變壓器絕緣層繞制張力系統反饋耗散Hamilton控制

許家忠，黃海祥，孫克偉

(哈爾濱理工大學 自動化學院，哈爾濱 150080)

0 引 言

為了保證變壓器絕緣性能，降低相鄰線圈層電壓飛弧的風險，需要在線圈層間加入絕緣層。利用細條狀絕緣帶連續纏繞的思路研制變壓器絕緣層自動繞制系統可以解決繁雜的工人勞動，然而繞制過程中絕緣帶張力控制這一核心技術主要依賴于張力控制系統的設計。

工業張力控制系統通常使用固定增益的PI控制器[1-4]，這需要依據工作環境以及材料參數對增益進行整定，由于操作條件和幅材參數的改變以及系統中存在的不確定性導致這是一項艱巨的任務。為了改進與提升張力控制系統的性能，研究人員進行大量深入的研究。Pramod R等分別使用基于模型參考和中繼反饋方法進行自適應PI控制器的設計[5]。為了有效減小和補償在系統存在的張力擾動，劉善惠等設計了一種自抗擾控制器，提升了系統的穩定性[6]。由于兩軸之間速度差異會導致系統中產生明顯張力擾動，Van Tu Duong等針對變壓器繞組系統的不確定模型，提出了基于模型參考自適應的交叉耦合同步速度控制方法[7]。為了避免張力傳感器精確度不足所造成的測量誤差，降低控制系統的成本和復雜度，可以使用基于觀測器的張力控制策略，還可以對系統中存在的擾動進行良好的觀測[8-10]。為了提升張力控制系統的魯棒性，滿足張力控制對實時性、響應速度的需求，Vincent Gassmann等提出一種基于H∞改進辦法[11]。通常情況下恒張力控制是在固定扭矩下實現，但是絕緣帶張力會隨著開卷輥的半徑、變壓器芯模半徑的改變而波動[12-13]。如果張力太小，則主軸無法帶動絕緣帶前進，造成松弛現象，影響下一層線圈的緊密程度，而如果張力太大或發生突增時，除了浪費扭矩外，還會使絕緣帶產生形變，甚至損壞。在繞制過程中保證均勻的張力才能獲得較佳的纏繞品質。

當纏繞芯軸的幾何形狀非圓時，在主軸加減速過程會導致張力出現較大擾動。傳統張力控制系統采用由彈簧、減震器和輥輪組成的被動Dancer機構衰減速度和張力突變時對的系統沖擊[14-15]，本文為了有效削弱橢圓形芯模幾何形狀造成的張力波動，采用混合Dacner機構進行張力與速度擾動的緩沖。耗散Hamilton控制方法能夠結合系統物理結構特性，從能量存儲、消耗和轉換角度看待系統，通過能量重構和結構重組的方法實現控制器設計。為了避免將系統模型預先轉化為端口受控Hamilton系統所帶來的不便，可以通過尋找適當的反饋控制率，將非線性系統轉化為符合耗散Hamilton系統的方法進行控制器的設計，使得控制器結構簡單，易于實現[16-17]。基于上述分析，針對傳統固定增益PID控制下絕緣層繞制速度與張力之間耦合性強，波動大的問題。提出一種基于反饋耗散Hamilton理論的張力控制系統，進行速度與張力的協調控制，達到張力大小精確控制的目的，并且快速調節開卷軸速度，實現期望張力的連續跟蹤。

1 絕緣層繞制系統描述與建模

圖1為所設計的變壓器絕緣層自動繞制系統示意圖，整個系統大致分為3部分，分別是放卷部分、運輸部分、收卷部分。收卷軸即主軸，主要實現速度調節，絕緣紙帶安裝在開卷機的芯軸上，期望張力大小調節是通過控制面板的電位計旋鈕調節Dancer氣缸中的壓力來實現，在系統工作時如果Dancer臂保持在參考位置則氣缸對Dancer臂的壓力近似等于兩倍的張力設定值，需要考慮Dancer自身以及絕緣紙帶的重力作用，因此一般氣缸壓力略大于兩倍的期望張力值，芯模旋轉過程中Dancer擺動進而緩沖張力突變對系統造成的沖擊。通常情況下忽略自由輥的動態特性，因為它們僅在加減速時對系統的動態特性產生影響，本文中假設紙帶在傳輸過程中與輥之間沒有發生相對滑動，下面對開卷以及收卷部分動態特性進行分析。

圖1 變壓器絕緣帶自動繞制系統示意圖Fig.1 Schematic diagram of automatic winding system for insulation belt of transformer

