基于逆高斯紋理分布的協(xié)方差矩陣估計(jì)方法

李銳洋,霍偉博,馬 巍,程子揚(yáng)

(1.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十九研究所,四川 成都 610036;2.電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院,四川 成都 611731)

0 引 言

在傳統(tǒng)的雷達(dá)探測(cè)中,高斯分布被廣泛用來(lái)模擬低分辨雜波[1],然而近年來(lái)高分辨雷達(dá)的應(yīng)用需求愈發(fā)迫切。對(duì)雜波特性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,發(fā)現(xiàn)隨著分辨率的提高,相應(yīng)地距離分辨單元內(nèi)獨(dú)立散射點(diǎn)個(gè)數(shù)就會(huì)變小,地/海雜波的統(tǒng)計(jì)分布會(huì)表現(xiàn)出嚴(yán)重的拖尾性[2]。此時(shí),學(xué)者們將雜波建模為復(fù)合高斯模型[3-4],可以表示為相互獨(dú)立的散斑分量與紋理分量的乘積。其中,散斑分量通常被近似為高斯過(guò)程,由一個(gè)復(fù)高斯矢量表示;紋理分量表征雜波的非平穩(wěn)性,由一個(gè)非負(fù)的隨機(jī)變量表示。

為了更精確地描述復(fù)合高斯模型以便保證良好的檢測(cè)性能,大量學(xué)者研究了不同紋理分量分布下的目標(biāo)檢測(cè)問(wèn)題[5-9]。當(dāng)紋理分量為Gamma函數(shù)時(shí),對(duì)應(yīng)的分布為K分布[5-6],文獻(xiàn)[7]討論了該分布下的最優(yōu)和次優(yōu)檢測(cè)器。當(dāng)紋理分量為逆Gamma函數(shù)時(shí),通過(guò)對(duì)參數(shù)進(jìn)行最大似然估計(jì),多維t分布同樣較好地?cái)M合了實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)[8],文獻(xiàn)[9]推導(dǎo)了雜波協(xié)方差矩陣已知情況下的檢測(cè)器。在實(shí)際工作中,雜波協(xié)方差矩陣需要通過(guò)估計(jì)得到,傳統(tǒng)的利用待檢測(cè)單元周圍的樣本求平均得到的樣本協(xié)方差矩陣(sample covariance matrix,SCM)在非均勻雜波環(huán)境中估計(jì)性能較差。通過(guò)對(duì)訓(xùn)練樣本進(jìn)行歸一化,文獻(xiàn)[10]推導(dǎo)出了正則化SCM(normalized SCM,NSCM)。如果假定紋理分量為未知確定參量,可以得到協(xié)方差矩陣的漸進(jìn)最大似然(approximated maximum likelihood,AML)估計(jì)[11]。將紋理分量設(shè)為已知隨機(jī)變量時(shí),得到協(xié)方差矩陣的最大似然(maximum likelihood,ML)估計(jì)[12]。

為了提高非均勻雜波環(huán)境中的目標(biāo)檢測(cè)性能,基于知識(shí)輔助的信號(hào)檢測(cè)方法被廣泛研究[13]。利用雜波紋理分量的先驗(yàn)信息,采用逆Gamma分布作為雜波紋理分量的先驗(yàn)分布,文獻(xiàn)[14]提出了一種雜波協(xié)方差矩陣估計(jì)的貝葉斯方法。然而，上述的雜波分布模型對(duì)于低擦地角、高分辨雜波的擬合效果較差,近年來(lái)一種基于逆高斯分布紋理的復(fù)高斯分布被提出,實(shí)驗(yàn)表明該分布可以更好地?cái)M合實(shí)測(cè)雜波數(shù)據(jù)[15-16]。假設(shè)雜波紋理的先驗(yàn)分布為逆高斯分布,文獻(xiàn)[17-18]給出了相應(yīng)的兩步廣義似然比檢測(cè)器(generalized likelihood ratio text,GLRT)檢測(cè)器,文獻(xiàn)[19]將其拓展到跨距離單元目標(biāo)并進(jìn)行檢測(cè)性能分析,文獻(xiàn)[20]提出一種基于部分參考單元紋理分量空間相關(guān)性的目標(biāo)檢測(cè)算法。

在本文中,假設(shè)復(fù)合高斯雜波的紋理分量服從逆高斯分布,采用兩步的GLRT檢測(cè)方法:在假設(shè)協(xié)方差矩陣已知的情況下推導(dǎo)出檢測(cè)器,再利用紋理分布的先驗(yàn)信息推導(dǎo)協(xié)方差矩陣的ML估計(jì),再利用基于知識(shí)的貝葉斯方法估計(jì)協(xié)方差矩陣,推導(dǎo)最大后驗(yàn)估計(jì)(maximum a posteriori，MAP)估計(jì),最后仿真驗(yàn)證了檢測(cè)算法的性能及有效性。

