淺談勒讓德-高斯數值積分在工程中的應用

潘承勇

(中鐵廣州局三公司，廣東 肇慶 526020)

1 算法原理

根據插值求積公式有

其中tk(k=0，1，…，n-1)為區間[-1，1]上的n個求積結點，且

在區間[-1，1]上的n個零點，則稱其為勒讓德-高斯求積公式，其代數精度為2n-1。當n=10時，相應的求積結點tk，求積系數λk可通過查表得出。

2 算法實現

根據上述算法，可以在EXCEL表格中實現求定積分的自定義函數“jf()”，進入EXCEL的Visual Basic編輯器，插入一個“模塊”，在“模塊”中輸入如下代碼：

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Public Function jf(fx As String，a As Double，b As Double)

Dim ary(1 To 2，1 To 10)As Double，i As Integer，j As Integer

ary(1，1)=0.148874339

ary(2，1)=0.2955242247

ary(1，3)=0.4333953941

ary(2，3)=0.2692667193

ary(1，5)=0.6794095683

ary(2，5)=0.2190863625

ary(1，7)=0.8650633667

ary(2，7)=0.1494513492

ary(1，9)=0.9739065285

ary(2，9)=0.0666713443

For i=2 To 10 Step 2

ary(1，i)=-ary(1，i-1)

ary(2，i)=ary(2，i-1)

Next

jf=0

For j=1 To 10

jf=jf+Evaluate((b-a)/2*ary(2，j)&"*("&Replace(UCase(fx)，"X"，(b-a)/2*ary(1，j)+(a+b)/2)&")")

Next

End Function

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該EXCEL文件類型應為“啟用宏的工作簿”。

也可將該EXCEL文件類型另存為“加載宏”，并對其進行“加載”，這樣就可以在其它所有EXCEL“工作簿”中運用該自定義函數。

3 工程計算實例

上述自定義函數“jf()”返回定積分的值

語法：jf(fx，a，b)

fx必需。字符串類型，表示帶有“x”的被積表達式。

a必需。數值，表示積分下限。

b必需。數值，表示積分上限。

3.1 變截面體積計算實例

南江雙線特大橋8#墩托盤高度為2 m，底面為圓端形截面，直線段長為5.2 m，圓端半徑為2.1 m;頂面為矩形截面，長為11.2 m，寬為5 m；中間部分呈線性變化，其三維圖如圖1所示。

圖1 三維圖

根據上述條件，在0≤x≤2區段內可列出體積計算公式如

(π-4)(2.1-1.05x)2dx

在EXCEL電子表格的單元格中輸入公式如

=jf("(0.9*x+9.4)*(0.4*x+4.2)+

("&PI()&"-4)*(2.1-1.05*x)^2"，0，2)

式中:“PI()”為EXCEL函數，返回π值，最終返回值為：92.4763，與設計所給92.5相符。

對于內含倒角的空心墩，連續剛構梁部均可按上述方法計算出每節段混凝土的體積，以便于施工材料的報備和圖紙工程量的復核。同理也可運用該方法計算出變截面墩身的表面積，用于模板用量的估算。

3.2 拋物線長度計算實例

南江雙線特大橋連續剛構梁底下緣按二次拋物線變化，拋物線方程為

y=660+620x2/7 4002

則y′=1 240x/7 4002

故相應于a≤x≤b的一段邊跨底板鋼絞線拋物線長度計算公式如

當a=0，b=4 535.9時，在EXCEL電子表格的單元格中輸入如下公式

=jf("(1+(1 240*x/7 400^2)^2)^(1/2)"，0，4 535.9)

返回值為：4 543.862 9，與設計所給相符。

運用該方法可方便的計算出每個分段鋼絞線的長度，對鋼絞線理論伸長量的精確計算起著至關重要的作用；同理還可單獨計算出某一個節段內的波紋管長度，以確保單個節段施工下料長度的準確無誤。

3.3 線路中樁坐標計算實例

線路形式多種多樣，但都是由直線、圓曲線及緩和曲線組成。而這3種線型都具有曲率隨弧長作線性變化這一共性，故可用曲線元代表3種線型中的任意一種。由此易推出已知弧長l求任意點的坐標的積分通式如

式中：XA,YA為分別表示曲線元起點的x坐標和y坐標；kA，kB為分別表示曲線元起點和終點的曲率；aA為曲線元起點的前視方位角，以弧度形式表示；L為曲線元的長度；1為任意點距曲線元起點的弧長；i為線路偏向，左偏取-1，右偏取1；

上式所表示的積分十分復雜，直接求出原函數十分困難，故可用勒讓德-高斯數值積分進行求解：

工程實例：雙園二號隧道進口段位于平曲線的第二段緩和曲線上，曲線元起點里程為：DK41+802.098；起點x坐標XA=1 330.781 8；y坐標yA=755.312 8；起點前視方位角aA=357.179 278 5度(計算時化為弧度形式)；起點曲率kA=1/4 000；終點曲率kB=0；曲線長度L=200；線路偏向i=-1；

首先在EXCEL的A1:G3區域建立如“表3-3-1”形式的表格，第一行為里程樁號，第二行為X坐標，第三行為Y坐標，并在第一行中填入所需計算中線坐標的里程。

接著在B2單元格中輸入公式

=1 330.781 8+jf("cos(357.1 792 785*"&PI()&"/180-(1/4 000*x+x^2*(0-1/4 000)/(2*200)))"，0，B1-41 820.098)

然后在B3單元格中輸入公式

=755.312 8+jf("sin(357.1 792 785*"&PI()&"/180-(1/4 000*x+x^2*(0-1/4 000)/(2*200)))"，0，B1-41 820.098)

最后復制B2∶B3至C2∶G3區域，即可完成計算。

計算結果見表1。

表1 計算結果

運用上述方法可方便快捷地完成大量的坐標計算，對測量計算及復核起到重要作用，進一步提高了工作效率。

4 結束語

勒讓德-高斯積分法是精度最高的插值型數值積分，具有2n+1階精度，并且高斯積分總是穩定。本文中運用了10結點勒讓德-高斯數值積分模型進行編程，并在常用的EXCEL電子表格中進行計算，這也彌補了EXCEL無法進行積分計算的弊端。同時也列舉了三個工程實例，說明了定積分計算在工程中的重要性。

基于以上模型，可以開發出更多具有針對性的程序軟件，用于計算鋼絞線理論伸長量，用于線路中邊樁坐標的正算及反算等等。有了這些程序的幫助，可以成倍提高工作效率，而這正是工程技術工作的主要內涵和方向。