模糊模式識別理論的空間實體最佳表達研究

卓麗云，顧立志

（1.廈門工學院機械與制造工程學院，福建 廈門 361022；2.華僑大學機電及自動化學院，福建 廈門 361012）

1 引言

工程制圖技術作為工程界的一種交流技術思想的有效手段已有百年歷史，最為典型的應用例子有建筑設計圖和機械制圖。早期，由于計算機技術比較落后，人們把注意力集中于空間實體2D視圖的研究，總結出著名的三視圖。隨后，對空間實體2D視圖的研究日益濃烈，目前表達空間實體結構形狀的2D視圖，主要有視圖、剖視圖、斷面圖、局部放大圖和常用簡化畫法等幾種表達方案的綜合應用。隨著計算機技術的進步，計算機圖形學應運而生，并使空間實體的三維表達或視圖2D的三維復原成為可能。體素特征、實體剖分、輪廓再現、結構立體幾何、邊界輪廓表示等都離不開對體素的識別、提取、表達、變換、再表達。現有的計算機輔助設計軟件，如文獻[1]雖可提供體素的創建、變換與組合，但不能判斷以何種角度投射空間實體來表達物體為最優。目前，空間實體的三維表達最為典型的就是軸測圖。軸測圖是用平行投影法將物體連同其參考直角坐標系沿不平行于任坐標平面的方向，將其投射單一投影面上所得到的具有立體感的圖形[2]。軸測圖相對于實體的2D視圖具有直觀性較強、立體感好等優點，而且對看圖人員不必要求三維空間思維、空間想像能力和和形體表達的能力，適合于大眾人員讀圖[3]。但軸測圖最大的缺點是手工繪制時其是一項非常耗時、繁瑣、艱難的工作。雖然得益于計算機輔助設計軟件的成熟發展，3D模型的創建有了飛躍式的發展，從而由3D模型便可以很方便地生成軸測圖，但是以何種方式表達才能最佳表達出空間實體的結構形狀等方面研究甚少[4]。在人臉識別、船舶、油氣儲量和軸承研究中已引入模糊識別方法[5-8]。基于模糊識別理論的評價方法在水質質量評價中應用甚多[9-12]。因此，探索空間實體最佳表達有待成為一種新穎的表達方式[13]。

根據最佳表達的內涵，在一個視口內能夠獲得最大量有效信息。迄今，描述空間形體的方法可大體歸納為五種，即線框法（WF）、結構立體幾何（CSG）方法，邊界表達法（B-rep），特征描述法（FBM）和參數化方法（GDS）[14]。但是，這些方法所關注的更多地集中于形體特征的描述上，而對形體本身的三維表達缺乏系統而深入的探索和研究。而在一個視口內獲最大量有效信息這一點恰恰在現代圖形學、在數字化設計制造中占有重要的地位，特別是工程圖、計算機圖形學等的一個發展方向就是尋求空間形體恰當的三維表達。因此探索空間實體的三維最優表達具有重要的理論意義和工程應用價值。

根據實體幾何特征和三維最佳表達的基本要求，提出并構建三維最佳表達的評價指標體系。基于模糊模式識別理論知識，結合空間實體最佳表達的評價指標，構建空間實體最佳表達的模糊模式識別模型，借助力于計算機即可快速得出實體的最佳表達方案。最后，以一叉架類機械零件為例進行驗證。

2 空間實體最佳表達的模糊模式識別模型構建

2.1 空間實體最佳表達的基本要求

在機械制圖和計算機圖形學中，2D-3D轉換和實體圖形正確且完整的表達是基本而重要的問題。空間實體最佳表達的基本要求即是指能夠真實反映給定空間三維實體足夠完整的信息表達方案—它不僅必須是所有表達方案中的最佳方案，而且必須提供完整空間實體的信息，（當然可以用標注和文字等來進行輔助說明—但不在這里研究之列），因為再好的圖樣本身也不可能完全顯示出空間實體原本應有的所有信息[15]。

對于某一結構形狀的空間實體，確定其三維最佳表達主要遵從以下四條原則：

（1）圖形清晰：指形體的圖形表達能充分體現空間物體的結構，具有足夠的表達完整性，尤其是較隱蔽結構要避免被遮擋，且不出現線或面的投影積聚現象；

（2）圖形富有立體感：指圖形上物體表面變形的程度足夠小，體現多面性，符合人們的視覺習慣，最佳狀態是形體的“全息照片”；

（3）易作圖性：作圖簡便，指形體的圖形表達方案符合人們的繪圖習慣，具備工程制圖能力的人員能夠在正常所需時間內完成圖形的繪制；

（4）圖樣的可度量性好：指從形體的圖形表達方案中能夠方便地獲得形體的實際尺寸數值。

2.2 三維最佳表達的評價指標

運用計算機繪圖軟件，空間實體作圖的簡便性和可度量性均不會存在太大的問題，因此對這兩項因素不作考慮。那么，“空間實體最佳表達”主要就是指零件各組成部分的結構形狀表達得盡可能清晰，繪制的圖樣立體感盡可能強。簡而言之，這里對各種表達方案是否符合“空間實體最佳表達”的評價標準即是“圖樣的清晰性”和“圖樣的立體感”。

