初中數學思想傳授談

畢寶清

摘 要：初中數學教學不僅是對數學知識進行教學，還是對數學思想方法的教學。文章作者認為，教師在教學中可從兩方面入手：一方面，通過數學思想的滲透，啟發、幫助學生發現和認識教科書中闡述的數學方法，使數學教學不是單純的知識灌輸，而是使這些方法成為分析問題和解決問題的有力工具，做到自然而然地掌握和運用;另一方面，通過對數學方法的掌握，進一步了解隱含于其中的數學思想，認識到具體事物的本質，從而逐步掌握科學的思想方法。

關鍵詞：初中數學思考;方程思想;分類思想;數形結合思想

中圖分類號：G633.6?文獻標識碼：A?文章編號：2095-624X（2021）23-0051-02

初中數學教學不僅是數學知識的教學，更重要的是數學思想方法的教學。《義務教育數學課程標準（2011年版）》已經把“雙基”擴展為“四基”，即增加“基本數學活動經驗”與“基本數學思想方法”，突出數學思想方法的教學，是當代數學教育的必然要求。

數學思想方法是數學基礎知識的重要組成部分，它反映了數學的本質特征，是對數學概念、原理和方法的本質認識，是分析和處理數學問題的指導思想。初中數學學科具有其自身的思想方法，它所體現出來的數學思想主要是指方程思想、函數思想、數形結合思想、轉化思想、分類思想、集合思想、統計思想等。數學思想具有本質性、概要性、指導性的意義，是人們分析、解決數學學科問題過程中思維活動的導航器。數學方法是人們學習、應用數學知識的思維策略或模式。數學思想和數學方法有密切的聯系，思想是內含的，方法是外顯的，思想融于知識中，通過方法來表現，方法的內核是思想，它以思想為指導，又可升華為思想。數學思想和方法隱含于現成的結論和說明中，這就需要我們在教學中，不能只停留在對教材表現的結論和說明的表述上，不能只盯住解題、做題，而應向學生傳授數學思想方法，提高他們分析和處理問題的能力。下面主要介紹初中數學中幾種重要的數學思想和方法。

一、方程思想

所謂方程思想，是指在求解數學問題時，從題中的已知量和未知量之間的數量關系入手，找出相等關系，運用數學符號語言將相等關系轉化為方程（方程組），再通過解方程（組）使問題得以解決。方程思想是中學數學中非常重要的數學建模思想之一，其應用十分廣泛。解題過程通常是：首先，從整體上分析題意，確定未知量的個數;其次，適當選擇一個或幾個未知量用x（或y， z……）表示，并弄清它（它們）與其他未知量的關系;再根據題設中的條件，列出方程（組），并求解。

例1：在直角三角形ABC中，AD是∠BAC的平分線交BC于點D，且CD=3，BD=5，∠C=90°，求AC的長。

教師通過此題可以向學生介紹，如何利用勾股定理列方程，即傳授方程思想。

又如，一個角的余角比它的補角的1/3還少20°，求這個角。

解析：先設這個角為x 度，則根據題意，得到關于x 的方程：

90°﹣x + 20°=1/3 （180°﹣x ）

解得 x=75°。

運用方程思想，這類問題就會變得簡單明了。

二、分類思想

所謂分類思想，一般是指解決問題時，將錯綜復雜的若干問題，按邏輯學規律，將問題逐一梳理規劃，排列分類，采用不同的方式分析研究的一種正向思維。

在運用分類思想處理問題的關鍵是把握分類的標準，保證分類的科學性和合理性，分類要達到互斥、不漏、不重、最簡的要求。

運用分類思想解題的過程中，要同中求不同（一個命題分成幾種不同的類型）;不同中求同（幾種不同類型的研究結果綜合成命題的一個完整答案）。

在解題時，根據已知條件和題設的要求，分不同的情況做出符合題意的嚴謹、周密的解答。

例2：已知三角形的周長小于13，且各邊長為互不相等的整數，則這樣的三角形共有（? ? ? ）。

A.2個? ? ? B.3個? ? ? C.4個? ? ? D.5個

分析：本題是要考查分類思想方法，解題中要對周長小于13的整數分別討論，同時還要注意隱含條件“三角形兩邊之和大于第三邊”，從而根據不同情況對問題做出全面解答，結果是以5、4、3和5、4、2及4、3、2為邊的三角形符合條件，故選B。

在分類的時候，教師應鼓勵學生按多種類別分類，并進行討論交流，這樣，一方面可給學生提供主動參與的機會，把學生的注意力和思維活動調節到積極狀態;另一方面可培養學生思維的靈活性，加速體現分類的思想方法。在平時的訓練中，我們要多通過這類題向學生傳授分類討論的思想。通過分類討論，既能使問題得到解決，又能使學生學會多角度、多方面去分析、解決問題，從而培養學生思維的嚴密性、全面性。

三、數形結合思想

數形結合思想是指將數與圖形結合起來解決問題的一種思維方式。數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學，因而，在某種程度上可以說數學研究是圍繞數與形展開的。初中數學中的“數”就是代數式、方程、函數、不等式等符號表達式，初中數學中的“形”就是圖形、圖像、曲線等形象的表達式。數形結合思想的實質是將抽象的數學語言“數”與直觀的圖像“形”結合起來，數形結合思想的關鍵就是抓住“數”與“形”之間本質上的聯系，以“形”直觀地表達“數”，以“數”精確地研究“形”，實現代數與幾何之間的相互轉化。數形結合思想包括“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。著名數學家華羅庚曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”這就是在強調把數和形結合起來考慮的重要性。通過圖形，探究數量關系，再由數量關系研究圖形特征，使問題化難為易，化形象為直觀，從而解決數學問題，這是一種重要的數學思想方法。數形結合思想是研究數學、解決數學問題的重要思想，在初中數學中有著廣泛應用。