2-正規(guī)矩陣

張雨婷， 朱子建， 趙 瑞， 陸 彥， 魏俊潮

(揚州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚州225002)

1 引 言

A=AA+A，A+=A+AA+，AA+=(AA+)H，A+A=(A+A)H；

A=AA#A，A#=A#AA#，AA#=A#A.

一個n階復(fù)方陣A是群可逆矩陣當(dāng)且僅當(dāng)rank(A)=rank(A2)；若群可逆矩陣A滿足條件A#=A+，稱為EP矩陣[3]；若AAH=AHA，則稱A是正規(guī)矩陣[4]；若A2AH=AHA2，則稱A為2-正規(guī)矩陣.顯然正規(guī)矩陣是2-正規(guī)矩陣，但下面的注1說明2-正規(guī)矩陣不必為正規(guī)矩陣，因此2-正規(guī)矩陣是正規(guī)矩陣的真正推廣.

矩陣廣義逆的研究涉及眾多科學(xué)領(lǐng)域，應(yīng)用范圍極其廣泛，矩陣廣義逆[5]形式眾多，研究成果豐富，并逐漸影射到C*-代數(shù)[6]，Banach代數(shù)[7]，Hilbert空間中的線性算子廣義逆[8]以及代數(shù)學(xué)的半群與結(jié)合環(huán)上的廣義逆[9-10]，研究范圍之廣，研究學(xué)者之多，研究成果之巨使其成為廣義逆理論中最耀眼的課題.本文主要是基于正規(guī)矩陣的良好性質(zhì)，做出合理推廣，介紹并研究了2-正規(guī)矩陣的相關(guān)性質(zhì).

2 主要結(jié)果

故A不是正規(guī)矩陣.

注1說明2-正規(guī)矩陣是正規(guī)矩陣的真正推廣.

正規(guī)矩陣總是EP矩陣，從而為群可逆矩陣.但2-正規(guī)矩陣不必為群可逆矩陣，例如

由例1知，A為2-正規(guī)矩陣，但A不是群可逆矩陣，從而2-正規(guī)矩陣不必為EP矩陣.因此研究正規(guī)矩陣哪些性質(zhì)遺傳到2-正規(guī)矩陣上來就有著理論上的意義，同時研究2-正規(guī)矩陣的性質(zhì)及其在對角化問題，特征值的性質(zhì)等具有重要的理論價值.關(guān)于2-正規(guī)矩陣，首先有下面的結(jié)果.

引理1設(shè)A為2-正規(guī)矩陣，若A為群可逆矩陣，則A為EP矩陣.

證由于A為2-正規(guī)矩陣，則A2AH=AHA2，故

A2AHA+A=AHA2A+A=AHA2=A2AH，

又因為A為群可逆矩陣，所以

AAHA+A=A#A2AHA+A=A#A2AH=AAH，

從而

AHA+A=(A+AAH)A+A=A+(AAHA+A)=A+(AAH)=AH，

則

A=(AH)H=(AHA+A)H=A+A2，

所以AA#=A+A2A#=A+A，因此A為EP矩陣.

觀察引理1的證明，實際上有下面的推論.

推論1設(shè)A∈n×n是群可逆矩陣，若存在正整數(shù)k，使得AkAH=AHAk，則A是EP矩陣.

下面的引理是眾所周知的，給出了一種高等代數(shù)式的證明.

引理2設(shè)A∈n×n，若rank(A)=rank(A2)，則A為群可逆矩陣.

證設(shè)rank(A)=rank(A2)=r，則存在n階可逆復(fù)方陣P和Q，使得

所以

故

因此rank(D1)=r，即D1為r階可逆方陣.

故A為群可逆矩陣且

推論2設(shè)A∈n×n，若AH=AHA+A，則A為EP矩陣.

證由于AH=AHA+A，則

A=(AH)H=(AHA+A)H=A+A2，

所以rank(A)=rank(A2)，由引理2知A為群可逆矩陣，再由引理1的證明知A為EP矩陣.

類似于推論2，可得如下推論.

推論3設(shè)A∈n×n，若AH=AA+AH，則A為EP矩陣.