2.2.1 三維最佳表達“清晰性”的評價指標

圖樣的清晰性即所選擇的三維表達能充分體現空間實體的形狀結構，具有足夠的表達完整性，尤其是隱蔽結構要避免被遮擋，且不出現線或面的投影積聚現象。影響空間實體三維表直觀性的因素主要是投影方向的選擇和投影面位置的確定，而其中投影方向的選擇是主要的，因為投影方向直接影響圖形上物體可見部位的多少。因此，為了達到“清晰性”的標準，要先確定形體大體上的投射方向，然后確定具體的投影角度。這里提出的“ε1ε2理論”就是以投影方向的投影角作為判別圖樣表達清晰性的評價指標的原理方法。

初步確定空間實體的投射方向時，須根據空間實體的形成方式、各部分的形狀、結構及其相對位置，以主要突出表現形體的主要表面為目的確定大體上的投射方向。常用的三維投影方向，如圖1所示。從右、前、上方向左、后、下方投射，如圖1（a）所示。從左、前、上方向右、后、下方投射，如圖1（b）所示。從右、前、下方向左、后、上方投射，如圖1（c）所示。從左、前、下方向右、后、上方投射，如圖1（d）所示。

圖1 常用的四種三維投影方向Fig.1 Four Commonly Used Three-Dimensional Projection Directions

如圖2（d）所示，過原點O沿投影方向作線段OK。其中，線段OK與三個投影軸X、Y、Z的夾角分別為α、β和γ叫做投影方向O K的方向角，線段OK在三個坐標面上的投影分別為O K H、O K V和O K W，各面投影與相應投影軸的夾角分別為ε1、ε2和ε3叫做投影角。顯然投影方向不同，投影角不同。常用三種三維表達的投影圖，如圖2（a）～圖2（c）所示。

圖2 投影方向和投影角圖Fig.2 Projection Direction and Angle Diagram

由圖2（d）可推導出投影方向角與投影角的關系式：

由方向角的幾何關系可得：

在表達基本立體外部結構時通常采用正等測的投影方向獲得理想的三維表達圖，但是機械零件大部份含有凹腔等內部結構，這時就要利用投影計算法，以求得最能反映物體形狀特征的三維投影方向角。具體例子如圖3所示的形體及投影角，其中，S為投影方向。由圖3可知，為了能夠獲得清晰的三維表達圖，投影角的選擇范圍應為入式（1）和式（2）可求得實際方向角為即確定了該物體三維表達最清晰的投影方向，從而得到如圖4（a）所示的三維表達最佳圖。從圖4的三種不同投影方向角所獲得的三維表達可以發現圖4（a）比圖4（b）和圖4（c）的直觀性好，因為它的投影方向是根據物體的形狀特征確定的。

圖3 投影方向的選擇Fig.3 Selection of Projection Direction

圖4 三維表達方案的比較Fig.4 Comparison of Three-Dimensional Representation Schemes

2.2.2 三維最佳表達“立體感”的評價指標

”圖形的立體感”即圖形上物體表面變形的程度足夠小，符合人們的視覺習慣。現有的空間實體三維表達主要有正（斜）等測、正（斜）二測、正（斜）三測等。這幾種表達各自存在著一定的優缺點，其立體感效果探討如下：

從立體感效果方面比較，正二測的立體效果較好，因為它所采用的投影方向與人們觀察零件的一般視線一致，且與投影面垂直，符合人們的視覺習慣。正等測屬于直角平行投影，它對物體形狀和位置的表現比較準確，圖形的直觀性、立體感較好，但由于正等測Z軸與投影面的傾角較大（成35°），它常給人一種前傾的感覺，視覺上的前小后大現象比較嚴重。正二測較正等測的立體感強，具有重心穩定、形態自然的優點。另外，當物體外形上有斜面時，正等測會使某一面變成一條線而失去立體感（如當V面上存在45°線時）。此時采用正二測便可避免這種情況；或者當物體高大，正面形狀比較集中時，采用正二測也比較適當。

