立足活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)　走向思維發(fā)展

卓琳芬

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出了“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的核心概念，其指的是學(xué)生直接或間接參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中所獲得的感性認(rèn)識(shí)、理性認(rèn)識(shí)、情緒體驗(yàn)的總和。學(xué)生思維發(fā)展是數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的共同聚焦，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生在“做”和“思考”中積淀數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，不斷發(fā)展學(xué)生的思維能力。

一、喚醒已知經(jīng)驗(yàn)，讓思維發(fā)展有根可尋

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)要以學(xué)生原有的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，了解他們參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“前經(jīng)驗(yàn)”，激活他們?cè)谢净顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)并尋找新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，讓新經(jīng)驗(yàn)在“前有孕伏”中得到積累。

在“平行四邊形面積”的教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)有了計(jì)量長(zhǎng)方形面積時(shí)計(jì)數(shù)面積數(shù)的“前經(jīng)驗(yàn)”。因此，在教學(xué)中，我們可以抓住這一思考原點(diǎn)，從引導(dǎo)學(xué)生數(shù)方格開始。我出示了方格紙上兩行三列的一個(gè)長(zhǎng)方形，（如圖1）讓學(xué)生回顧學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方形的面積”時(shí)是如何計(jì)量及推導(dǎo)長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的。

從計(jì)數(shù)面積單位到發(fā)現(xiàn)規(guī)律并得出運(yùn)算公式，使學(xué)生回憶起了面積計(jì)算的本質(zhì)是對(duì)二維面積的度量，是幾個(gè)單位面積的累加，成功喚醒了他們“將未知轉(zhuǎn)化成已知”的原有幾何操作經(jīng)驗(yàn)。平行四邊形面積的推導(dǎo)緣于如何將一個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)方法對(duì)于學(xué)生而言是很難憑空想象而產(chǎn)生的。我做這樣一個(gè)活動(dòng)，先是充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的原有基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，然后進(jìn)行了整合、轉(zhuǎn)化，并由此產(chǎn)生新的經(jīng)驗(yàn)，豐富了學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，進(jìn)而轉(zhuǎn)變成了他們下一個(gè)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的“前經(jīng)驗(yàn)”。

二、逐層建構(gòu)經(jīng)驗(yàn)，讓思維源泉聚合內(nèi)生

教師設(shè)計(jì)一系列具有內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)，逐層建構(gòu)基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從本質(zhì)上就是讓學(xué)生獲得學(xué)科發(fā)展的思維源泉。從數(shù)方格紙出發(fā)，可以引導(dǎo)學(xué)生在推導(dǎo)平行四邊形面積公式的過程中，經(jīng)歷計(jì)數(shù)面積數(shù)所涉及到四個(gè)層次的活動(dòng)。

【層次一】一格一格地?cái)?shù)，不滿一格的按半格計(jì)算。

數(shù)方格是一種最基本的面積測(cè)量方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形和正方形的面積時(shí)就遇到過，但像平行四邊形這樣兩邊不成直角的圖形該怎樣數(shù)？教材中有一個(gè)規(guī)定：“不滿一格的都按半格計(jì)算”。仔細(xì)深究不難發(fā)現(xiàn)，教材中圍成平行四邊形的線段的端點(diǎn)都在方格線的交點(diǎn)上，每個(gè)不完整的方格都被線段切割成了兩部分，在這種特定情況下，不滿一格都按半格計(jì)算才適用。實(shí)際上，還有每個(gè)不完整的方格都被線段切割成三部分甚至更多更復(fù)雜的情況，這時(shí)不滿一格按半格計(jì)算就不能夠準(zhǔn)確計(jì)量平行四邊形的面積，具有局限性（如圖2～3）。