由于(AH)2A=A(AH)2當(dāng)且僅當(dāng)AHA2=A2AH，且一個群可逆矩陣A是EP矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A#=A#AA+.因此得出下面的定理.

定理1設(shè)A∈n×n為群可逆矩陣，則A為2-正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)(AH)2A#=A#(AH)2.

證必要性.假設(shè)A為2-正規(guī)矩陣，則由引理1知A為EP矩陣，故

(AH)2A#=(AH)2A(A#)2=A(AH)2(A#)2=A#A2(AH)2(A#)2
=A#(AH)2A2(A#)2=A#(AH)2AA#=A#(AH)2AA+=A#(AH)2；

充分性.假設(shè)(AH)2A#=A#(AH)2，則

(AH)2A#(En-AA+)=A#(AH)2(En-AA+)=O，

取共軛轉(zhuǎn)置得

(En-AA+)(A#)HA2=O，

右乘A#A+得

(En-AA+)(A#)H=O，

再取共軛轉(zhuǎn)置得

A#(En-AA+)=O，

即A#=A#AA+，所以A為EP矩陣，進而

(AH)2A=(AH)2A#A2=A#(AH)2A2=A(A#)2(AH)2A2=A(AH)2(A#)2A2
=A(AH)2A#A=A(AH)2AA#=A(AH)2AA+=A(AH)2，

故A為2-正規(guī)矩陣.

矩陣廣義逆通常表現(xiàn)為某種矩陣與其相關(guān)逆矩陣之間滿足相應(yīng)的關(guān)系式，因此變化這些關(guān)系式中某個矩陣，則得到相應(yīng)的矩陣方程，而矩陣方程在生產(chǎn)實踐中的應(yīng)用勿用多言.

由定理1可給出下面的矩陣方程AHXA#=A#AHX.

定理2設(shè)A∈n×n為群可逆矩陣，則

(i)A為正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)矩陣方程AHXA#=A#AHX在集合{A，A#，A+}中有解；

(ii)A為2-正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)矩陣方程AHXA#=A#AHX有解X=AH；

(iii)A為EP矩陣當(dāng)且僅當(dāng)矩陣方程AHXA#=A#AHX在集合{(A#)H，(A+)H}中有解.

證(i) 必要性.若A為正規(guī)矩陣，則A為EP矩陣，故A+=A#，因此

AHAA#=AHAA+=AH=A+AAH=A#AAH=A#AHA，

從而X=A為一個解；

充分性.① 若X=A為AHXA#=A#AHX的解，則AHAA#=A#AHA，注意到AA+A#=A#，所以

(En-AA+)AHAA#=O，

右乘AA+得

(En-AA+)AH=O，

從而AH=AA+AH，由推論3知A為EP矩陣，故AH=AHAA+=AHAA#=A#AHA，所以

AAH=AA#AHA=A#AAHA=A+AAHA=AHA，

故A為正規(guī)矩陣.

② 若X=A#為AHXA#=A#AHX的解，則AHA#A#=A#AHA#，右乘A2得

AHA#A=A#AHA，

由①知A為正規(guī)矩陣.

③ 若X=A+為AHXA#=A#AHX的解，則AHA+A#=A#AHA+，上式左乘(En-AA+)得

(En-AA+)AHA+A#=O，

右乘A2得

(En-AA+)AHA+A=O，

取共軛轉(zhuǎn)置得

A+A2(En-AA+)=O，

左乘A#A得

A(En-AA+)=O，

從而A=A2A+，故A為EP矩陣，從而A+=A#，因此AHA#A#=A#AHA#，由②知A為正規(guī)矩陣.

(ii) 這是定理1的直接推論.

(iii) 必要性.若A為EP矩陣，則A#=A+，故

AH(A+)HA#=A+AA#=A#=A#A+A=A#AH(A+)H，

從而X=(A+)H為一個解；

充分性.① 若X=(A+)H為一個解，則

AH(A+)HA#=A#AH(A+)H，

即A+AA#=A#A+A=A#，所以A#A=(A+AA#)A=A+A，從而A為EP矩陣.

② 若X=(A#)H為一個解，則

AH(A#)HA#=A#AH(A#)H，

上式左乘(En-AA+)得

(En-AA+)AH(A#)HA#=O，

右乘A2A+得

(En-AA+)(A#A)H=O，

右乘AH得

(En-AA+)AH=O，

故AH=AA+AH，由推論3知A為EP矩陣.

