聲學超表面的非對稱聲分束特性研究

宋愛玲，孫超彧，陳天寧，項延訓，軒福貞

(1.華東理工大學機械與動力工程學院，上海 200237；2.西安交通大學機械工程學院，西安 710049)

0 引 言

聲學超材料[1]是類比電磁學超材料提出的一種具備特殊物理性能的新型復合材料，在國防安全、工業發展和社會環境等領域有巨大的應用前景，近年來成為聲學領域的前沿研究熱點。自然界中各種形式的能量傳播都遵循互易原理，聲波作為一種經典波其傳播同樣也遵循互易原理[2-3]。聲學領域中沒有與其他領域類似的單向機制，且存在線性條件下互易原理的限制，致使實現非互易聲傳播存在著很大的理論和技術困難。實現非互易聲傳播均需要打破系統的時間反演對稱性，可以采用流動介質、非線性材料、時空調制結構參數等方法實現。另一種實現聲波單向傳播的方法是破壞結構的空間反演對稱性，近十年來，國內外學者利用聲子晶體、聲學梯度材料、聲學超表面、聲學柵等聲人工材料設計線性非對稱聲學系統打破空間反演對稱性實現了非對稱聲傳播，在能量傳輸效率、工作帶寬和結構尺寸等方面均具有很大的天然優勢。

在一些特殊場合人們希望聲波可以沿兩個甚至多個方向進行傳播，例如聲通信中希望將聲信號傳遞給不同方向的接收方，且可以任意控制接收方收到的信息量。聲通信作為一種收發信息的技術，在國防軍事領域發揮著重要作用。聲分束器[4]是將一束波分成兩束或多數波的裝置，為聲通信技術的發展提供了一種參考方法。但目前關于聲波分束尤其是非對稱分束的研究尚少，因此探索新型的聲波分束方法具有重要的理論和實際意義。不同于聲子晶體[5-6]和零折射率材料[7-8]實現聲波分束，超結構由于其獨特的波場調控特性可以對反射波或透射波進行有效分束操控。在電磁學領域，許多學者開展了電磁波分束的研究[9-11]，但多局限于較簡單的對稱分束情況，關于非對稱分束的研究均圍繞反射波展開[12-13]。近年來，對聲波分束的研究受到人們的廣泛關注[14-17]，但與電磁波分束類似，對聲波非對稱分束的研究也主要集中在對反射波的調控[18-19]，聲學領域中對透射波進行非對稱分束的研究尚少，嚴重限制了其在許多領域的實際應用。根據聲分束器兩束透射波的折射角和分束比，非對稱聲分束可以分為三種類型：相同折射角分束比非1，不同折射角分束比為1，以及不同折射角分束比非1，這三種非對稱聲分束器的阻抗矩陣分布、法向聲強分布及子單元幾何參數均會呈現出不同的特點，且在不同的應用場合中有應用前景。Li等[20]僅從理論上研究了一種不同折射角分束比非1的非對稱聲分束器，因此進一步系統研究其余類型的非對稱聲分束器對于豐富聲波分束的物理特性，實現其在聲功能器件和聲通信中的應用具有重要的理論指導意義。

本文針對透射波非對稱分束傳播的實際應用需求，基于局域聲功率守恒條件[20]研究了一種實現非對稱聲分束的設計理論和實現方法。首先，對聲分束器入射側和透射側的局域聲功率分布進行分析，探討實現局域聲功率守恒的方法，并獲得聲分束器所需的阻抗矩陣分布；其次，對四串聯共振腔結構進行幾何參數優化，利用互易的雙各向異性結構實現所需的阻抗矩陣分布；最后，運用有限元數值方法對聲壓場分布進行計算，對聲波分束效果進行有效性評價。本文的研究工作可以為非對稱聲分束結構設計提供一種參考思路，并促進其在工程領域的實際應用。

1 非對稱聲分束模型及局域聲功率分布

1.1 非對稱聲分束理論模型

本文提出一種透射型聲波分束超表面，其工作原理示意圖如圖1(a)所示。聲波分束器沿y軸方向豎直放置，可將左側垂直入射的聲波分成兩束沿任意方向傳播的透射波，且可以指定兩束透射波的分束比。兩束透射波的折射角分別為θ1、θ2，透射系數分別為T1、T2，且T1=t1ejφ1，T2=t2ejφ2，t1和t2為透射系數幅值，φ1和φ2可以反映透射系數的相位情況。

