基于雙層交叉耦合的直驅(qū)H型平臺(tái)滑模輪廓控制

何亞華 王麗梅

基于雙層交叉耦合的直驅(qū)H型平臺(tái)滑模輪廓控制

何亞華 王麗梅

（沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110870）

針對(duì)永磁直線同步電動(dòng)機(jī)（PMLSM）驅(qū)動(dòng)的H型平臺(tái)存在的參數(shù)變化、外部擾動(dòng)、摩擦力等不確定性因素及軸間耦合問題，提出一種全局積分滑?？刂疲℅ISMC）與變?cè)鲆骐p層交叉耦合控制（VGDCCC）相結(jié)合的輪廓控制策略。首先，建立H型平臺(tái)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程和基于密切圓的輪廓誤差模型。然后，設(shè)計(jì)基于全局積分滑模的單軸位置跟蹤控制器來減小跟蹤誤差。最后，設(shè)計(jì)基于變?cè)鲆骐p層交叉耦合的輪廓誤差補(bǔ)償器來減小系統(tǒng)的輪廓誤差。仿真結(jié)果表明，所提出的控制方法能提高系統(tǒng)的輪廓精度。

變?cè)鲆骐p層交叉耦合；直驅(qū)H型平臺(tái)；全局積分滑模控制；輪廓控制

0 引言

精密加工設(shè)備及其技術(shù)水平是衡量一個(gè)國(guó)家科技水平的重要標(biāo)志之一[1]。直驅(qū)H型平臺(tái)因定位精度高和可靠性強(qiáng)，被廣泛應(yīng)用于精密工程等領(lǐng)域[2]。但由于外部擾動(dòng)等不確定因素存在，會(huì)影響H型平臺(tái)的輪廓精度。因此，研究如何提高直驅(qū)H型平臺(tái)輪廓加工精度具有重要意義。要提高H型平臺(tái)的輪廓加工精度，一般需要從兩個(gè)方面進(jìn)行研究。

一是當(dāng)系統(tǒng)受到外部擾動(dòng)等不確定性因素影響時(shí)，要采取相應(yīng)的控制策略來保證單軸的跟蹤精 度[3]；二是要保證軸間協(xié)同運(yùn)動(dòng)的控制性能?，F(xiàn)有提高H型平臺(tái)單軸跟蹤精度的方法是采取先進(jìn)的控制策略[4]。滑模變結(jié)構(gòu)控制因?qū)ν獠扛蓴_等不確定因素不敏感被廣泛應(yīng)用到伺服系統(tǒng)中[5]。文獻(xiàn)[6]針對(duì)一般滑?？刂疲╯liding mode control, SMC）中到達(dá)模態(tài)不具有魯棒性的特點(diǎn)，引入全局滑模的思想使得滑模的整個(gè)過程都具有魯棒性。文獻(xiàn)[7]針對(duì)滑模變結(jié)構(gòu)控制存在的抖振問題，引入了趨近率，同時(shí)為了減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，引入了積分滑模面。文獻(xiàn)[8]針對(duì)H型平臺(tái)系統(tǒng)的單軸跟蹤控制問題，提出了一種新型的滑模控制算法，以適應(yīng)模型的不確定性和各種擾動(dòng)。同時(shí)，對(duì)于多軸協(xié)同系統(tǒng)，輪廓誤差并不是跟蹤誤差簡(jiǎn)單的矢量和，要減小輪廓誤差還需保證各軸間的協(xié)同運(yùn)動(dòng)[9]。為實(shí)現(xiàn)各軸間的協(xié)同配合，文獻(xiàn)[10]針對(duì)H型平臺(tái)雙軸間協(xié)作問題采用了交叉耦合控制。文獻(xiàn)[11]針對(duì)H型平臺(tái)的軸間協(xié)作采用了可根據(jù)軌跡的實(shí)時(shí)位置改變補(bǔ)償增益值的變?cè)鲆娴慕徊骜詈峡刂啤?/p>

綜上所述，本文提出全局積分滑?？刂疲╣lobal integral sliding mode control, GISMC）和變?cè)鲆骐p層交叉耦合控制（variable gain double-layer cross coupling control, VGDCCC）相結(jié)合的輪廓控制方案。為了解決直驅(qū)H型平臺(tái)系統(tǒng)中存在的參數(shù)變化、外部擾動(dòng)和摩擦力等不確定性因素帶來的問題，提出具有全局魯棒性的GISMC單軸位置控制器；為了解決直驅(qū)H型平臺(tái)三軸間參數(shù)不匹配問題，提出基于VGDCCC的輪廓誤差補(bǔ)償器。VGDCCC可根據(jù)軌跡運(yùn)動(dòng)的實(shí)時(shí)位置，調(diào)整控制器的補(bǔ)償增益值，從而減小軸間參數(shù)不匹配對(duì)直驅(qū)H型平臺(tái)輪廓精度造成的影響。最后，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證GISMC單軸控制器可以提高H型平臺(tái)的跟蹤精度，VGDCCC輪廓誤差補(bǔ)償器可以提高系統(tǒng)的輪廓精度。

