高中數學抽象的特征、評價與培養

摘? ?要

數學抽象具有符號化、模型化、量化特征，它有助于培養學生能夠從一般意義和方法上進行思考，發展理性思維，提升抽象概括能力。教師可以從概念教學、問題解決、總結反思等教學環節來培養學生數學抽象的學科關鍵能力，通過學生在數學活動中的表現來進行評價，實現學科育人價值。

關鍵詞

數學抽象? 學科價值? 評價標準

數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養[1]。它是數學最本質的特征之一，貫穿于數學發生、發展和應用的整個過程。數學抽象主要是從數量與數量、圖形與圖形的關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，并用數學語言表征出從具體的事物背景中抽象出的一般規律和結構。高中數學抽象素養的培養需要一個漸進的過程：教師首先要對數學抽象的特征、表現形式、育人價值等有比較清晰準確的理解和認識;其次要明確在數學教學中培養學生的數學抽象能力是落實抽象素養的根本途徑;最后要將數學抽象的各種表現形成課程資源，通過科學合理的個性化的教學設計在教學活動中達成數學抽象素養的培養。

一、數學抽象的學科價值

數學對象是思維的產物，而數學抽象又是數學思維形成的基礎和重要途徑。數學抽象促進了數學概念和數學關系的建構，推動了數學學科的產生和發展。數學概念是經歷若干次抽象，隱去其現實意義形成的一種思維的產物;數學法則、公式是通過對一類對象的共性進行概括抽象而成;數學建模則是對對象從量的方面進行抽象概括所得。

在數學的教與學過程中，數學抽象讓知識和思維方式具有更廣泛的適用性，有助于學生數學知識和數學思想的進一步發展;有助于學生思維方式的進一步改善和提升，提高其思維品質，使其能夠更好地透過現象看到數學的本質，發展自己的數學核心素養。學生在不同的數學情境中進行抽象，得到數學概念、規則和命題、思想方法和知識結構體系，厘清數學對象的來龍去脈及形成方式，積累從具體到抽象的活動體驗，理解數學對象的含義并把握其本質屬性，在更高的層面上理解數學知識的結構，形成自覺地從一般化角度思考問題的習慣，不斷提升抽象概括能力，進一步發展理性思維。只有學生具備了較好的思維能力和數學抽象素養，才能在獲取知識的同時發展創新能力和高階思維能力，才能夠具備良好的數學抽象素養，完善學科關鍵能力。

二、數學抽象的基本特征

1.符號化特征

數學抽象研究事物或現象的量的關系和空間形式，其結果就是用數學符號作為數學思維活動的載體，進行數學思想交流與傳播，使得事物或現象關系表述變得統一、簡潔、有序。例如，研究一個對象隨著另一個對象的變化而變化的變化規律，就抽象為函數的單調性，具體的符號化語言就描述為“設函數f（x）的定義域為I，區間D？哿I：如果？坌x1，x2∈D，當x1f（x2） ）那么稱函數f（x）在區間D單調遞增（減）”。在數學教學中，數學抽象的符號化特征可以培養學生抽象思維能力。學生在具體的學習環境中逐步感受和理解抽象的符號化特征，感受數學抽象以簡馭繁高度概括的能力，并能在問題解決過程中合理地使用數學符號，合乎邏輯地進行數學推理。

2.模型化特征

數學研究對象是現實世界中的事物，它是多變而又是多樣的。只有把研究對象通過數學抽象進行模型化，才能通過一般模型化進行問題研究。如自然界中的日出日落，寒來暑往等周而復始現象，我們可以把這種現象理想化為周而復始的變化，進而模型化為單位圓圓周上的點的圓周運動模型來進行問題研究。這是對研究對象通過理想化進行簡化，在事物的直接模型上抽象出一般模型，在一般模型的研究基礎之上，建立數學抽象關系。在教學中，數學抽象的模型化特征能夠提高學生思維水平，促進學生智慧的發展。

3.量化特征

數學抽象是從數量關系上揭示客觀事物的本質及規律的一種研究方法，是逐層抽象不斷發展的。如函數概念的抽象，就經歷了從客觀世界中的事物對應關系量化為數量的對應關系，再從初中變量對應關系轉變到高中的非空數集上的實數對應關系的過程。具體事物量化為變量是量化的結果。變量抽象為實數，變量說過渡到實數對應說，是函數概念分層抽象的結果。數學教學中數學抽象的量化特征能夠促進學生高階思維的產生，促進創新思維的發展。

三、數學抽象的評價標準

喻平教授參照布盧姆學習評價模型、PISA學習評價模型和SOLO學習評價模型，提出將數學素養評價劃為知識理解、知識遷移和知識創新三種形態的理論構想[2]。《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《課程標準》）給出數學抽象素養的三級水平（見表1）。

按照《課程標準》給出的三級水平標準和喻平教授的構想，在實際操作層面，我們可以把數學抽象素養的評價簡化為表2的三級形態。這三級形態是呈金字塔的進階形態，基層底部是數學抽象對基礎知識的理解，中間是通過數學抽象形成知識的遷移，頂層設計是通過數學抽象達到知識創新的目的，如圖1。