1 數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)模型

假設(shè)某雷達(dá)單個(gè)天線發(fā)射的N個(gè)相參脈沖串信號(hào)為

v(t)=atu(t)ej2πfct

(1)

yn(t)=arv(t-τ)e-j2π(n-1)fdTr

(2)

式中:ar為回波幅度；τ為傳輸時(shí)延；fd為目標(biāo)多普勒頻率。下變頻消除fc得到基帶信號(hào),采用匹配濾波器h(t)=u*(-t)處理后按等距離間隔采樣,多個(gè)脈沖排列到一起得到K個(gè)距離單元的N×1維數(shù)據(jù)矢量zk∈CN×1,k=1,2,…,K,遍歷每個(gè)距離單元,檢測(cè)問(wèn)題就是如下的二元假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題:

(3)

式中:z表示待檢測(cè)單元接收的數(shù)據(jù)矢量；zk表示周圍距離單元的接收數(shù)據(jù)，k=1,2,…，K；a表示目標(biāo)的未知幅度；v表示已知的目標(biāo)導(dǎo)向矢量；n表示由雜波、干擾及熱噪聲組成的噪聲矢量。

對(duì)于待檢測(cè)單元的數(shù)據(jù),在Hi假設(shè)下服從z|ia,τ,R～CNN(iav,τR),i=0,1,概率密度函數(shù)(probability distribution function,PDF)分別為

(4)

(5)

記τ～I(xiàn)G(λ),其中λ表示形狀參數(shù)。

為解決式(3)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題,假設(shè)雜波協(xié)方差矩陣R已知,對(duì)于任意的隨機(jī)變量τ,正則化匹配濾波器(norma-lized matcher filter,NMF)為漸進(jìn)最優(yōu),對(duì)應(yīng)的判決準(zhǔn)則如下:

(6)

式中:γ為恒虛警門限。實(shí)際中由于協(xié)方差矩陣未知,無(wú)法直接利用式(6)進(jìn)行檢測(cè)。

2 逆高斯分布下的GLRT檢測(cè)器

2.1 檢測(cè)算法

NMF檢測(cè)器在復(fù)合高斯雜波下是一種漸進(jìn)最優(yōu)的檢測(cè)器,屬于GLRT檢測(cè)器漸進(jìn)極限。而在已知紋理分量分布的情況下,本文給出一種兩步的GLRT檢測(cè)器,即首先假設(shè)雜波協(xié)方差矩陣已知,推導(dǎo)廣義似然比檢驗(yàn),然后代入R的估計(jì)量進(jìn)行檢測(cè)。

GLRT檢驗(yàn)為

(7)

為了簡(jiǎn)化表達(dá),引入w階第二類修正貝塞爾函數(shù),定義如下：

(8)

將式(4)及式(5)代入式(7),積分[18]得

(9)

定義

(10)

(11)

2.2 雜波協(xié)方差矩陣的ML估計(jì)

由文獻(xiàn)[13]可知,當(dāng)紋理分量為隨機(jī)變量且已知其分布時(shí),可以得到雜波協(xié)方差矩陣的ML估計(jì):

(12)

(13)

稱為非線性無(wú)記憶函數(shù),用來(lái)簡(jiǎn)化積分運(yùn)算。將式(5)代入式(13)進(jìn)行化簡(jiǎn),從而得到雜波協(xié)方差矩陣的ML估計(jì)為

(14)

求解式(14)只能通過(guò)迭代獲得,先產(chǎn)生初始協(xié)方差矩陣R(0),利用協(xié)方差矩陣的Toeplitz形式,設(shè)置為[R(0)]ij=ρ|i-j|,表示協(xié)方差矩陣第i行第j列的元素,ρ為一階相關(guān)系數(shù)。接下來(lái)依次計(jì)算R(n+1)=g(R(n),Z)，直到收斂為止,其收斂速度與訓(xùn)練數(shù)據(jù)K和矩陣自由度N有關(guān),一般迭代2～3次即可收斂。

3 基于知識(shí)的雜波協(xié)方差矩陣估計(jì)

基于知識(shí)輔助的檢測(cè)技術(shù)是解決雜波非均勻性的有效方法。通過(guò)設(shè)定雜波的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)信息,對(duì)待估計(jì)的雜波協(xié)方差矩陣進(jìn)行修正,進(jìn)而采用貝葉斯方法進(jìn)行檢測(cè)。因此,需要給隨機(jī)變量τ、τk和R分配合適的先驗(yàn)分布。將雜波協(xié)方差矩陣建模為隨機(jī)矩陣,即令R服從自由度為v的復(fù)逆Wishart分布[15]:

(15)