【層次二】一格一格地移，找到對(duì)應(yīng)的格子湊成了整數(shù)格計(jì)數(shù)。

不足一個(gè)單位的面積究竟要如何數(shù)？按照學(xué)生的思維模式，他們大多數(shù)人會(huì)上下移動(dòng)，把不足一個(gè)單位的面積拼湊完整。（如圖4、圖5、圖6）我通過有效設(shè)問：“為什么要移動(dòng)？不移能數(shù)嗎？”“兩位同學(xué)的移法、數(shù)法一樣嗎？你有什么發(fā)現(xiàn)？”讓學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)：平行四邊形尖角的地方在方格紙上不是完整的小正方形，移動(dòng)以后通過割補(bǔ)就能得到完整的面積單位。先數(shù)原本就完整的方格，再數(shù)通過割補(bǔ)以后形成的完整方格，或是待割補(bǔ)后都拼成完整方格，再行計(jì)數(shù)。這樣，就能讓學(xué)生初步感受到，雖然在移動(dòng)割補(bǔ)以后圖形的形狀發(fā)生改變，但是面積不變。

【層次三】一整塊地移，用每行幾格×幾行計(jì)數(shù)。

學(xué)生經(jīng)歷了上一個(gè)活動(dòng)，積累了割補(bǔ)的幾何操作經(jīng)驗(yàn)，呈現(xiàn)了更多元化的割補(bǔ)方式。（如圖7）我展示了前兩個(gè)學(xué)生的作品，追問：“有沒有更簡(jiǎn)便快捷的方法？”引導(dǎo)他們仔細(xì)觀察這些作品，思考有沒有更好的割補(bǔ)方法。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，可以從不足一個(gè)面積單位的割補(bǔ)到整塊割補(bǔ)，形成完整的長(zhǎng)方形。這樣，就順利地從不完整的平面圖形過渡到完整的平面圖形。

【層次四】用割補(bǔ)的方法，尋找平行四邊形的底、高與長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

我繼續(xù)提問：“整塊割補(bǔ)的效率更高，能給我們帶來什么啟示呢？”“剛才是怎么剪下去的？剪在哪里？又是怎么拼的？”學(xué)生大多已學(xué)會(huì)過平行四邊形其中一個(gè)頂點(diǎn)作高，沿著這條高剪，將三角形和梯形拼接成一個(gè)長(zhǎng)方形。我更進(jìn)一步地追問：“轉(zhuǎn)化后的圖形，什么變了，什么不變？”學(xué)生通過觀察得出：轉(zhuǎn)化后圖形的形狀發(fā)生改變，但面積是不變的;轉(zhuǎn)化后長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是原來平行四邊形的底，長(zhǎng)方形的寬就是原來平行四邊形的高。（如圖8）

學(xué)生經(jīng)歷了兩輪計(jì)數(shù)面積數(shù)的操作經(jīng)驗(yàn)，抓住“每行幾個(gè)，有幾行”這樣的數(shù)學(xué)幾何模型，在頭腦中開始逐步勾連起平行四邊形和長(zhǎng)方形的關(guān)系。根據(jù)長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式，推導(dǎo)得出平行四邊形面積的計(jì)算公式S平行四邊形=底×高。

三、調(diào)試遷移經(jīng)驗(yàn)，讓思維本原持續(xù)涵育

學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，逐步積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，不斷調(diào)試遷移，融合應(yīng)用，漸至明朗，最后盤旋上升。數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的這種特質(zhì)，通過調(diào)試遷移，能讓思維本原持續(xù)涵育。

在“平行四邊形面積”的教學(xué)中，我引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、對(duì)比來發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積數(shù)與長(zhǎng)方形邊的長(zhǎng)度數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以突破教學(xué)的難點(diǎn)。進(jìn)而，通過追問：為什么不是用“平行四邊形的底乘鄰邊”來計(jì)算平行四邊形的面積？引導(dǎo)學(xué)生理解：底邊一定時(shí)，是行數(shù)決定了平行四邊形面積的大小。突出了高的作用。通過問題：為什么要沿高剪開，再進(jìn)行拼接？只能沿一條高剪開嗎？驅(qū)動(dòng)學(xué)生通過回顧思考，明白了只要沿著平行四邊形的任意一條高剪下來，把長(zhǎng)方形的直角“變”出來，就可以把一個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)變成一個(gè)長(zhǎng)方形。（如圖9）

