實施單元整合重構　實現數學深度理解

溫展鉅

北京師范大學劉月霞、郭華在《深度學習：走向核心素養》一書中指出：“深度學習，是指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程。深度學習過程著眼于學生對所學內容的整體理解，促進學生的知識建構和方法遷移。”北師版《義務教育教科書·數學》五年級下冊“分數的再認識”單元內容包含了整體“1”的再認識、分數單位、真假分數、帶分數、分數與除法的關系等知識，雖然對分數進行了“較全面”的再認識，但這些知識點之間的內在聯系不夠緊密，不利于學生在學習的過程中進行“整體認識”。我在教學這一單元時，將“分數與除法的關系”與“真假分數的認識”以及“帶分數與假分數的互化”進行整合重構，將這幾個知識點放在同一教學情境中，讓學生經歷“操作、分類、辨析”等數學活動，體驗知識發生、發展的過程，充分感悟知識之間的內在關聯。

一、動態情境，整合貫通

數學教學強調學生對知識的“再發現”與“再創造”，而數學情境則是數學知識“再發生”和“再創造”的重要載體。北師版教材中，設計了“分餅”與“分數與除法”兩部分內容，包括“帶分數、真分數、假分數”和“分數與除法的關系、帶分數與假分數的互化”。教材中有兩個情境，前面是“分餅”，后面是“分蛋糕”，前一節學習帶分數和假分數等概念，后一節進行帶分數和假分數的互化，在認知上容易產生割裂。

教學實踐中，我把“分餅”的情境進行了擴充，以“唐僧師徒取經途中化緣”的故事，動態化地呈現出對不同餅數進行平均分的題組，引導學生從整數的等分除法，過渡到分數的除法，將分數除法與整數除法打通。

師：話說唐僧師徒四人前往西天取經，路上經歷了各種磨難，就連每天吃飯都不容易。他們化緣得到的食物有時候多，有時候少，但他們師徒總是平均分配食物。這一天，化緣得到8張餅，分給師徒4人，平均每人得多少張餅？

生：總數是8張餅，平均分成4份，求每份數，8÷4=2（張）。

師：總數除以份數等于每份數，所以列式8÷4=2。

師：如果只有4張餅，平均分給4個人，平均每人分得多少張餅？

生：4÷4=1（張）。

師：如果只有1張餅，平均分給4個人，平均每人分得多少張餅？

生：1÷4=[14]（張）。

師：說一說這里的[14]表示的意義。

生：把一張餅平均分成4份，其中的1份，就是一張餅的[14]，也就是[14]張餅。

師：如果有5張餅 ，平均分給4個人，平均每人分得多少張餅？

生：5÷4=1（張）……1（張）每人分得1張餅多。

生：5÷4=1.25（張）。

在數的認識中，自然數的認識是在數的基礎上建立的，分數的認識是在分的基礎上建立的，而平均分又與除法有著緊密聯系。因此，在本課“唐僧師徒分餅”的情境中，學生借助“平均分”的熟悉模型，從整數除法過渡到了小數除法、分數除法。分得的結果從整數張到不能用整數表示，也不能用真分數表示，從而引出了學習帶分數、假分數的必要性。在這個認識過程中，不僅能分出帶分數和真假分數，還能在分的過程中發現分數與除法的關系，達到整合貫通的目的。同時，“平均分餅的情境”還能讓學生體會到團隊合作的重要性。此外，“艱難的取經生活”和“虔誠的求學精神”也是對學生進行思想教育的好素材。

二、多元表征，深度理解

在前面學習的過程中，都是對真分數進行認識，把一個整體平均分成若干份，其中的一份或幾份是幾分之一或幾分之幾，而從本課開始出現了分子比分母大的情況，這是本課學習中的一個難點。因此，我利用操作“分餅“這一環節，讓學生建立了比一張餅再多[14] 張的表象，引導他們從感觀上開始認識帶分數。

師：前面我們學習過用小數表示，這節課我們一起研究用分數表示。現在給每個小組5個圓片代表5張餅，平均分成4份，看看每份是幾張餅？請大家動手分一分。（學生小組討論、操作）

