒng)(BeiDou Navigation Satellite System, BDS)已經(jīng)實現(xiàn)全球組網(wǎng)，能提供一定精度的定位數(shù)據(jù)。不過在導彈發(fā)射這種高動態(tài)環(huán)境下，衛(wèi)星信號極易受到干擾或者可能長時間處于失鎖狀態(tài)，此時組合導航系統(tǒng)就無法正常工作了。因此需要對衛(wèi)星信號缺失情況下的組合導航系統(tǒng)進行研究，使得系統(tǒng)在衛(wèi)星信號缺失時仍能得到相對精確的定位數(shù)據(jù)。

在基于SINS/BDS的組合導航系統(tǒng)中，當BDS信號缺失，系統(tǒng)就退化為純慣導系統(tǒng)，導航誤差逐漸發(fā)散[4]。目前解決方法主要有利用曲線擬合來估計慣導的誤差曲線、利用神經(jīng)網(wǎng)絡預測誤差等。Li等[5]采用基于支持向量機(Support Vector Machine, SVM)的回歸曲線擬合方法將慣導的誤差曲線進行了擬合，從而對慣導的輸出誤差進行修正。Chen等[6]利用時間序列對慣導的輸出誤差進行建模，利用該誤差模型對慣導進行修正，得到正確定位數(shù)據(jù)。但上述方法一般適用于靜態(tài)誤差特性系統(tǒng)，不太適用于本文研究的組合導航系統(tǒng)。趙雪峰[7]分別設(shè)計了BP神經(jīng)網(wǎng)絡以及Elman神經(jīng)網(wǎng)絡模型，預測出慣導系統(tǒng)的輸出誤差，利用該預測值對慣導系統(tǒng)進行修正，得到了衛(wèi)星信號缺失下的定位數(shù)據(jù)。Semeniuk[8]構(gòu)建了徑向基函數(shù)( Radial Basis Function, RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡對慣導的誤差進行預測；Noureldin[9]設(shè)計了輸入延遲動態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡來對慣導的輸出誤差進行訓練，提高了位置預測精度。但上述神經(jīng)網(wǎng)絡方法需要離線進行大量訓練與預測，實時性問題有待進一步研究。

為此，本文提出了一種基于SINS/BDS/彈道的組合導航方案，在已有SINS/BDS組合導航系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，利用彈道信息進一步進行約束，確保在衛(wèi)星信號異常情況下的正確導航數(shù)據(jù)輸出。

1 基于SINS/BDS/彈道的組合導航方案設(shè)計

本文提出的基于SINS/BDS/彈道的導航系統(tǒng)組合模式方案如圖 1所示。當BDS可用時，采用常規(guī)的SINS/BDS組合導航方案，本文不再贅述。當檢測到衛(wèi)星信號失常，此時就利用彈道信息進行誤差修正，本文將重點介紹該過程。彈道模型提供的彈體狀態(tài)信息無法長時間保證精度，時間越長，精度越低，因此需要進行彈道更新。工作模式為：根據(jù)導彈初始狀態(tài)以及運動模型生成彈道軌跡，得出軌跡點上的姿態(tài)、速度和位置數(shù)據(jù)。同時通過彈道解算得到位置、速度量，將兩種方式得到的位置、速度作差，作為觀測量進行卡爾曼濾波，得到導航誤差估計值，進行輸出校正。為了確保彈道的準確性，每隔5 s以當前時刻校正過的彈體位置、速度、姿態(tài)信息作為初始量，重新構(gòu)建彈道，再與慣導系統(tǒng)進行組合濾波。將兩種組合方式進行融合，就形成了基于SINS/BDS/彈道的組合導航系統(tǒng)。

2 彈道模型

由于炮彈出口速度大，初始擾動對炮彈的外彈道會產(chǎn)生很大影響。同時，炮彈在飛行過程中速度同樣很大，極易改變其所受的大氣作用力以及力矩。為了能夠體現(xiàn)這些影響因素，需要采用改進的彈道方程組來建立外彈道模型。

2.1 坐標系定義

為了方便建立外彈道模型，本文運用了地面坐標系O-xyz、彈體坐標系O-x1y1z1以及彈道坐標系O-x2y2z2。具體描述如下：

(a)地面坐標系O-xyz

地面坐標系與地球表面固連，是慣性系，以炮彈發(fā)射點作為坐標系原點O。坐標軸Ox、Oy、Oz分別指向東、北、天。

(b)彈體坐標系O-x1y1z1

彈體坐標系原點O為炮彈質(zhì)心，Ox1軸與彈體縱向中心軸一致，以彈體前部為正；Oy1軸垂直于Ox1軸所在的彈丸縱剖面，Oz1軸垂直于O-x1y1平面，方向向上為正，并且O-x1y1z1構(gòu)成右手直角坐標系。

(c)彈道坐標系O-x2y2z2

彈道坐標系與速度V固連，原點O為炮彈的瞬時質(zhì)心，Ox2軸始終與彈丸速度矢量V重合，Oz2軸位于包含速度矢量V的鉛垂面內(nèi)且垂直于Ox2軸，向上為正；Ox2、Oy2、Oz2三軸構(gòu)成右手直角坐標系。