圖1 非對稱聲分束效果示意圖

1.2 局域聲功率不匹配

首先分析聲分束器兩側的聲壓、質點速度及聲強分布。對于左側入射的聲波，入射波的聲壓和質點速度可以分別表示為：

pi=p0e-jk0x

(1)

vi=p0e-jk0x/Z0

(2)

式中：p0為聲壓幅值；k0為聲波在空氣中的波數；Z0為空氣的聲阻抗。根據聲分束器入射側表面x=0處的聲壓pi(x=0)=p0和質點速度vi(x=0)=p0/Z0，可得聲分束器的入射聲強為：

(3)

由于聲分束器將入射波分為兩束波，因此透射區域的聲場為兩束透射波之和，透射波的聲壓和法向質點速度分別表示為：

pt=T1p0e-jk0 cos θ1 xe-jk0 sin θ1 y+T2p0e-jk0 cos θ2 xejk0 sin θ2 y

(4)

(5)

在聲分束器透射側的表面，即x=0處的透射波聲壓和法向質點速度分別為：

pt(x=0)=T1p0e-jk0 sin θ1 y+T2p0ejk0 sin θ2 y

(6)

vtx(x=0)=T1p0cosθ1e-jk0 sin θ1 y/Z0+T2p0cosθ2ejk0 sin θ2 y/Z0

(7)

(8)

由公式(8)可發現，法向透射聲強是與折射角和透射系數相關的余弦函數，在非對稱聲分束情況下均呈現周期性分布。由于結構具有周期性且希望沿聲分束器法線方向的入射聲功率能夠全部傳遞到透射側，因此根據聲分束器法線方向的總聲功率守恒條件可得：

(9)

(10)

可以發現t1，t2均與折射角θ1，θ2及分束比m相關，表明當折射角和分束比確定后，兩束透射波的透射系數也可唯一確定。根據聲傳輸線理論，聲分束器兩側的聲壓和法向質點速度可通過阻抗矩陣建立聯系：

(11)

令上式中的實部和虛部分別相等，可得到定義該聲分束器的阻抗矩陣分布。當聲學系統內部無損耗時，阻抗矩陣的所有元素均為純虛數，歸一化阻抗矩陣的元素虛部為Xij=Im(Zij)/Z0。下面討論一種最簡單的聲波分束情況，即對稱分束：兩束透射波折射角相等(θ1=θ2=θ)且分束比為1。由公式(11)可得Xij分別為：

(12)

下面對sinθ1=sinθ2=0.6的對稱聲分束器進行分析，頻率為3 000 Hz時，聲分束器一個周期中的阻抗矩陣分布情況如圖2(a)所示，D為聲分束器周期長度。此時X12≠X21，表明系統中需引入非互易性才可實現聲波分束功能，存在很大的實現難度。對于任何線性時不變系統而言，其互易性條件要求X12與X21相等。

圖2 對稱聲分束器的歸一化阻抗矩陣分布(a)和歸一化法向聲強分布(b)

另一方面，對聲分束器入射側和透射側的法向聲強分布進行分析，結果如圖2(b)所示。可以發現入射側平面波的聲強沿y軸方向呈均勻分布，而透射側的聲強表現出余弦形式的波動，聲強變化周期為D/2。由于透射側兩束聲波互相干涉，導致透射聲能量呈現非均勻性，該現象表明聲分束器的某些區域需要從外界吸收聲能量，而其余區域需要向外界發射聲能量。本文將入射波和透射波的法向聲強沿聲分束器不同位置的分布情況稱為“局域聲功率”，可以看到聲分束器兩側的局域聲功率存在不匹配問題，結構的不同區域間需要互相傳遞聲能量，在實際設計和實現中具有很大的難度。