小組1：先拿出4張餅，每人分得1張餅;剩下一張餅再平均分成4份，每人再分得其中的1份。合起來就是1張餅，再多[14]張餅。（5人小組上臺演示，1人負責邊分邊講解）

小組2：先拿出一張餅，把餅平均分成4份，每人分得[14]張餅，照這樣分，分5張餅，每人分得5個[14]張，就是[54]張餅。（5人小組上臺演示，1人負責邊分邊講解）

生：把每張餅都平均分成4份，就有20個[14]張，20÷4=5，每個分得5個[14]張，就是[54]張。

師：大家的分法主要有兩種，一種是把每張餅都平均分成4份，每人分得每張餅的[14]，有5張餅 ，每人就分得5個[14]，就是[54]張餅。

另一種是先分4張，每人分得1整張餅，再把剩下的1張餅平均分，每人再分得[14]張，合起來是1張餅再多[14]張餅 ，可以用1[14]來表示。這里的1表示1整張餅 ，[14]表示[14]張餅，1[14]表示1+[14]的意思。讀作：一又四分之一，像這樣的分數叫做帶分數。你知道它為什么叫做帶分數嗎？

生：帶有整數的分數。

師：對，帶分數就是帶有整數的分數。左邊是整數部分，右邊是分數部分。它們的分法不同，得到的結果相同嗎？（指著1[14]和[54]）

生：兩次分到的結果是一樣的，因為第一次分到的[54]，可以把其中的4個[14]看成一張餅，就是1[14]張餅。

師：[54]表示5個[14]，你能在1[14]中找到5嗎？（動態演示）

生：整數部分的1可以看成是4個[14]，分數部分一個[14]，合起來就是5個[14]。

師：1[14]= [54] ，那么 2[14]是四分之幾呢？

生：[94]。

師：這是怎么得到的呢？

生：2×4+1=9，就是[94]。

師：為什么要2×4+1？

生：2就是2個1，1可以看成4個[14] ，2就是8個[14] ，合起來就是[94] 。

師：你知道[64]是幾又幾分之幾嗎？[84]呢？

本課是在認識“真分數”“假分數”的概念前，借助“分餅”的操作過程，用不同的分法得到大小相等的兩種結果“1[14 ]張餅和[54]張餅”。雖然分法不同，但學生親自參與了分的過程，自然知道兩個分數的大小相等。借助學具的操作和PPT的演示，學生聚焦帶分數和假分數的本質聯系：[54]是5個[14]，其中的4個[14]可以拼成一整張餅，也就是帶分數1[14]的整數部分1，剩下[14]就對應1[14]的分數部分[14]。將帶分數化為假分數則是把整數部分的餅分成與分數部分相同單位的若干份，再相加。

學生在觀察、思辨的過程中，結合操作表征、圖象表征、語言表征等多種表征方式對假分數和帶分數的本質進行深度理解，逐步建構出帶分數與假分數互化的算理，并總結出了簡便的算法。

三、整體把握，有效建模

在北師版教材中，利用“分蛋糕”的情境，引出兩條算式“1÷2=[12] ，7÷3=[73] ”讓學生觀察發現分數與除法的關系。在小學數學找規律的教學中，經常用到不完全歸納法，雖說是不完全歸納，也要保證類型和例子要能覆蓋到不同的類型。我認為，教材只用兩條算式不足以看出其中的規律，而且只涉及到了分數的除法，在類型上也不全面。因此，進行了如下調整。

師：回顧分餅的過程，4÷4=1張餅，能不能把1張餅也寫成分數呢？

生：1=[44]（板書）。

師：2張餅呢？（[84]）如果有6張餅呢？ 6÷4= [64]（張）;7張餅呢？7÷4= [74]（張）;13張餅呢？13÷4= [134]（張）;50張餅呢？50÷4= [504]（張）。