(16)

f(t,R|Z)∝f(Z|t,R)f(t)f(R)∝

(17)

式中:∝表示正比于。對(duì)τ進(jìn)行積分,得到

(18)

(19)

對(duì)后驗(yàn)分布f(R|Z)的對(duì)數(shù)求導(dǎo)取零得到式(19)的解,即令

(20)

為了求解式(20)中的最后一項(xiàng),引入第二類修正貝塞爾函數(shù)導(dǎo)數(shù)[21]的性質(zhì)：

(21)

則有

(22)

將式(22)代入式(20),化簡(jiǎn)整理后得

(23)

(24)

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)仿真評(píng)估了復(fù)合高斯雜波下基于知識(shí)的自適應(yīng)檢測(cè)技術(shù)的性能,在虛警概率Pfa=0.01、蒙特卡羅次數(shù)為1 000次的前提下,對(duì)比了紋理分量為逆高斯分布時(shí)幾種協(xié)方差矩陣估計(jì)方法的精度,隨后評(píng)估了相應(yīng)檢測(cè)器的檢測(cè)性能。

(25)

圖1展示了協(xié)方差矩陣的估計(jì)誤差隨樣本數(shù)變化的仿真圖?？梢钥闯?由基于知識(shí)的MAP估計(jì)方法得到的協(xié)方差矩陣最貼近真實(shí)的協(xié)方差矩陣。而隨著樣本數(shù)的增多,ML估計(jì)方法相比于用樣本估計(jì)的SCM,具有更好的估計(jì)精度。

圖1 雜波協(xié)方差矩陣的估計(jì)精度比較Fig.1 Comparison of estimate accuracy of the clutter covariance matrix

下面的仿真驗(yàn)證了不同協(xié)方差矩陣估計(jì)方法下的雷達(dá)檢測(cè)性能,對(duì)比的檢測(cè)方法有NMF和GLRT檢測(cè)器。根據(jù)文獻(xiàn)[17],當(dāng)紋理分量服從逆高斯分布時(shí)雜波功率表示為4(λ+1)/πλ[17],則信雜比(signal to clutter ratio，SCR)定義為

(26)

為了體現(xiàn)雜波的非均勻性,不同距離單元的形狀參量λk不再相同,這里取(1,20)間的隨機(jī)數(shù)。

為了直觀比較檢測(cè)性能,圖2對(duì)比了不同距離單元樣本個(gè)數(shù)(K=16,K=32)時(shí),采用已知協(xié)方差矩陣、通過(guò)SCM、ML迭代及MAP方法估計(jì)的協(xié)方差矩陣,再代入NMF和GLRT兩種檢測(cè)器后得出的檢測(cè)概率曲線。其中，實(shí)線表示式給出的檢測(cè)器,虛線表示式給出的檢測(cè)器。可以看出,當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)較少時(shí),由于不滿足RMB準(zhǔn)則,SCM方法的檢測(cè)性能惡化嚴(yán)重,ML方法相比之下雖然較好,但仍然無(wú)法有效檢測(cè)目標(biāo);當(dāng)訓(xùn)練樣本增多后,兩者檢測(cè)性能達(dá)到正常水平。而基于知識(shí)的MAP方法由于引入了先驗(yàn)信息,在小樣本情況下其檢測(cè)性能也保持較好,且一直優(yōu)于SCM和ML方法,趨近于已知R時(shí)的檢測(cè)性能。另一方面,GLRT檢測(cè)器略優(yōu)于NMF檢測(cè)器,這是由于GLRT利用到了紋理分量的先驗(yàn)信息,屬于最優(yōu)檢測(cè),而NMF適用于任何紋理分量。

圖2 不同協(xié)方差矩陣估計(jì)方法下兩種檢測(cè)器性能比較Fig.2 Comparison of two detectors under different covariance matrix estimation methods

5 結(jié) 論

本文針對(duì)復(fù)高斯雜波環(huán)境,以逆高斯分布模擬紋理分量的分布特性,推導(dǎo)了雜波協(xié)防差矩陣的迭代ML估計(jì)方法,再利用貝葉斯方法,給出了一種基于知識(shí)的自適應(yīng)檢測(cè)算法,其協(xié)方差矩陣由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣與先驗(yàn)信息加權(quán)求和得到。利用計(jì)算機(jī)仿真,對(duì)比了文中方法與幾種常用協(xié)方差矩陣估計(jì)方法的精度,隨后仿真了NMF和GLRT檢測(cè)器在不同參數(shù)下的檢測(cè)性能。結(jié)果表明,基于知識(shí)的檢測(cè)技術(shù)有利用提高非均勻雜波中目標(biāo)檢測(cè)性能,且性能的優(yōu)劣與所獲得的先驗(yàn)信息準(zhǔn)確度密切相關(guān)。