開卷部分由開卷機與Dancer機構組成，隨著繞制任務的進行開卷輥上絕緣紙帶盤的半徑不斷減小，因此，開卷機的半徑與慣量隨著時間不斷變化，在時間t時的有效轉動慣量J1(t)可以表示為

J1(t)=Jm1+Jc1+Jw1(t)。

(1)

式中：Jm1是電機側所有旋轉元件的慣量；Jc1是開卷輥的慣量；Jw1(t)是絕緣紙帶盤以及材料的慣量。Jm1和Jc1是不隨時間改變的常量，由于絕緣紙帶不斷的被輸送，使得Jw1(t)隨時間發生改變，Jw1(t)可以表示為

(2)

式中：H是絕緣紙帶寬度；p是絕緣紙帶密度；Rc1開卷輥的半徑；R1(t)是絕緣紙帶半徑。開卷輥動力學模型可以描述為

(3)

式中：n1是電機軸與開卷輥之間的傳動比；w1是開卷輥的角速度；bf1是開卷輥的摩擦系數，由式(1)能夠得出，J1(t)的變化率只與Jw1(t)有關，通過式(2)可以得出J1(t)的變化率為

(4)

(5)

(6)

根據式(3)～式(6)可以得到

(7)

利用質量守恒定律對開卷輥與Dancer輥之間跨度的絕緣紙帶進行分析，開卷輥張力T1的動態特性如下：

(8)

式中：L1是開卷輥與Dancer輥之間的絕緣紙帶長度；A是絕緣紙帶橫截面積；E是絕緣紙帶的楊氏彈性模量；V2是Dancer輥的速度；T0是開卷輥上絕緣紙帶的卷入張力；ld是Dancer擺臂的長度；θ是Dancer的偏移角度。

混合Dancer的角位移動態特性是在轉矩平衡的基礎上得出的，可以表示為

(ld+R2)T3cosθ-Mdglgsinθ-Bf。

(9)

式中：Jd和Md是整個Dancer機構的慣量與質量；Fc是氣缸對Dancer機構的壓力；lc是Dancer擺桿固定端到氣缸的距離；T1和T3分別是Dancer的上游與下游張力；R2是Dancer輥的半徑。由于主軸芯模是非圓的幾何形狀，導致Dancer的角位移θ一直處于浮動的狀態，在加減速階段Dancer的浮動較為大，能夠有效減小由于速度突變對系統帶來的沖擊。

為了使Dancer在穩定狀態時保持在參考位置，氣缸對于Dancer的支持力為

(10)

式中：Ld為Dancer臂運動所繞圓心到Dancer輥中心距離；La為Dancer臂運動所繞圓心到氣缸支撐點的距離；Tref為期望張力大小。

主軸纏繞的過程中，主軸半徑R3不斷變大，慣量J3不斷增加，主軸部分的動態特性與開卷部分相似，可以表示為：

(11)

(12)

式中：J3、R3、V3分別是收卷部分轉動慣量、芯模半徑、絕緣帶速度；n3是電機軸與收卷輥之間的傳動比；w3是收卷輥的角速度；bf3是收卷輥的摩擦系數；L3是收卷輥與Dancer輥之間的絕緣紙帶長度。

可以得到變壓器絕緣層繞制系統速度張力數學模型：

(13)

2 速度張力系統分析與控制器設計

2.1 速度張力系統分析

張力出現擾動根本原因是絕緣紙帶速度的不斷改變，首先，由于收卷輥幾何形狀使紙帶切線速度處于周期變化狀態，當運動到輥的長邊時半徑減小，切向速度減小，當運動到輥的短邊時半徑變大，切向速度增加，從而導致張力處于較大的波動之中；其次，由于開卷過程中紙盤半徑不斷減小，紙帶切線速度發生變化，導致張力出現擾動，張力波動又會向下一階段傳遞[18]。

通常情況下允許的張力波動是工作時張力的±4%，為了降低速度變化的造成的張力波動，提高絕緣紙帶張力控制的精確度，因此，在控制器設計的過程中，要考慮系統對最大張力擾動響應的性能，提升系統對擾動調節的速度。開卷輥上的紙帶被輸送到下一階段的過程中，紙盤直徑不斷減小，張力的頻率增加，張力擾動的范圍可以通過式(14)確定，例如，如果開卷輥的直徑為0.5 m到0.2 m，當速度為400 m/min至700 m/min時，最大頻率分別為66.67 rad/s到116.67 rad/s，有

(14)

