結合奇異值分解與最小描述長度準則的變壓器極化電流數據去噪方法

汪倩文 饒紅疆 何益宏

結合奇異值分解與最小描述長度準則的變壓器極化電流數據去噪方法

汪倩文 饒紅疆 何益宏

（五邑大學智能制造學部，廣東 江門 529020）

現場測量變壓器極化電流受噪聲干擾造成測量精度偏低，為消除噪聲干擾，本文提出一種奇異值分解（SVD）結合最小描述長度準則（MDL）的信號去噪算法。利用測量數據構建Hankel矩陣并進行奇異值分解，將信號分解為有用分量與無用分量的線性疊加，再利用MDL確定信號與噪聲的界限，提取有用分量重構信號。對變壓器極化電流的仿真和實測數據表明，利用MDL能有效區分有用分量與噪聲，去噪數據趨勢完整，噪聲得到有效去除。與小波硬、軟閾值去噪結果對比，信噪比最大可提高12.61dB，方均根誤差最大可減小47%。

奇異值分解；高斯噪聲；極化電流；變壓器絕緣介質；信號去噪

0 引言

變壓器絕緣電阻測量和絕緣介質分析是評估變壓器絕緣性能的重要參考依據[1-3]。變壓器絕緣介質可以等效為電阻電容串并聯形式，其絕緣介質等效模型如圖1所示。圖1中，為測試電源，電壓幅值根據變壓器電壓等級及容量確定，為絕緣介質的幾何等效電容，g為絕緣介質吸收能量穩定后的絕緣電阻，、（=1, 2,…,）為極化等效支路的電阻、電容。絕緣電阻由測試電壓和極化電流計算得到。

圖1 絕緣介質等效模型

極化電流可表示為

式中：為信號模態數；為極化等效支路的時間常數；g為泄漏電流，通常認為其是一個常數；由于純電容充電時間短，儀器難以檢測到充電電流c，因此常常將其忽略[4-5]。

由于極化電流信號微弱，現場測量信號不可避免地帶有噪聲，由此得到的絕緣電阻數據變化趨勢不明顯，不便于判斷絕緣狀態。為確保測量精度，有必要對極化電流信號進行去噪處理。現有的去噪算法有經驗模態分解（empirical mode decomposition, EMD）、小波變換、奇異值分解（singular value decomposition, SVD）等[6-8]。EMD仍然存在模態重疊問題，去噪效果不好。小波變換需要確定基函數和分解層數，基函數的選取影響去噪效果。奇異值分解降噪算法具有較好的穩定性和零相移特性，常應用于信號處理[9-11]。SVD主要包括兩部分：利用相空間理論進行矩陣構建和確定有效奇異值重構矩陣。本文使用Hankel矩陣[12]進行奇異值分解。奇異值分解可將含噪信號矩陣分為信號子矩陣和噪聲子矩陣，將前個奇異值重構的矩陣表示信號矩陣，因此如何選取奇異值數是一個關鍵問題。文獻[13]提出利用奇異值差分譜確定有效奇異值個數，但極化電流屬于直流信號，差分譜呈現遞減趨勢無法找到合適的峰值。文獻[14]引入最優閾值作為選取指標，但計算閾值過大使去噪后的信號缺失嚴重。文獻[15-16]將奇異值序列的均值作為有效階次選取指標，去噪結果容易引入噪聲。因此，為了合理確定有效奇異值個數，本文引入最小描述長度準則（minimum description length, MDL）[17]，根據似然估計項與懲罰項之間的相互博弈，取其平衡點對應的階次作為有效奇異值個數。對變壓器極化電流的去噪結果表明，奇異值分解與最小描述長度準則相結合的去噪方法具有較好的噪聲抑制能力。