1 H型平臺(tái)及輪廓誤差數(shù)學(xué)模型

1.1 直驅(qū)H型平臺(tái)數(shù)學(xué)模型建立

直驅(qū)H型平臺(tái)由方向平行安裝的2臺(tái)永磁直線同步電動(dòng)機(jī)（permanent magnet linear synchronous motor, PMLSM）和方向安裝的1臺(tái)PMLSM驅(qū)動(dòng)。電磁推力方程和機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程為

式中：ei為電機(jī)的電磁推力；fi為推力系數(shù)；qi為推力電流命令；Li為負(fù)載阻力；D為摩擦系數(shù)；M為動(dòng)子質(zhì)量；v為電機(jī)的動(dòng)子速度；1, 2, 3分別表示軸、1軸和2軸。

基于磁場(chǎng)定向且忽略不確定性，可將式（1）和式（2）改寫為

式中：p為動(dòng)子位置；ni=D/M；ni-fi/M＞0；ni-1/M；u=iqi為控制率，即q軸電流。

考慮參數(shù)變化及系統(tǒng)的不確定項(xiàng)的存在，H型平臺(tái)的動(dòng)態(tài)模型可以改寫成

式中，DA、DB、DC分別為ni、ni和ni的不確定項(xiàng)，這種不確定是由系統(tǒng)參數(shù)M和D引起的。I為包含外部擾動(dòng)的集中不確定項(xiàng)，即

假設(shè)集中不確定項(xiàng)為有界值，有

式中，為一個(gè)正的常數(shù)。

1.2 輪廓誤差模型建立

根據(jù)輪廓誤差定義，建立如圖1所示的一般曲線輪廓誤差模型。曲線為期望的運(yùn)動(dòng)軌跡，在時(shí)刻系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)期望位置點(diǎn)為，為期望軌跡點(diǎn)的切線與軸的夾角，點(diǎn)為此時(shí)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的實(shí)際位置。過點(diǎn)以該點(diǎn)曲率作內(nèi)切圓，曲率半徑由固定的半徑值所代替。e、e為系統(tǒng)跟蹤誤差，點(diǎn)到曲線距離c為輪廓誤差。由圖1可知點(diǎn)坐標(biāo)（P,P）與內(nèi)切圓心點(diǎn)坐標(biāo)（C,C）的關(guān)系為

（8）

根據(jù)圖1中幾何關(guān)系，可以推出系統(tǒng)輪廓誤差c為

近年來由于控制策略的發(fā)展，使e、e的值較小，則輪廓誤差c可簡(jiǎn)化為

輪廓誤差估計(jì)模型通過將軸和軸的位置跟蹤誤差轉(zhuǎn)化為向二維運(yùn)動(dòng)的輪廓誤差。

因?yàn)榉较騼善叫邪惭b的直線電機(jī)參數(shù)的不匹配會(huì)引起同步誤差，因此，H型平臺(tái)輪廓誤差模型不能用平臺(tái)輪廓誤差模型替代。利用雙層交叉耦合將軸分別與1軸和2軸構(gòu)成交叉耦合，在此基礎(chǔ)上通過建立輪廓誤差估計(jì)模型得出輪廓誤差與跟蹤誤差之間的關(guān)系，最后求雙層交叉耦合的平均值得到混合輪廓誤差模型。

根據(jù)式（10）將c1定義為軸和1軸的輪廓誤差，c2定義為軸和2軸的輪廓誤差。

將式（11）和式（12）代入式（13），可得

2 全局積分滑模控制器設(shè)計(jì)

直驅(qū)H型平臺(tái)系統(tǒng)中存在的參數(shù)變化、外部擾動(dòng)和摩擦力等不確定性因素會(huì)影響系統(tǒng)的跟蹤性能。因此，設(shè)計(jì)GISMC來改善單軸系統(tǒng)的跟蹤性能。

首先，傳統(tǒng)的滑模面函數(shù)為

式中：為所設(shè)計(jì)的滑模面；為誤差；1＞0。

設(shè)計(jì)積分滑模面為

式中，2＞0。

為了使滑模的到達(dá)模態(tài)具有全局魯棒性，引入全局滑模函數(shù)得到

式中，3＞0。

對(duì)式（17）求導(dǎo)得

為了讓系統(tǒng)快速進(jìn)入滑模面狀態(tài)，引入趨近率為

式中：4、5分別為合適的正數(shù)；sgn為符號(hào)函數(shù)。

為了進(jìn)一步改進(jìn)抖振，引入飽和函數(shù)為

式中：6、7為合適的正數(shù)；飽和函數(shù)sat的表達(dá)式為

最終控制器表達(dá)式為

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)GISMC的穩(wěn)定性，定義Lyapunov函數(shù)0.52，并對(duì)其求導(dǎo)得