在思辨的過程中，學(xué)生借助想象、辨析、小結(jié)，使操作、語言與思維有機(jī)結(jié)合，積累了面積公式的推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)。這樣的轉(zhuǎn)化過程，學(xué)生把已知經(jīng)驗(yàn)調(diào)試遷移，一層一層地對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系深入理解，對(duì)割補(bǔ)法深度認(rèn)識(shí)，直指知識(shí)的本質(zhì)，為思維的縱深發(fā)展打開了空間。

在平行四邊形、三角形和梯形面積的教學(xué)中，轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn)是一脈相承的。在探究三角形、梯形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程中，學(xué)生所理解的面積公式背后的支撐點(diǎn)，就蘊(yùn)藏在前面所學(xué)知識(shí)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)之中。在三角形、梯形面積教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生看到我給出的方格紙時(shí)，自然地調(diào)試出了經(jīng)驗(yàn)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型，支撐了對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。隨著探究活動(dòng)的層層深入，圖形之間轉(zhuǎn)化前后的邏輯關(guān)聯(lián)、圖形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)也水到渠成。

四、整合梳理經(jīng)驗(yàn)，讓思維內(nèi)涵富有張力

教師設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，必須著力于學(xué)生富有層次的“深度學(xué)”，為其今后獨(dú)立面對(duì)其它同類學(xué)習(xí)內(nèi)容留下認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和思考方法。數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵建構(gòu)，應(yīng)該是通過整合建立一定的數(shù)學(xué)思維模式，讓學(xué)生“會(huì)想問題”“會(huì)做事情”。

圖形面積計(jì)數(shù)知識(shí)間的聯(lián)系是十分緊密的。在學(xué)習(xí)了平行四邊形、三角形及梯形的面積以后，通過整合梳理積累的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，打通知識(shí)塊的整體脈絡(luò)，能讓學(xué)生的思維內(nèi)涵合理外延，走向更深更遠(yuǎn)的地方。

我出示如圖10中的一組思考題，并提出問題：請(qǐng)你仔細(xì)觀察這組平行線內(nèi)的梯形，有什么發(fā)現(xiàn)？如果繼續(xù)往后想，你會(huì)想到什么圖形？往前想呢？

追問：用梯形的面積計(jì)算公式能否算出其它三個(gè)圖形的面積？

通過多媒體動(dòng)態(tài)演示，這組平行線內(nèi)，高一定，當(dāng)梯形的上底和下底之和不變時(shí)，面積是守恒的。這種守恒，隨著梯形上下底的不斷變化，演變成其它圖形時(shí)依然存在。當(dāng)上述這組平行線內(nèi)的梯形上底為0時(shí)，梯形轉(zhuǎn)變?yōu)槿切危琒三角形=（0+下底）×高÷2=底三角形×高÷2;當(dāng)梯形的上底和下底相等時(shí)，調(diào)整梯形兩腰的角度，梯形轉(zhuǎn)變?yōu)槠叫兴倪呅位蜷L(zhǎng)方形，S平行四邊形=（上底+下底）×高÷2=底×2×高÷2=底×高，同理可得S長(zhǎng)方形=長(zhǎng)×寬。從數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，滲透極限思想，能將長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形和梯形面積計(jì)算公式勾連整合，如此一來，便巧妙地打通了計(jì)算長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形和梯形的面積之間的聯(lián)系，勾連了算法，能讓學(xué)生體悟到更富張力的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)活動(dòng)后形成的過程化知識(shí)，其核心是如何思考的經(jīng)驗(yàn)。教師要立足數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，把數(shù)學(xué)之根深植于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)之中，把握好知識(shí)塊脈絡(luò)的整體呈現(xiàn)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從知識(shí)走向知識(shí)樹，從知識(shí)樹走向思維發(fā)展。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）