1.3 局域聲功率守恒條件

由前述分析可知，通過聲分束器兩側聲壓及質點速度求解阻抗矩陣的方法存在局域聲功率不匹配問題，導致設計實現中存在很大難度。為了匹配入射側和透射側的聲功率，假定在聲分束器的入射側激發出兩列傳播方向相反的表面波[20]，如圖1(b)中的黑色彎曲箭頭所示。需要說明的是，這兩列表面波是聲波入射到聲分束器上后自主激發產生的。下面根據聲功率守恒條件，確定這兩列激發表面波的參數，再次對聲分束器進行設計。當入射側存在激發表面波時，入射側的聲場為入射波及兩列表面波之和，入射側聲壓為:

p1=p0e-jk0x+a1sp0eα1xe-jk1y+a2sp0eα2xejk2y

(13)

出于一般性考慮，在表面波1和表面波2中分別引入ejβ1和ejβ2的相位變化，則公式(13)變為：

p1=p0e-jk0x+a1sp0eα1xej(-k1y+β1)+a2sp0eα2xej(k2y+β2)

(14)

同樣可以得到入射側的法向質點速度為：

(15)

在聲分束器入射側的表面，即x=0處的聲壓和法向質點速度分別為：

p1(x=0)=p0+a1sp0ej(-k1y+β1)+a2sp0ej(k2y+β2)

(16)

(17)

(18)

為了滿足局域聲功率守恒條件，公式(18)中的入射側聲強I1x(x=0)應與公式(8)中的透射側聲強Itx(x=0)相等。Itx(x=0)中僅含有關于變量y的余弦函數，而I1x(x=0)中同時含有關于變量y的正弦函數和余弦函數，令a1s=a2s=as，α1=α2=α。同時為了合并I1x(x=0)中剩余的兩項余弦函數，令β1=β1=0，則I1x(x=0)簡化為如下形式：

(19)

此時可以求得方程I1x(x=0)=Itx(x=0)的解為:

as=0.5t1t2(cosθ1+cosθ2)

(20)

(21)

至此確定了聲分束器入射側兩列激發表面波的相關參數，需要說明的是公式(20)和(21)只是方程I1x(x=0)=Itx(x=0)的其中一個解，但該解具有最簡單的形式。分析公式(20)和(21)中表面波的參數可以發現，對于所有的聲波分束情況，入射側始終存在傳播方向相反，且幅值和衰減系數均相同的在兩列表面波，其與入射波相互作用后使入射側與透射側的局域聲功率互相匹配，且該方法具有很好的普適性。

當入射側存在激發表面波時，聲分束器兩側的聲壓和法向質點速度仍可通過阻抗矩陣建立如下聯系：

(22)

下面再次分析sinθ1=sinθ2=0.6的對稱聲分束器，一個周期中歸一化阻抗矩陣的分布情況如圖3(a)所示，可發現聲分束器滿足局域聲功率守恒條件時X12=X21，表明此時聲分束器滿足互易性條件，可以通過設計簡單的被動聲學系統實現。其次，可以注意到X11與X22不相等，說明該聲分束器的單元結構具有雙各向異性特性。另外，歸一化阻抗矩陣的四個元素在一個周期中的分布均關于聲分束器的周期中心對稱，這是由于研究的是完全對稱的聲分束情況，因而聲分束器的聲學特性也具有對稱性。

圖3 入射側激發表面波時對稱聲分束器的歸一化阻抗矩陣分布(a)和歸一化法向聲強分布(b)

同樣，再次分析聲分束器入射側和透射側的法向聲強分布，如圖3(b)所示。可以看到聲分束器入射側和透射側的聲強具有很好的匹配性，均表現出周期為D/2的余弦形式波動。當入射聲波激發出兩列表面波后，入射側的聲強不再呈均勻分布，這三列聲波相互干涉后的法向聲強分布與透射側聲強剛好匹配，從而滿足了局域聲功率守恒條件。通過聲波對稱分束的研究發現，聲波入射到聲分束器后激發出兩列表面波,為實現局域聲功率守恒提供了可能，并且該方法在理論上具有很好的普適性，適用于非對稱聲分束器設計。