斜等測畫出的圖形具有呆板、變形大、直觀性和立體感較差等缺點，但作圖簡便。目前主要用于繪制給水排水、采暖通風和空氣調節的管道系統圖。斜二測投影方向與人們觀察的視線方向不一致，所以它的圖形不符合人們的視覺，故立體感不好（給人以歪扭的感覺）。因為斜二測對物體正面的表達既簡便又真實，正面形狀保持原形，所以繪制正面形狀復雜的零件有獨到的優點—當物體上只有正面形狀復雜的情況下可用斜二測。它通常用在機械圖上，用以表達一面有較多的圓或曲線的零件。

正三測的三個軸向變形系數、三個軸間角均不相同，正三等測圖變化豐富，若選擇得當，物體立體感會很強。

一般來說，正軸測投影的立體感強于斜軸測投影。對于正軸測投影來說，其變形系數r>p>q時立體感較好，因為它符合表現物體形狀的觀察狀態。根據人們的習慣和總結，一般p：q：r=0.9：0.5：1立體感最好，且當物體的寬度遠遠小于長度時，應把q值稍微放大。因此，確定了軸向伸縮系數比p：q：r=0.9：0.5：1作為一般空間實體三維最佳表達立體感的評價指標標準值。

3 應用模糊模式識別方法方案優選

根據上述兩種評價指標，已經可以選擇出相對比較合適的空間實體三維表達方案。但是分別滿足上述兩個評價指標的方案仍會有很多種，而且滿足“清晰性”指標的方案不一定滿足“立體感”指標，而滿足“立體感”指標的方案也不一定滿足“清晰性”指標。必須從多種較好方案中選出唯一最好的方案。因此，空間實體最佳表達的選定必須綜合考慮“清晰性”和“立體感”兩個指標，并建立一種綜合評判方法。那么如何選出能最好地兼顧這兩種指標的最佳方案呢？其實這個問題在本質上是模糊的。因此，這里提出并采用模糊數學的方法進行研究即利用模糊模式識別的方法來選擇空間實體的最佳表達。應用模糊模式識別方法進行方案優選一般需要進行如下步驟：

3.1 確定方案集

根據實際情況，列出所有待選的方案組成方案集。如果遇到待選的方案只是一個范圍，可有無數種連續性的選擇，這時需要先對方案集進行離散化處理。這里所研究的空間實體最佳表達就屬這類情況。

在通過“ε1ε2方法”確定的符合投影角范圍的表達方案時，并沒有得出最佳方案。實際上此時由于投影方向在空間一定范圍之內還是可以任意變動的，所以可以說還有無數種方案有待選擇。而要對無數種方案進行選擇是不可能的，這里提出一種解決問題的方法—無數種待選方案的離散化，即在允許范圍內列出具有一定間隔的均布投影方向，從而得到一系列的方案。只要間隔足夠小，那么方案就足夠多，應該對最佳方案的選擇影響不大。如果對選擇結果不太滿意，那么還可對最接近結果的若干種方案進行比較，最終得到最好的選擇。

3.2 確定評價指標

一般來說，評價指標必須根據實際要求來確定，最終所選定的評價指標須是最能反映對方案的實際要求的若干個特征量。而在大部分方案優選的模糊模式識別中，對評價指標都有比較明確的要求。例如在某儀表結構設計中對受載荷為50N的滑動支承的選擇—要求運動精度較高、對溫度變化不太敏感、耐磨性較好、對摩擦力矩和成本無特殊要求，明顯地可確定6個評價指標：運動精度、摩擦力矩、對溫度的不敏感性、承載能力、抗磨損性能、成本等。這里的研究評價指標，對于具體問題可在評價指標序列中選取并形成評價指標集。評價指標序列有：｛清晰性，完整性，立體感，美觀，易作圖性，可度量性，簡潔性｝。

3.3 確定各方案對評價指標集的模糊關系矩陣

設根照給定的條件可以列出符合要求的n種方案，則構成方案集

各方案的評價指標有m項，則構成評價指標集為：P j=。首先要求各方案對各項評價指標的隸屬函數，從而得到方案T i對P j項評價指標的標度值為A ij：

再將標度值通過下式進行歸一化處理，到第i種方案對第j項評價指標的隸屬度：

從而所有方案的評價指標構成了模糊關系U，用模糊矩陣表示如下：

式中：U i—第i類方案評價指標構成的模糊關系；R ij—各方案對各評價指標的隸屬度，且滿足

3.4 已知要求對評價指標的模糊關系

采用同3.3的方法，可建立起已知要求對評價指標的模糊關系S，它一般可用單列矩陣表示：

式中：S j—已知要求對評價指標集各因素的隸屬度，且滿足1(j=1，2，…m)