1 奇異值分解降噪算法

設含噪信號序列可表示為=+，為帶噪信號，為無噪信號，為加性高斯噪聲。對采集到的離散信號進行矩陣構建，通常使用Hankel矩陣形式，可表示為

式中：為信號長度；為矩陣行數；為矩陣列數。且有1，為偶數時，/2，/2+1；為奇數時，(-1)/2(3)/2。對矩陣進行奇異值分解，即

式中：、為的左、右奇異矩陣，兩者均是正交矩陣；為由矩陣的奇異值構成的對角矩陣。∈ R×m，∈R×n，∈R×n，=[diag(1,2,???,,???,), 0]或=[diag(1,2,???,,???,); 0]，0表示零矢量，= min(,)。從式（3）可知含噪信號矩陣被分解為奇異值及相應奇異矢量構成的矩陣的線性疊加。單個奇異值重構的信號只包含原信號的部分信息。根據奇異值由大到小的分布規律，在奇異值序列中會出現一個轉折點，即前個奇異值重構的信號表示去噪信號。這也說明矩陣能夠被分解為以信號為主的子空間和以噪聲為主的子空間，從而能夠有效去除噪聲并保留含噪信號的主要信號成分。

2 重構矩陣階次選取規則——MDL

根據式（1），極化電流信號可以分解為個模態信號的疊加和。根據文獻[18]的研究結果，一個模態信號構建的Hankel矩陣可用最大奇異值進行矩陣重構，因此在無噪聲的情況下，個模態信號可用前個奇異值進行矩陣重構。有效模態數與有效奇異值個數相等，因此確定重構矩陣的階次可等效為確定信號有效模態個數。極化電流的各階模態能量與時間常數有關。通常時間常數短的模態其所含能量較高，而時間常數長（≥1 000s）的模態所含能量微弱。因此，在含有噪聲的情況下，能量微弱的信號模態容易疊加噪聲而難以辨識，本文所述有效模態數指信號能量大于噪聲能量的模態，并非真實的模態個數。

為有效確定重構奇異值個數，本文引入最小描述長度準則[17]，具體形式為

式中：為濾波器階數；為所求階次，=1, 2, ???,；為矩陣的截斷矩陣；+為矩陣的偽逆，定義為+=(T)-1T。對于離散數據{(1),(2),…,()}，矩陣表示為

則

=-[(1)(2) …(-)]T

式中，矩陣為Hankel矩陣，矩陣維數為(-)×。當為奇數時，= (-1)/2；當為偶數時，=/2。根據奇異值分解降噪思想，有效奇異值個數應該是極少的。

最小描述長度準則屬于信息準則中的一種，其基本思想是兩項以為自變量的函數相互博弈，取其平衡位置的值作為重構階次，則有效奇異值個數為

3 實驗

3.1 仿真實驗

表1 仿真參數

向采集的極化電流中加入均值為0、標準差為2.236 1μV的高斯噪聲，仿真時間10s，采樣間隔0.01s。仿真得到的含噪信號如圖2（c）所示，從圖中可知，信號初始階段噪聲干擾較小，其余部分都已被噪聲覆蓋，從圖中只能看出信號的大致趨勢。若直接使用測量信號進行絕緣電阻計算勢必會影響計算結果的準確度。因此采用本文所述奇異值分解去噪算法對測量信號進行消噪以保證測量的準確性。去噪結果如圖2所示。根據圖2（a）和圖2（b）所示結果，使用最小描述長度準則確定的有效奇異值個數與根據信噪比（signal to noise ratio, SNR）指標確定的最優奇異值個數相等，矩陣重構最優階次均為2，證明最小描述長度準則在本文中是適用的。由圖2（d）所示可知去噪后的信號與理想信號很接近且信號趨勢光滑無振蕩，表明主要噪聲能量被消除并保留了能量較強的信號成分。

圖2 去噪結果

為了更準確地描述去噪后信號的質量，引入擬合度（new）、方均根誤差（root mean square error, RMSE）和信噪比（SNR）作為評判指標，具體形式為

為了更好地說明奇異值分解降噪方法的優勢，將去噪結果與小波閾值（軟/硬閾值）去噪結果進行對比。使用小波類型為sym8，分解層數為6層。小波閾值去噪結果如圖3所示，與理想信號相比，小波去噪信號在1～2s曲線帶有振蕩，表明小波閾值去噪結果將部分噪聲成分作為有用信號處理，使去噪結果不能很好地擬合理想信號。