2 非對稱聲分束器設計

對兩束透射波沿不對稱方向傳播、分束比為1的非對稱聲分束情況進行研究，為了更好地與文獻[20]中的結果進行比較，同樣選取兩束透射波的折射角分別為θ1=36.87°，θ2=64.16°，此時sinθ1=0.6，sinθ2=0.9，下面對這種不同折射角1∶1分束比的聲分束器進行設計。根據總聲功率守恒條件可得兩束透射波的透射系數均為t1=t1=0.90，傳播到θ1和θ2方向的法向聲能量比例分別為I1=64.73%，I2=35.27%，另規定φ1=φ2=3π/4。在這種聲波分束情況下，可得到聲分束器的周期為D=2π/(3k0/10)=381.1 mm，其與文獻[20]中不同折射角2∶1分束比情況下的周期相同，說明聲分束器的周期僅由兩束透射波的折射角決定，與分束比無關。根據局域聲功率守恒實現方法，入射側激發的表面波幅值系數為as=0.50，衰減系數為α=1.118k0，對比文獻[20]的結果可以發現表面波的衰減系數僅由兩束透射波的折射角決定，也就是在兩束透射波的折射角確定的情況下，改變分束比不會對表面波的衰減系數產生影響，但會影響其幅值系數。聲分束器的歸一化阻抗矩陣分布情況如圖4(a)所示，X12=X21且X11≠X22說明該結構是雙各向異性的互易系統。聲分束器入射側和透射側的法向聲強分布如圖4(b)所示，可以看到入射側與透射側的法向聲強可以很好地吻合，且在聲分束器的一個周期中呈周期性分布，周期為D/5，其與不同折射角2∶1分束比情況中的周期相同，表明聲分束器的法向能量變化周期僅由兩束透射波的折射角決定，與分束比無關，但分束比會影響法向聲強的極值大小。

圖4 不同折射角1∶1分束比時聲分束器的歸一化阻抗矩陣分布(a)和歸一化法向聲強分布(b)

聲分束器的一個周期離散為28個子單元，每個子單元的寬度為w=D/28=13.61 mm，采用圖5所示的四串聯共振腔結構[21-22]并利用遺傳算法進行參數優化以實現所需的阻抗矩陣分布。每個子單元由四個串聯排布的亥姆霍茲共振腔組成，且相鄰子單元之間形成矩形直管。改變共振腔結構的任何幾何參數均會對其阻抗矩陣產生影響，但改變5個寬度參數w0、w1、w2、w3、w4對阻抗矩陣產生的影響最為明顯，因此本研究僅對這5個寬度參數進行優化，而其余的幾何參數保持定值。四串聯共振腔結構的幾何參數包括：子單元寬度為w=12.7 mm，壁厚為t0=1 mm，短管長度為s=1.5 mm，四個空腔的長度為l=12.25 mm，矩形直管的寬度為w0，四個空腔的寬度分別為w1、w2、w3、w4且均不相同以滿足雙各向異性結構對形狀非對稱的要求，四串聯共振腔結構的幾何參數除w0、w1、w2、w3、w4外均為定值。利用矩形直管Fabry-Pérot共振與四個共振腔共振之間的耦合，可以通過同時調節矩形直管寬度w0和四個空腔寬度w1、w2、w3、w4對子單元結構的阻抗矩陣進行調節，下面對四串聯共振腔結構的阻抗矩陣表達式進行求解。

圖5 四串聯共振腔結構示意圖

首先建立結構的傳遞矩陣，對其進行轉換后可以求得對應的阻抗矩陣。根據聲傳輸線理論，聲分束器兩側的聲壓和法向質點速度可以通過傳遞矩陣[T]建立如下聯系：

(23)

當用四串聯共振腔對聲分束器進行設計時，每個子單元的總傳遞矩陣[T]可用多個傳遞矩陣乘積表示：

[T]=[Tin][M0][T1][N0][T2][N0][T3][N0][T4][M0][Tout]

(24)

根據傳遞矩陣和阻抗矩陣之間的轉換關系，可以得到四串聯共振腔結構的阻抗矩陣[Z]為：

(25)

由以上分析可知，阻抗矩陣的四個元素均與亥姆霍茲共振腔的幾何參數相關，因此調節矩形直管寬度w0和四個空腔寬度w1，w2，w3，w4可以改變子單元結構的阻抗矩陣并實現目標離散阻抗矩陣值。采用遺傳算法對5個參數進行全局優化搜索，對每個子單元進行60次優化以找到最佳參數值。優化過程的搜索收斂性用目標函數cost函數表示，其表示參數優化后結構的阻抗矩陣值與理論阻抗矩陣值間的差異：

(26)