四、數學抽象能力的培養策略

1.重塑概念形成過程

概念教學是數學教學的重中之重。概念的形成過程是經歷豐富的感性認識到深刻的理性認識的轉變，需要經過多層次的分析、比較、抽象和概括，因此，數學概念的形成過程是最典型的數學抽象的過程[3]。在教學中，教師利用數學典型概念，進行個性化設計，引導學生經歷一次完整的數學概念的抽象過程：辨別（刺激模式）→分化（各種屬性）→類化（共同屬性）→抽象（本質屬性）→檢驗（確認）概括（形成概念）→形式化（符號表達）[4]，形成數學抽象的基本路徑，在具體概念的形成中學會數學抽象。從辨別到概括是第一次抽象，用自然語言對概念進行直觀描述;從概括到形式化是第二次抽象，用數學符號對概念進行嚴格表征。

例如導數概念的教學，首先是對一個實例進行屬性分析，引導學生發現高臺跳水運動員的平均速度的變化特點：若時間間隔越來越小，則在某一時刻的平均速度就會越來越趨近于某個常數，即運動員在這一時刻的瞬時速度，并從物理角度給出符號表示。然后再對拋物線割線逼近切線問題進行屬性分析，探討切線斜率的意義，并從數學的角度給出符號表示。在上述過程中，學生會發現兩類不同背景的問題形式表達的一致性，完成第一次抽象。去掉瞬時速度的物理背景和曲線切線斜率的幾何背景，抽象出瞬時變化率的本質屬性，得到導數的概念并用符號表示，實現第二次抽象。

2.構建數學結構問題鏈

概括是把抽象出來的若干事物的共同屬性歸結出來進行考察的思維方式，以抽象為基礎，是抽象的發展[5]。數學抽象性在逐級抽象、逐次提高的過程中，總是伴隨著概括。

例如在推導兩角差的余弦公式的教學中，通過兩個誘導公式：

引導學生探究特殊角“”和“”的去向，猜想得到：

通過對cos（）與cos（）的結構進行考察聯想，引導學生歸納和概括出它們應該有相同的展開形式這一共同特征，這是對數學結構特征的一次概括抽象。學生進一步感受，一個有余弦之積，一個有正弦之積，又感覺應該有相同的形式，那么這個相同的形式就應該是余弦之積、正弦之積都有。得到：cos（？仔-？琢）=cos？仔cos？琢+sin？仔sin？琢，cos（）=cos cos+sin sin，這是從③④兩式的考察中尋找到的共同特征，是在①②兩式抽象基礎上的概括，是抽象的發展，揭示出①②兩式的本質特征。

我們還可以在學生學習的不同階段，依據不同內容形式來培養學生的歸納概括能力，不斷發展學生的數學抽象素養。例如在章節復習課中，通過引導學生歸納總結知識和方法，培養鍛煉學生的提煉和概括能力，而解題方法的遷移往往也是一種數學抽象。在解題教學中，一方面，通過一題多解、一題多變，引導學生從不同視角認識問題，同一個問題抽象為不同的數學模型;看似不同的問題，抽象出同一個數學模型，不斷強化數學抽象思維的培養，提升解決問題的能力。

3.酶化數學思想

學生能夠領悟蘊含在知識中的數學方法，形成理解和分析問題的學科思維能力是數學核心素養生成的最高表現[6]。一方面，通過情境或問題設置，讓學生在自主探究的思維活動中聯想和應用已經掌握了的數學思想方法，提高數學抽象能力。通過數學思想方法的運用，從起點上發展學生數學抽象素養。例如在兩角差的余弦公式的證明方法的思考過程中，引導學生回顧cos（）=sin？琢的證明后，對“單位圓法”的抽象概括是將方法模式化的一種抽象表現。另一方面，教師要幫助學生積累形成數學思維能力的方法與思想，如聯想與概括、特殊到一般、數形結合、劃歸與轉化等等。例如對于函數奇偶性的學習，完全可以引導學生從學習函數單調性的方法展開：從圖像特征到兩點刻畫再到函數值關系的抽象;橢圓幾何性質的探究可以從圓“均勻壓縮”為橢圓抽象展開。學生既可以體會從已有知識到新知識的抽象過程，也可以借助抽象完善對知識體系與結構的認識與理解。借助知識特征與相應的數學方法與思想，可以不斷提升數學抽象的能力和水平，逐步加深對知識本質的認識和理解。

愛因斯坦曾經說過，教育無非就是將所有學過的東西都遺忘后所留下來的東西。對數學教育來說，學生遺忘的是那些具體的數學知識，而留下來的就是他已經具有的數學素養。數學抽象素養是一種內在的思維品質與能力，只有轉化為外在的學習行為時我們才能觀察到學生數學抽象素養的形成和發展情況。只有將數學抽象素養同具體的數學學習活動聯系在一起，我們才可以根據學生在解決問題中的表現，來有效地評價學生的素養水平。數學抽象素養的培養也絕非一朝一夕之功，在教學中只有持之以恒地創設有利于數學抽象素養形成的活動，學生的數學抽象素養才會持續穩定地發展。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：4.

[2] 喻平.數學核心素養評價的一個框架[J].數學教育學報，2017，26（02）：20-23.

[3] 張金良.解密數學抽象，探索教學策略[J].數學通報，2019，58（08）：23-26+封底.

[4] 蔣海燕.中學數學核心素養培養方略[M].濟南：山東人民出版社，2017：52.

[5] 鄭毓信.數學方法論[M].南寧：廣西教育出版社，1996：101.

[6] 蔣智東.指向學生數學思維素養發展的教學實踐與思考[J].中學數學月刊，2020（09）：48-51.

【責任編輯? 郭振玲】