圖3 小波閾值去噪結果

表2為六種去噪方法結果對比，與含噪信號相比，六種去噪方法均能有效去除噪聲，但奇異值分解去噪結果的信噪比和擬合度都要高于小波閾值去噪結果。相應地，奇異值分解去噪結果方均根誤差比小波閾值去噪結果的方均根誤差要更小。奇異值分解去噪結果的SNR比小波軟閾值提高12.61dB，比小波硬閾值提高3.69dB；new比小波軟閾值提高0.08，比小波硬閾值提高0.02；RMSE比小波軟閾值減少47%，比小波硬閾值減少17%。奇異值差分譜[13]的方法處理極化電流數據無法選取合適的峰值，本文方法有效避免了這一缺陷。短時奇異值分解[14]和特征均值SVD[15-16]方法對本文數據去噪得到的new雖然較好，但其SNR和RMSE效果較差，不適用本文數據。本文方法new值較好，且其去噪效果計算值明顯優于其他方法。

表2 六種去噪方法結果對比

3.2 現場測量實驗

測量儀器為安捷倫34461a，現場采樣含噪信號如圖4（a）所示，采樣數據長度為600。由圖4（a）可知噪聲分布很不均勻，在30～60s信號出現許多尖峰點。MDL確定有用分量個數為6，因此前6個奇異值重構信號如圖4（b）所示，去噪后的信號非常光滑，曲線上分布的毛刺得到有效去除，且保留了實際信號的變化趨勢。圖4（c）和圖4（d）分別為含噪信號頻譜和去噪信號頻譜，從頻譜上看采樣信號在頻率大于零的位置都含有噪聲，經過去噪后信號頻譜很光滑，說明噪聲得到有效抑制。圖4（e）和圖4（f）為小波閾值去噪結果，與圖4（b）相比，小波硬閾值去噪曲線存在信號失真，小波軟閾值去噪結果過于平滑，細節信息丟失；小波硬閾值去噪信號在40～50s出現明顯跳變，小波軟閾值去噪信號跳變抑制效果要好一點。圖5為絕緣電阻測量結果。直接計算絕緣電阻結果振蕩較為嚴重，視覺效果極其不好，影響對變壓器絕緣介質整體絕緣狀態的判斷。而經過去噪的計算結果不僅趨勢明顯而且曲線光滑，可以清楚地看出絕緣電阻呈上升趨勢，可以初步判斷變壓器整體絕緣狀態良好。

圖5 絕緣電阻測量結果

4 結論

本文將奇異值分解應用于變壓器絕緣介質極化電流信號去噪，由于Hankel矩陣的奇異值序列中第一個奇異值遠遠大于后續奇異值，使得現有的確定有效奇異值個數的方法失效。對于極化電流而言，確定有效奇異值個數等同于確定有效模態分量數。利用最小描述長度準則在似然估計項與懲罰項之間作取舍，即MDL取最小值對應的階次為有效奇異值個數。實驗結果表明，本文方法具有較好的去噪效果，只需確定有用分量個數便可重構信號，不存在小波基函數的選取和分解層數確定的難題，克服了EMD的模態混疊現象，適合應用于實際測量數據處理。下一步將對不同矩陣結構的去噪效果進行研究，進一步提升奇異值分解去噪的性能。

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Denoising method of transformer polarization current data based on singular value decomposition and minimum description length

WANG Qianwen RAO Hongjiang HE Yihong

(Intelligent Manufacturing Department of Wuyi University, Jiangmen, Guangdong 529020)

In order to eliminate the noise interference, a signal denoising algorithm is proposed based on singular value decomposition (SVD) and minimum description length (MDL). The measured data are used to construct Hankel matrix and perform singular value decomposition. The signal is decomposed into a linear superposition of useful components and useless components. The MDL is used to determine the boundary between signal and noise, and the useful components are extracted to reconstruct the signal. The results of simulation and measured data show that MDL can effectively distinguish the useful component from the noise, the trend of denoising data is complete, and the noise is effectively removed. Compared with the results of wavelet hard and soft threshold denoising, the signal to noise ratio (SNR) can be increased by 12.61dB, and the root mean square error (RMSE) can be reduced by 47%.

singular value decomposition (SVD); Gaussian noise; polarization current; transformer insulating medium; signal denoising

廣東電網有限責任公司科技項目（GDKJXM20173121）

2021-01-12

2021-02-03

汪倩文（1995—），女，安徽桐城人，碩士研究生，主要研究方向為電氣測量及信號處理。