運用上述遺傳算法對每個子單元的5個幾何參數進行優化搜索，使其可以實現目標離散阻抗矩陣值，表1為不同折射角1∶1分束比時的子單元幾何參數。本文所設計非對稱聲分束器的cost函數最大值約為100，但文獻[20]中cost函數的最大值高達352.22，表明兩束透射波的分束比非1時存在某個子單元的設計誤差非常大，子單元阻抗矩陣的實際值與理論值之間存在巨大的差異。另一方面，可以計算各個波數分量對應的法向聲強值分布，其反映了聲能量沿聲分束器法線方向的分配情況。波數分量ky對應的法向聲強Ix(ky)可以表示為：

表1 非對稱聲分束器的子單元幾何參數

(27)

式中：p(ky)為波數分量ky對應的聲壓幅值。

3 結果與討論

為了直觀地觀察非對稱聲分束器的分束效果，一束高斯波束從左側垂直入射到聲分束器上，其聲波傳播情況如圖6所示。可以看到聲分束器將入射的高斯波束分為兩束波，兩束波沿不同的傳播方向進行傳播，并且兩個透射波束的聲壓幅值基本相同。此外，可以在入射側靠近聲分束器的區域清晰地觀察到激發表面波的存在。因此，該聲分束器很好地實現了不同折射角1∶1分束比的分束效果。

圖6 不同折射角1∶1分束比聲分束器的分束效果

下面對該聲分束器的分束效果進行量化分析，各個波數分量對應的聲壓幅值如圖7(a)所示。可以看到聲分束器的透射側主要存在兩束透射波，兩束波的折射角不同，分別為sin-1(0.6)=36.87°(理論值θ1=36.87°)，sin-1(0.9)=64.16°(理論值θ1=64.16°)，聲分束器實現的折射角與理論值完全一致，其余波數分量下的聲壓幅值均比較小。另外，上方波束的透射系數為0.907 7(理論值t1=0.90)，下方波束的透射系數為0.874 4(理論值t2=0.90)，分束比為1.07(理論值m=1)。此外，各個波數分量對應的法向聲強值分布如圖7(b)所示，可以看到上方波束的法向聲能量為65.92%(理論值I1=64.73%)，下方波束的法向聲能量為33.33%(理論值I2=35.27%)，透射側中僅有0.75%的聲能量傳播到其余方向。由以上分析可以看出，該聲分束器較好地實現了設計目標，但也存在的問題是上方波束的聲能量比理論值偏大，下方波束的聲能量比理論值偏小，偏差可能是由聲阻抗矩陣實現誤差及子單元離散度引起的。

圖7 不同折射角1∶1分束比時聲分束器的歸一化聲壓幅值(a)和歸一化法向聲強(b)

4 結 論

本文基于局域聲功率守恒條件系統研究了一種實現非對稱聲分束的設計理論，并開展了系統的理論分析、結構設計和數值模擬驗證，研究了聲分束器的阻抗矩陣分布、法向聲強分布、聲壓場分布等，并通過分析透射側的聲壓幅值和法向聲強對聲波分束效果進行有效性評價。對聲分束器入射側和透射側的局域聲功率分布分析表明，在入射側激發兩列傳播方向相反且幅值和衰減系數均相同的表面波，其與入射波相互作用后可以實現入射側與透射側局域聲功率的相互匹配。這種基于局域聲功率守恒的設計方法具有廣泛的普適性，可以通過設計互易的雙各向異性結構實現非對稱聲分束功能。采用遺傳算法對四串聯共振腔結構進行參數優化，并利用雙各向異性結構可以實現所需的阻抗矩陣分布。對聲分束器透射側的各個波數分量對應的聲壓幅值和法向聲強進行分析發現，入射聲波經過聲分束器后被分為兩束波，兩束波的折射角和透射系數與理論值十分吻合，很好地實現了預期的聲波分束效果，證明了該設計理論在實現聲波非對稱分束時的正確性和可行性。

本文的研究工作表明利用四串聯共振腔設計的互易雙各向異性結構可以有效實現非對稱聲分束功能，基于局域聲功率守恒的實現方法具有理論正確性和實際可行性，豐富了聲學領域中聲波分束的相關研究，該實現方法為獲得非對稱聲分束結構提供了一種參考思路，并為進一步探索聲波分束在聲功能器件設計和聲通信中的應用奠定了理論基礎。