2.2 外彈道數(shù)學模型

選取某炮彈彈丸作為研究對象，其質(zhì)量為m，發(fā)射時的飛行速度為V，彈丸相對于質(zhì)心的動量矩為H，充分考慮大氣密度模型和氣動力模型。即不僅要考慮空氣密度隨飛行過程中高度的改變而變化，還要考慮氣動系數(shù)隨著飛行過程中速度的改變而變化。據(jù)此建立外彈道六自由度模型方程組。

2.2.1質(zhì)心動力學方程組

其中，v為彈丸速度，θ2為彈道傾角，θa為彈道偏角。Fx2，F(xiàn)y2，F(xiàn)z2為炮彈彈丸合外力分別在彈道坐標系O-x2y2z2三個坐標軸上的分量，忽略地球自轉(zhuǎn)影響，具體表示如式(2)所示。

式中，θ2為彈道傾角，γv為速度傾斜角，X、Y、Z分別為氣動阻力、馬格努斯力和升力，分別為如式(3)所示。

其中，ρ為空氣密度，v為彈丸速度，s為彈丸面積，cx，cy，cz分別為氣動阻力系數(shù)、馬格努斯力系數(shù)和升力系數(shù)。

2.2.2繞質(zhì)心運動的動力學方程組

式中，Jx1，Jy1，Jz1分別為彈丸轉(zhuǎn)動慣量在彈體坐標系O-x1y1z1中3個坐標軸上的分量，ωx1，ωy1，ωz1分別為彈體坐標系下的彈丸滾轉(zhuǎn)角速度、俯仰角速度和偏航角速度，Mx1，My1，Mz1分別為彈體坐標系下的滾轉(zhuǎn)力矩、俯仰力矩和偏航力矩。彈丸所受滾轉(zhuǎn)力矩Mx1、俯仰力矩My1和偏航力矩Mz1分別如式(5)所示。

其中，ρ為空氣密度，v為彈丸速度，s為彈丸面積，l為彈丸長度。

2.2.3質(zhì)心運動學方程組

在地面坐標系O-xyz中，彈丸的運動學方程如式(6)所示。

2.2.4繞質(zhì)心運動學方程組

彈丸繞質(zhì)心運動可分解為繞3個坐標軸的旋轉(zhuǎn)運動，在地面坐標系O-xyz下，彈丸繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的運動學方程如式(7)所示。

綜上，上述方程組成了炮彈外彈道的數(shù)學模型，運用龍格庫塔法求解一階微分方程，得到外彈道方程的位置、速度信息，將其提供給慣性導航系統(tǒng)進行誤差修正。

3 炮彈組合導航系統(tǒng)建模

3.1 組合導航系統(tǒng)模型的建立

炮彈狀態(tài)方程由加速度誤差、速度誤差、位置誤差和姿態(tài)角誤差方程組成。狀態(tài)方程如式(8)所示。

其中，F(xiàn)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，G為系統(tǒng)噪聲轉(zhuǎn)移矩陣，W為系統(tǒng)噪聲，狀態(tài)變量X如式(9)所示。

X=[δPδVδA▽ε]T

(9)

式中變量分別為3個方向的位置誤差、速度誤差和姿態(tài)角誤差、3個加速度計零偏、3個陀螺儀零漂。

在衛(wèi)星信號缺失時，以當前運動狀態(tài)值作為初始量構(gòu)建彈道，通過解算以及坐標轉(zhuǎn)換得到導航坐標系下的位置與速度。此時，觀測量選取位置與速度誤差量，量測方程如式(13)所示。

式中，H為量測轉(zhuǎn)移矩陣，如式(14)所示，V為量測噪聲。

3.2 卡爾曼濾波器

上述是構(gòu)建卡爾曼濾波器所需的系統(tǒng)方程和量測方程。對于本文所考慮的彈道輔助慣導系統(tǒng)，卡爾曼濾波方程采用如下形式。

3.2.1濾波器預測步驟

在每次測量值更新之后，利用現(xiàn)有的最優(yōu)位置、速度以及姿態(tài)的誤差估計值對慣導系統(tǒng)進行校正。協(xié)方差矩陣在時間上是向前預測的，公式如式(15)所示。

其中，Φk是將系統(tǒng)誤差方程離散化后的tk時刻系統(tǒng)轉(zhuǎn)移矩陣；Pk+1/k代表的是在tk時刻所預測的tk+1時刻協(xié)方差矩陣的期望，它最初為對角矩陣，單個元素是根據(jù)發(fā)射前傳遞給導彈慣導系統(tǒng)的初始姿態(tài)角、速度和位置誤差的期望方差選擇的；Qk為系統(tǒng)噪聲矩陣，是根據(jù)加速度和角速率的慣性測量值的期望噪聲級別設(shè)置的。

3.2.2濾波器的更新

慣導系統(tǒng)狀態(tài)的誤差估值可通過式(16)推導得出。

δxk+1/k+1=Kk+1δzk+1

(16)

協(xié)方差矩陣根據(jù)式(17)進行更新。

Pk+1/k+1=[I-Kk+1Hk+1]Pk+1/k

(17)