3.5 貼近度的計算

一般在進行方案或類型的優選時，可用最大值、最小值貼近度公式計算。根據上述條件用最大值、最小值貼近度公式表示：

根據上述公式計算各方案對已知要求的貼近度，最終構成了模糊關系矩陣。通過比較，最大數值所對應的方案即為最佳方案。

4 模糊模式識別理論在空間形體表達方案優選的應用實例

把上述模糊模式識別理論和空間實體最佳表達的評價指標應用于如圖5所示的叉架類機械零件，進行三維表達的實際優選。

圖5 叉架類機械零件Fig.5 Fork Frame Type Mechanical Parts

4.1 投影角ε1、ε2的確定

通過對圖5進行分析可知該零件是非對稱結構，主要投射方向采用從左、前、上方向右、后、下方的投射方向最合適。根據圖上的尺寸可知，結合式（1）可計算出。在圖（5）中作出，可見在這個方向上并不會產生面或線的積聚現象。因此，投影角取值主要由ε1和ε2確定，根據投影角的選擇范圍應為，則實際選用的投影角范圍必須滿足。為了確定最佳投影角的評價標準，這里將取值范圍的中值作為理想值即正平面投影角的理想值為ε10，側平面投影角的理想值為ε20，則有：

4.2 三維表達方案集的確定

根據實際投影角的取值范圍，結合圖5的零件結構，有常用的5種表達方案，列入表1。運用模糊模式識別理論進行分析對比，從而選出最佳表達。

由表1可得方案集Ti=｛T1，T2，T3…T n｝＝｛正等測，正二測1，正二測2，正三測，斜二測｝。

表1 幾種三維表達類型及其參數Tab.1 Several 3D Representation Types and Their Parameters

4.3 各方案對評價指標集模糊關系矩陣的確定

由于清晰性評價指標與立體感評價指標有較大區別，為方便于隸屬度的計算，這里采用兩個層次的模型—二級模型。先對第二級因素進行分析得出下層最佳結果，再以下層因素分析的結果作為上層（第一級）因素分析的輸入值，最終得出綜合最佳結果。第一級因素的評價指標為，第二級因素的評價指標為。其中代表清晰性的二級因素代表立體感的二級因素。

4.3.1 第二級因素的分析

（1）清晰性的第二級因素的分析

由4.1投影角ε1ε2理論計算可知投影角，投影角理想值，實際投影角的取值范圍將每種方案的實際投影角與投影角理想值進行比較，確定方案T i對評價指標的標度值的計算式如下：

將表1中的各種方案的實際投影角ε′1,ε′2代入式（8），可得各方案T i的二級清晰性評價指標的標度值：

再將標度值A′i j代入式（4）進行歸一化處理，得到第i種方案對第評價指標的隸屬度，從而所有方案的評價指標構成了二級模糊關系，用模糊矩陣表示如下：

那么根據最大值、最小值貼近度式（7）計算可得：

（2）立體感的第二級因素的分析

由上述已知方案集T5＝{正等測，正二測1，正二測2，正三測，斜二測}，評價指標集為，標準評價指標集為。每種方案的實際投影角與軸向伸縮比標準評價指標值進行比較，確定方案T i對評價指標P S2=的標度值的計算式：

將表1中的各種方案的實際軸向伸縮比系數p、q、r代入式（9），可得各方案T i的二級立體感評價指標的標度值：

根據最大值、最小值貼近度式（7），計算可得：

4.3.2第一級因素的分析

完成第二級指標的分析后，下面對第一級的因素PF=進行綜合分析。由于清晰性的重要性比立體感的重要性高，所以這里取權重為BF={0 .6，0.4}，從而得到模糊關系矩陣SF：

由前面4.3.1的二級因素的計算結果可得一級因素的模糊關系矩陣UF為：

同樣根據最大值、最小值貼近度式（7），計算各方案對已知要求的貼近度：

由擇近原則可知，因第1種表達方案的值（UF，SF） 最大，故第1種表達方案即正等測為圖5叉架類機械零件的三維最佳表達。

5 結論

這里提出機械產品的三維最佳表達的概念和內涵，構建了三維最佳表達的圖形清晰性、立體感、作圖簡便性和可度量性為評價指標體系。

根據空間實體的三維表達的基本要求，確定選擇清晰性和立體感建立優選模型。根據清晰性的評價指標提出和構建了投影角ε1ε2方法；根據立體感的評價指標確定了軸向伸縮系數比方法；以模糊識別理論為基礎，結合空間實體幾何特征，運用貼近度算法和層次因素分析方式構建了模糊關系矩陣，進而得到最佳表達優選模型。

這里所建立的模糊優選模型提供了一種按零件幾何特征確定其三維最佳表達的方法。它適合于組件、部件和機器裝配圖的立體最佳表達方式。運用模糊優選模型和算法，通過編程和上機運算，既可便捷地優選出三維最佳表達。

以叉架類零件為例進行模糊模式識別和計算，結果表明，這里提出的模糊優選模型和算法有效、實用。