（25）

由Lyapunov穩(wěn)定條件可知，滑模量可以在有限的時(shí)間到達(dá)滑模邊界層。

3 變?cè)鲆骐p層交叉耦合補(bǔ)償器設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)交叉耦合控制（cross coupling control, CCC）中交叉耦合增益C、C1和C2在直線軌跡加工時(shí)可以減小直驅(qū)H型平臺(tái)系統(tǒng)的輪廓誤差，提高其輪廓加工精度。但當(dāng)參考軌跡為曲線時(shí)，不變?cè)鲆娴腃CC不能實(shí)時(shí)調(diào)整C、C1和C2來滿足不同輪廓曲線的加工精度。因此，采用VGDCCC來實(shí)時(shí)補(bǔ)償輪廓誤差，并將結(jié)果分別補(bǔ)償?shù)捷S、1軸和2軸。當(dāng)仿真輸入為橢圓時(shí)，隨著軌跡的變化，C、C1和C2會(huì)發(fā)生實(shí)時(shí)改變，再分別補(bǔ)償?shù)礁鬏S中，從而減小系統(tǒng)的輪廓誤差。

基于GISMC和VGDCCC的控制系統(tǒng)框圖如圖2所示。圖中()為PID控制器。C、C1和C2是分別用于軸，1軸和2軸的可變?cè)鲆?。?duì)于任意軌跡輪廓跟蹤控制，可以定義為

圖2 基于GISMC和VGDCCC的控制系統(tǒng)框圖

4 仿真分析

本節(jié)依據(jù)圖2建立了仿真模型，對(duì)提出的基于VGDCCC直驅(qū)H型平臺(tái)全局積分滑模輪廓控制方案進(jìn)行仿真研究，并以軸和1軸的位置跟蹤誤差為例進(jìn)行分析。仿真輸入的軸直線電機(jī)位置響應(yīng)為正弦信號(hào)1=40sin(p)mm。1軸和2軸直線電機(jī)位置響應(yīng)為余弦信號(hào)2=3=20cos(p)mm。不變?cè)鲆娴腃CC中=0.25，C1=0.45，C2=0.45。

圖3為基于SMC和GISMC的軸跟蹤響應(yīng)曲線。從圖3可以看出，當(dāng)采樣時(shí)間為2s時(shí)，H型平臺(tái)突加100N的力，GISMC的魯棒性比SMC的魯棒性強(qiáng)。

圖3 基于SMC和GISMC的X軸跟蹤響應(yīng)曲線

圖4和圖5分別為基于SMC的軸和1軸位置跟蹤誤差曲線。從位置跟蹤誤差曲線可以看出，傳統(tǒng)SMC下的軸跟蹤誤差約為-17.9～21.3mm，1軸跟蹤誤差約為-22.6～19.8mm。

圖4 基于SMC的X軸跟蹤誤差曲線

圖5 基于SMC的Y1軸跟蹤誤差曲線

圖6和圖7分別為基于GISMC的軸和1軸位置跟蹤誤差曲線。軸跟蹤誤差約為-13.7～12.9mm，1軸跟蹤誤差約為-9.7～11.5mm。采用GISMC明顯減小了系統(tǒng)跟蹤誤差，進(jìn)而減小了輪廓誤差。

圖6 基于GISMC的X軸跟蹤誤差曲線

圖8為基于CCC和VGDCCC的H型平臺(tái)橢圓輪廓曲線。從圖中可以看出，使用VGDCCC輸出的橢圓輪廓比使用CCC輸出的橢圓輪廓更接近理想輪廓。

圖7 基于GISMC的Y1軸跟蹤誤差曲線

圖8 基于CCC和VGDCCC的H型平臺(tái)橢圓輪廓曲線

5 結(jié)論

本文針對(duì)直驅(qū)H型平臺(tái)中存在的不確定性因素及軸間耦合等問題，提出了GISMC和VGDCCC相結(jié)合的輪廓控制方案。通過仿真分析得出以下結(jié)論：

1）與傳統(tǒng)的滑?？刂葡啾?，所采用的GISMC在響應(yīng)的全過程都具有魯棒性，提高了H型平臺(tái)單軸跟蹤精度。

2）本文提出的VGDCCC輪廓誤差補(bǔ)償器能夠?qū)?shí)時(shí)變化的交叉耦合增益值補(bǔ)償給各伺服軸，提高了系統(tǒng)的輪廓控制精度。

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Sliding mode contour control of direct drive H-type platform based on double-layer cross-coupling

HE Yahua WANG Limei

(School of Electrical Engineering, Shenyang University of Technology, Shenyang 110870)

Aiming at the uncertain factors such as parameter changes, external disturbances, friction and inter-axis coupling problems of the H-type platform driven by permanent magnet linear synchronous motor (PMLSM), a contour control strategy combining the global integral sliding mode control (GISMC) and variable gain double-layer cross coupling control (VGDCCC) is proposed. First, the dynamic equation of the H-type platform system and the contour error model based on the close circle are established. Then, a single-axis position tracking controller based on global integral sliding mode control is designed to reduce the tracking error. Finally, a contour error compensator based on variable gain double-layer cross-coupling is designed to reduce the contour error. The simulation results show that the proposed control method is feasible and effective.

variable gain double-layer cross-coupling; direct drive H-type platform; global integral sliding mode control; contour control

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51875366）

2021-01-02

2021-02-03

何亞華（1994—），女，河北秦皇島人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橹本€電機(jī)驅(qū)動(dòng)技術(shù)。