式中，R是測量噪聲，矩陣的元素根據(jù)預期的陀螺儀和加速度計測量噪聲級別進行設(shè)置。

3.2.3慣導系統(tǒng)修正

每次測量值更新后，利用當前的最優(yōu)誤差估值立即修正慣性導航狀態(tài)量，修正方程如下：

1)速度和位置修正。速度和位置可以通過慣性系統(tǒng)對這兩個量的估值與估值誤差簡單相減來修正，如式(19)所示。

4 仿真驗證及性能分析

4.1 仿真方案設(shè)計

利用Matlab軟件對前文設(shè)計的導航方案進行仿真分析，并驗證其正確性和有效性。為了比較本文提出的SINS/BDS/彈道的組合導航方案與SINS/BDS的組合導航方案的效果，仿真時將20～50 s內(nèi)的BDS信號設(shè)置為異常狀態(tài)，運用兩種導航方案進行仿真。在使用本文方案進行仿真時，由于彈道提供的位置和速度的精度會隨著時間降低，因此仿真時采用每隔5 s更新一次彈道的方案。具體過程為：首先，設(shè)置初始條件后，對生成的彈道模型進行解算，得到彈丸的瞬時速度、位置以及姿態(tài)角，同時根據(jù)慣導數(shù)據(jù)進行慣導解算也能得到彈丸瞬時位置、速度以及姿態(tài)角，將這兩種方式得到的位置和速度值作差，以此作為量測量進行卡爾曼濾波，進而對位置、速度和姿態(tài)進行修正。經(jīng)過5 s后，利用當前最優(yōu)狀態(tài)量更新彈道，然后重復上述過程。

4.2 仿真條件

初始位置：緯度為32.028°N，經(jīng)度為118.847°E；初始姿態(tài)：橫滾角與航向角均為0°，俯仰角為45°；初始速度：大小為550 m/s。

慣性器件誤差：SINS陀螺儀零偏穩(wěn)定性1°/h,隨機零偏為0.2°/h，一階馬爾科夫噪聲驅(qū)動白噪聲均方差0.2°/h，相關(guān)時間為3600 s；加速度計零偏穩(wěn)定性為80 μg，隨機偏置40 μg，一階馬爾科夫噪聲驅(qū)動白噪聲均方差40 μg，相關(guān)時間為3600 s，慣性器件數(shù)據(jù)輸出周期0.01 s。

彈道解算：采用龍格庫塔法，步長設(shè)為0.01進行解算，得到的狀態(tài)量的輸出周期為0.01 s，濾波周期設(shè)為0.01 s。仿真運行時間63 s。

4.3 仿真結(jié)果與分析

圖 2～圖 4為現(xiàn)有的SINS/BDS組合導航結(jié)果和基于SINS/BDS/彈道的多源組合導航解算的結(jié)果對比圖。從仿真圖中可以看到，在初始20 s內(nèi)，BDS信號正常，此時兩種方案的導航性能相差不大。在20～50 s內(nèi)，BDS信號受到干擾，導致BDS定位數(shù)據(jù)誤差增大，此時對慣導系統(tǒng)累積誤差的修正效果逐漸變差，使得SINS/BDS組合導航系統(tǒng)的導航誤差逐漸發(fā)散；而本文所用的基于SINS/BDS/彈道的多源導航方案在這種情況下依靠彈道提供的位置速度信息對導航結(jié)果進行修正，因此導航信息得到了較好的校正，誤差在可接受范圍內(nèi)波動。50 s之后，BDS信號恢復正常，兩種方案的導航效果又基本相差無幾了。由此可見，本文提出的導航方案確實提升了SINS/BDS組合導航系統(tǒng)的可靠性與魯棒性，在衛(wèi)星信號長時間異常時仍然能保持相當?shù)膶Ш骄取?/p>

(a)北方向 (b)東方向 (c)天方向

(a)俯仰角 (b)橫滾角 (c)偏航角

(a)北方向 (b)東方向 (c)天方向

為了進一步比較兩種方案的導航效果，列出了位置、速度以及姿態(tài)誤差的均方差，如表 1所示。

表1 導航方案均方差結(jié)果

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)及仿真結(jié)果圖可以看出，本文的導航方案的均方誤差小于原有的SINS/BDS組合導航方案，主要是因為在BDS信號失常期間，原有的組合導航方案對慣導系統(tǒng)累積誤差的修正效果不夠，導致誤差發(fā)散，而本文所提方案在這期間依靠彈道信息來進行誤差修正，使得導航信息保持了一定精度，提升了原有SINS/BDS組合導航系統(tǒng)的可靠性和魯棒性。

5 結(jié)論

本文對基于SINS/BDS的組合導航系統(tǒng)進行了一定改進，在不增加硬件的條件下，利用彈道模型提供位置、速度信息，提出了一種基于SINS/BDS/彈道的多源組合導航方案，解決了SINS/BDS組合導航系統(tǒng)在衛(wèi)星信號長時間異常期間的誤差發(fā)散問題，提升了組合導航系統(tǒng)的可靠性和魯棒性。