師：請同學們仔細觀察我們剛才通過分餅得到的除法算式和商。你發現了什么？

生：除數就是分數的分母。

師：誰能明白他的發現？

生：被除數就是分數的分子，商就是分得的張數。

（PPT出示，全班觀察：除法的被除數相當于分數的分子，除數相當于分數的分母，除號相當于分數線，這就是分數和除法的關系）

師：（板書）被除數÷除數=[被除數除數] 。（除數不能為0）

師：A張餅平均分給B個人呢？每人分得幾張？

生：A÷B=[AB]（張）。

師：要滿足什么條件？

生：B不能為0，因為除數不能為0。

分數與除法的關系是連接分數意義與等分除法意義的重要規律，也是分數、整數、小數三者之間轉換的橋梁。因此，在數量上要給學生提供豐富的材料，讓他們充分體驗、感受并利用不完全歸納的方法發現分數與除法之間的關系。同時，在材料的類型上要包含能分出整數的、能分出分數（小數）的情況，分數中還要包含真分數和假分數。只有在類型全面的材料中，才能讓學生把學習過的關于平均分的所有除法都納入到發現的規律之中，從而打通了整數除法、小數除法與分數除法的聯系，進而理解了本節中分得的商，可以在整數、小數、分數之間的相互轉換，達到對分數意義的整體認識。

四、多維辨析，提升思維

北師版教材采用舉例的方式得出真、假分數的概念。學生能很快得出真分數和假分數這兩個名稱，通過教師的引導，也能發現真分數的分子和分母之間的關系以及真假分數的大小關系，但對帶分數、真分數、假分數這三個概念以及它們之間的關系區別不夠清晰。

新課教學前，學生對分數的認識不是一張白紙，有的學生在平時生活中已對真假分數有了一定的認識。課前訪談中我發現，有些學生只是知道真假分數的名稱，部分學生雖知道真假分數的分子和分母的大小關系，但對真分數、假分數及帶分數的分類不清晰。因此，本課需要讓學生通過對不同類型的分數進行分類、辨析，借助符號化的理解和表達，對三類分數進行深層辨析。

師：仔細觀察這些分數的特征，把下面分數進行分類，并說一說你是怎樣想的？

[84]，[44]，[14]，[114]，[54]，[64]，[134]，[504]

生：分為真分數和假分數。

師：哪些是真分數呢？

生：分子小于分母的分數是真分數，有[14] ，分子大于分母的是假分數，有[84]，[54]，[64]，[134]。

生：分子等于分母的分數也是假分數，[44] 是假分數，1[14]是帶分數。

師：分子小于分母的分數叫做真分數，分子等于或大于分母的分數叫做假分數。

生：可以把1[14]分為一類，因為這個分數有分子和分母還有整數;其它只有分子和分母的分數分為一類。

師：從形式上還可以把帶有整數部分的分數分為一類，不帶整數的分數分為一類。能不能把[114]也按分子和分母的大小來分？它屬于真分數還是假分數。

生：1[14]等于[54]，所以1[14]也可以算是假分數。

師：[ab]是什么分數？為什么？

生：當a大于或等于b時，[ab]是假分數，當a小于b時，[ab]是真分數。

師：你能比較它們的大小嗎？出示：[ab]1。

生：當a大于b時，[ab]>1;當a等于b時，[ab]=1;當a小于b時，[ab]<1。

師：真分數小于1，假分數大于或等于1。

思維的獨立性意味著不為情境的暗示所左右，不人云亦云，不盲從附和，嚴格地估計思維材料和精細地檢查思維過程。思維的獨立性是批判性思維的重要特點。在本課中，我首先讓學生對課中所得出的各種不同類型的分數按不同的標準進行分類，通過分數讓學生觀察不同類型分數的特征，并在真分數假分數的分類中打破學生原有的淺層認識“帶分數不屬于假分數和真分數”，重構對分數的分類，達到對分數分類的全面認識，培養了學生的批判思維能力。

本節課通過對分數與除法、真假分數帶分數等知識的整合重構，創設動態化情境，促進了學生整體把握、深度理解，培養了批判性思維。

（責任編輯：楊強）