張力擾動從上游傳遞到下游，為了預測張力擾動在系統中的傳播頻率，可以通過一介濾波器等效擾動傳播過程，濾波器由跨距長度和初始速度確定圖2給出了由式(15)確定的伯德圖。開卷部分的最大擾動為12 N，跨距為1.1 m，當工作速度為400 m/min至700 m/min時，產生的擾動從12 N降至2 N所對應的幅度為-15.56 dB，頻率分別是36.34 rad/s和62.73 rad/s，當擾動頻率不低于62.73 rad/s時，將使其小于2 N，符合系統工作要求。

圖2 張力擾動傳遞的伯德圖(400～700 m/min)Fig.2 Bode diagram of tension disturbance transfer(400～700 m/min)

(15)

盡管PID控制作為經典控制方式在工業中被廣泛的使用，但是在使用其控制橢圓形變壓器絕緣層繞制的張力時，無法有效調節張力干擾的增加，部分情況下張力擾動超出正常工作范圍。張力控制系統存在非線性傳動環節，由式(13)可以明顯看出張力控制系統呈現出較強的非線性、耦合性、不確定性。因此，需要對控制策略與控制算法進行改進，從而增強控制系統對期望張力的跟蹤性能以及對張力擾動的削弱能力。

2.2 張力系統反饋耗散Hamilton控制器設計

考慮如下非線性系統

(16)

其中：x是狀態向量；N是一個m維流形；u是輸入向量，且u∈Rn；f(x)是任一向量場；g(x)是適當階數矩陣。

如果能夠設計出適當的反饋控制律u=I(x)，使得相應的非線性系統狀態表達式(1)能夠寫成如下形式

(17)

其中：T(x)能夠表示成T(x)=J(x)-R(x)；J(x)是反對稱矩陣；R(x)為半正定對稱矩陣；H(x)為Hamilton函數，則稱式(17)為非線性系統式(16)的一個反饋耗散Hamilton實現。

定義狀態向量和虛擬輸入向量分別為：

(18)

則

(19)

式中：

(20)

(21)

當變壓器絕緣層繞制張力控制系統在工作過程中到達穩定狀態時，控制系統中各狀態變量均到達穩定值，即為系統工作平衡點，設期望的平衡點處的狀態為

(22)

I(x)=

(23)

(24)

為了滿足控制系統在反饋作用下可以穩定于x0處工作，進行閉環系統Hamilton函數的選擇

(25)

假設

(26)

對H(x)求偏導可得

(27)

(28)

為使TT(x)+T(x)≤0，即T(x)具有耗散性，選擇如下形式

(29)

根據J(x)與R(x)相關性質，令：

(30)

將式(29)代入可得

(31)

(32)

經過驗證，這種方法滿足J(x)=-J(x)T且當C1與C2取值適當時，可以保證R(x)≥0，符合耗散特性。式(29)中C1、C2是可調的阻尼參數，隨著數值的減小，可以提高張力控制系統的動態特性。因此，虛擬反饋控制向量可以設計如下：

(33)

再將其代入式(24)可以得到反饋控制量為

(34)

其中：e1=x1-x10；e2=x2-x20；e3=x3-x30；e4=x4-x40。此時將式(34)代入式(19)可以得到

(35)

構造張力控制系統(15)的能量函數

(36)

3 仿真與分析

為了檢驗所提出的控制系統在減小張力擾動方面的有效性，與傳統固定增益PID控制進行對比仿真實驗，開卷部分在t=5 s時引入速度階躍干擾使張力發生波動，驗證系統穩定性以及響應性能。實驗參數如表1所示，參考張力分別為20、30 N，張力響應如圖3、圖4所示。

圖3 速度階躍擾動對參考張力20 N的影響Fig.3 Effect of velocity step disturbance on reference tension 20 N

圖4 速度階躍擾動對參考張力30 N的影響Fig.4 Effect of velocity step disturbance on reference tension 30 N

表1 仿真模型的參數Table 1 Parameters of simulation

能夠明顯看出與固定增益PID控制方法比較，所提控制方法有效減小張力的超調與下沖。傳統PID控制下參考張力為20 N時，速度擾動從100 r/min變為200 r/min時，張力的誤差峰值明顯增加，張力最大處接近24 N，速度從200 r/min變為300 r/min時，張力峰值超過24 N；參考張力為30 N時，速度擾動從100 r/min變為200 r/min時，張力最大處接近33 N，速度從200 r/min變為300 r/min時，張力峰值接近34 N，并且出現較大穩態誤差。而所提控制器可以較快補償速度變化，減小張力誤差，系統調節時間在縮短至0.5S，能夠提升系統響應速度降低穩態誤差，表現出更好的擾動調節能力。

