立足教材，追尋本質，發展思維

趙群

摘 要：“角平分線的性質”是初中幾何教學的重要部分，文章作者教學所涉及的思想方法經常出現在九年級的專題訓練中，角平分線的問題處理策略和截長補短思想是教學中學生所要重點掌握的思想方法。文章通過對例題進行深入的研究，尋求不同解法，進行變式訓練，有效開展例題教學，力求達到傳遞新知、探究方法、領會思想、學以致用、學科育人的目的，使學生能夠觸類旁通，實現深度學習，發展思維。

關鍵詞：例題教學;一題多解;變式教學

中圖分類號：G633.6?文獻標識碼：A?文章編號：2095-624X（2021）19-0083-02

一、例題呈現

北師大版教材八年級數學下冊第一章《三角形的證明》第4節角 平分線例3：如圖1，在?ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是?ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E。

（1）已知CD=4 cm，求AC的長;

（2）求證：AB=AC+CD。

二、功能分析

（一） 聯系舊知，鞏固新知

本例題是在學生學習了角平分線的概念、角平分線的性質和全等三角形的基礎上進行教學的，學生通過聯系已有知識解答本例題，加深了對角平分線性質的理解，有效地鞏固應用了新學知識。解題回顧，本例題具備利用角平分線性質的條件，即?ACD和?AED以AD所在直線為對稱軸成軸對稱圖形，有過角平分線上一點向角兩邊作垂線，因此可得全等和等線段。一般來說，我們可以把過角平分線上一點向角兩邊作垂線的方法叫作角分線邊垂線法[1]，基本圖形如圖2。

（二）通過變式，挖掘價值

從知識的學習運用、挖掘例題的思想方法出發，可以使例題發揮更大的作用。在教學設計中，筆者將例題里的一個條件隱藏，題目如下。

變式1：如圖3，在?ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E。

（1）已知CD=4 cm，求AC的長;

（2）求證：AB=AC+CD。

學生在解答時，需要分析題目中已知條件，聯系以前學過的方法。已知中含有構成三角形全等的部分條件，結合本節課學習的角平分線性質，輔助線添加順理成章。

證法1：利用角平分線的性質，過點D作DE⊥AB，垂足為E（見圖4）。不難看出，用原例題的解答方法即可完成證明。

幫助學生梳理與角平分線性質的相關內容，可以幫助學生進一步鞏固全等三角形的性質和判定，培養學生合理聯系已學知識，作輔助線的學習遷移能力。從解題方法上看，這是間接利用截長補短的方法來解決線段的和差問題，即通過作垂線，將長線段AB分割成兩部分，利用全等得到線段AE=AC，相當于在AB上截取AE=AC，再證明EB=CD，問題迎刃而解。這樣的設計，利于新舊知識的聯系與運用，使例題有更高的探究價值。對于線段和差問題的解決辦法，我們常用截長補短的方法來解決，這樣的變式和總結更有利于促進學生思維深度發展，進而加深學生對角平分線性質的理解，培養學生的核心素養。

（三）一題多解，滲透思想

構造角分線兩邊的圖形關于角分線對稱，簡稱角分線對稱法，如圖5，作點B關于角分線AD的對稱點C，則DB=DC。

教材的探究活動為本題的證明提供了思想方法，絕大多數學生在思考后都會得到證法1的解決方法，教學中，筆者大膽放手，給學生獨立思考的機會，通過小組活動讓學生自行探索，尋求其他解題方法。根據角分線對稱法，學生可以利用補短來構造全等三角形，通過直觀感知較長線段AB所在?ABD關于AD的對稱圖形，進而在同伴的互相討論中，逐步形成新的解題思路。

證法2： 如圖6，延長線段AC到E，使得CE=CD，連接ED，通過證明?ABD≌?AED，得線段AB=AE。

通過證法1和證法2的分析和總結，學生對于本例中第（2）小題證明線段之間的和差關系這種數量關系呈現形式由不熟悉到會分析能解題，培養了學生關聯已知條件與已有知識借助已有解題經驗來解決未知問題的能力。對學生來講，這是為解決線段和差問題開辟新的思路，更重要的是本例題教學滲透的截長補短的數學思想方法，可以為九年級的以二次函數和圓為背景的截長補短問題的學習作鋪墊，具有承前啟后的作用。

三、變式教學

回顧是解題中的一個重要而且有益的活動。通過回顧完整的答案，重新斟酌、審查結果及導致結果的途徑，這樣能夠鞏固知識，并培養學生的解題能力[2]。

筆者引導學生回顧思考本例中的已知條件，AD是?ABC的角平分線，∠C=90°，∠B=45°，不難發現存在∠C=2∠B的倍角關系，可以利用二倍角等腰法構輔助線，如果把例題中的特殊角變式轉化成一般的角，即∠B=2∠C，那么AC=AB+BD這一結論是否成立？

變式2：如圖7，已知AD是△ABC的角平分線，∠B=2∠C，求證：AC=AB+BD。

證法1：如圖8，在AC上截取AE=AB，證△ABD≌

?AED，得BD=DE，∠B=∠AED，因為∠B=2∠C，易證DE=EC，從而得證。

證法2：如圖9，延長AB到F，使得BF=BD，因為∠ABC=2∠C，易證∠F=∠C，證?AFD≌?ACD，得AC=AF，從而得證。

變式2：基于學生的最近發展區，在探尋變式題目的產生及證明思路的過程中，學生感悟到從特殊到一般的思想方法，發展學生的邏輯推理能力。在解題反思和回顧中，總結本題所蘊含的解題策略有角分線對稱法、二倍角等腰法，以及截長補短法思想方法，讓學生體會到解題研究的快樂。

波利亞在《怎樣解題》中指出，要解決一個問題，必須讓學生理解這個問題，對條件進行聯想[3]，分析它們之間的關聯，再讓學生利用已有解題經驗進行分析，尋求解決問題的對策和方法。在變式2教學之前，學生初步掌握了此類幾何問題的思維方法，從已知條件出發，根據條件進行知識關聯，基本掌握角分線問題的處理策略——角分線對稱法、邊垂線對稱法結合截長補短構造全等，實現線段轉換解答問題。通過一系列思考、引導和鼓勵一題多解，學生逐漸學會從數學角度提出問題、分析問題，并綜合運用所學知識和技能解決問題。在課堂教學中，教師要力求使學生成為知識的探究者、獲得者，鼓勵學生對問題勤于思考、敢于質疑，善于解決問題，培養學生的創新思維[4]。