4 絕緣紙帶纏繞實驗

通過如圖5所示的絕緣層繞制實驗平臺將所提控制方式與PID控制方式進行對比實驗。為了在實驗過程中不失一般性，在兩種控制方式下使用相同規格的絕緣紙帶以及變壓器芯模進行繞制。在實驗過程中按照以下步驟進行，首先，將開卷部分的絕緣紙帶穿過從動輥與導向輥，經過Dancer機構，再穿出從動輥與導向輥將紙帶固定到主軸芯模，然后，根據電位計旋鈕設定的張力大小將氣壓沖入氣缸中，最后根據繞制工藝的需求，將收卷軸參考速度控制在100～300 r/min之間階梯變化，同時在一段時間內保持穩定的速度輸出，分析系統張力以及Dancer位置的變化，評估系統的動態與穩態特性。在實驗過程中唯一控制絕緣紙帶張力的另一個部分是使用PID控制器的主軸部分，工作在速度環模式，纏繞主軸與開卷機之間存在一定的速比N，該比例系數由齒輪比以及輥的直徑決定。參考張力為50 N，實驗結果如圖6所示。

圖5 變壓器絕緣層自動繞制系統Fig.5 Automatic winding system of insulation for transformer

圖6 固定增益PID與Hamilton控制實驗結果對比Fig.6 Comparison of experimental results of fixed gain PID and Hamilton control

在t=60 s時速度開始變化，固定增益PID控制下張力隨速度的改變出現較大的干擾，僅部分時間內符合工作張力的要求，隨著速度的增大張力控制精確度降低，加減速時張力誤差峰值增加，Dancer浮動較為強烈，所提控制方法在速度變化較大的情況下張力波動依然保持較小范圍，降低紙帶張力超調加快了系統響應速度，削弱了速度與張力之間的耦合，在整個工作階段將張力的波動有效限制在允許的±4%范圍內，并且Dancer位置能夠保持在更小的浮動范圍。

通過實驗可以得到主軸繞制過程中絕緣紙帶的切線速度按圖7(a)所示曲線成周期性變化，張力變化如圖7(b)所示。

圖7 Hamilton控制下的主軸張力Fig.7 Spindle tension controlled by Hamilton

由于變壓器鐵心的幾何形狀為近似的橢圓形，繞制過程中紙帶切線速度隨芯軸長短半徑呈周期變化，導致張力處于不斷波動中并具有一定周期性，根據不同繞制速度下測試結果可以看出張力的波動在允許的±4%范圍內。在固定增益PID張力控制與Hamilton反饋耗散張力方式下所繞制變壓器絕緣層的情況如圖8所示。

圖8 不同張力控制方式下絕緣層繞制情況Fig.8 Winding of insulating layer under different tension control methods

為了不失一般性更好的對比分析不同控制器性能，通過定義兩個準則來進行評估。第1個標準如下:：

(37)

修正絕對誤差標準積分，該指數可以提供每單位時間的標準H1值，對它分析能夠評估系統跟蹤參考值的性能和水平。第2個指標如下：

H2=max(‖∝(t)-∝ref‖),0≤t≤T。

(38)

該標準用于評估Dancer偏離參考位置的程度，衡量系統的去耦能力，當速度發生變化時對Dancer偏移位置以及系統張力的影響。

表2 控制器性能比較Table 2 Controller performance comparison

與固定增益PID控制相比較，所提出的控制方式不論在參考值的跟蹤性能還是降低系統耦合方面的都有所提升，相反在固定增益PID控制方式下，位置與張力在參考值附近的波動較大，并且張力與速度之間的耦合較明顯，但是通過合理整定參數仍然可以保持較快的響應速度。

5 結 論

在穩態運行過程中，收卷部分的張力擾動一部分是半徑和慣量的時變特性引起的，但是主要由于芯模長短半徑的周期性變化，絕緣紙帶切線速度不斷波動，導致張力周期性的偏離設定值。本文提出了一種基于Hamilton理論的張力控制系統，削弱張力與速度之間的耦合性，與傳統PID控制方式比較有效降低橢圓形鐵心變壓器絕緣層繞制過程中張力波動的影響，擁有較強的自適應和抗干擾能力，在不同繞制速度下都能夠較好的滿足系統對張力控制的需求，可以解決人工進行變壓器絕緣層繞制時效率低，一致性差的問題。雖然在本文控制方法下加減速時張力與Dancer位置的波動已經明顯減小，但是在穩態運行時還可以觀察到位置與張力在參考值附件存在微小振蕩，出現這些現象的主要原因是輥的偏心和不圓度引起的，說明了從動輥動態特性對紙幅張力存在一定影響，在需要更高控制精確度的場合，可以通過增加基于從動輥摩擦模型的前饋控制提供有效的補償量。