定理3設(shè)A∈n×n為群可逆矩陣，則A為2-正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)矩陣方程AXAHA+=AHX在集合{A，AH}中至少有一個解.

證必要性.假設(shè)A為2-正規(guī)矩陣，則由引理1知，A為EP矩陣，故A+A=AA+，由于

A2AHA+=AHA2A+=AHAA+A=AHA，

故X=A為方程AXAHA+=AHX的一個解；

充分性.① 若X=A為方程的解，則A2AHA+=AHA，由于

AHA(En-AA+)=A2AHA+(En-AA+)=O，

所以AHA=AHA2A+，左乘(A+)H得A=A2A+，從而A為EP矩陣，故A+A=AA+，因此

AHA2=AHA2A+A=(AHA)A=A2AHA+A=A2AH，

故A為2-正規(guī)矩陣.

② 若X=AH為方程的解，則AAHAHA+=AHAH，上式左乘AA+得

AA+AHAH=AHAH，

右乘(A#)H得

AA+AH=AH，

兩邊取共軛轉(zhuǎn)置得

A=A2A+，

故A為EP矩陣，從而

AHAHA=AAHAHA+A=AAHAHAA+=AAHAH，

再取共軛轉(zhuǎn)置得

AHA2=A2AH，

故A為2-正規(guī)矩陣.

定理4設(shè)A∈n×n為群可逆矩陣，則A為2-正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)方程XA+AHA=AXAHA+在集合{A，A#，A+，(A#)H，(A+)H}中至少有一個解.

證必要性.A為群可逆矩陣且為2-正規(guī)矩陣，由引理1知，A為EP矩陣，則

AA+AHA=AHA=AHA2A+=A2AHA+，

所以A為XA+AHA=AXAHA+的一個解；

充分性.① 當(dāng)X=A時，有AA+AHA=A2AHA+，右乘(E-AA+)得

AA+AHA(E-AA+)=A2AHA+(E-AA+)=O，

左乘(A+)H(A#)HAH得

(A+)H(A#)HAHAA+AHA(E-AA+)=O，

進而得到A(E-AA+)=O，即A=A2A+，所以A是EP矩陣，又AA+AHA=A2AHA+，得

AHA2=A2AH，

所以A是2-正規(guī)矩陣.

② 當(dāng)X=A#時，有A#A+AHA=AA#AHA+，左乘A2得

AA+AHA=A2AHA+，

證明同①.

③ 當(dāng)X=A+時，有A+A+AHA=AA+AHA+，左乘(E-A+A)得

(E-A+A)AA+AHA+=(E-A+A)A+A+AHA=O，

右乘A(A#)HA得

(E-A+A)AA+AHA+A(A#)HA=O，

進而有

(E-A+A)AA+AH(A#)HA=O，

即

(E-A+A)(A#AAA+)HA=O，

從而(E-A+A)A=O，故A=A+A2，所以A為EP矩陣，又由A+A+AHA=AA+AHA+，左乘A2，右乘A得

AHA2=A2AH，

所以A是2-正規(guī)矩陣.

④ 當(dāng)X=(A+)H時，有(A+)HA+AHA=A(A+)HAHA+，右乘(E-AA+)得

(A+)HA+AHA(E-AA+)=A(A+)HAHA+(E-AA+)=O，

左乘(A+)H(A#)HAHAAH得

A(E-AA+)=O，

即A=A2A+，故A為EP矩陣，又

(A+)HA+AHA=A(A+)HAHA+，

左乘AAH易得

AHA=AAH，

故A為正規(guī)矩陣，所以也為2-正規(guī)矩陣.

⑤ 當(dāng)X=(A#)H時，有(A#)HA+AHA=A(A#)HAHA+，右乘(E-A+A)得

A(A#)HAHA+(E-A+A)=(A#)HA+AHA(E-A+A)=O，

進而有AAH(A#)HA+(E-A+A)=O，左乘A+(A+)HAHA+得

A+A+(E-A+A)=O，

即

(A+)2=(A+)3A；

另一方面，因為

rank(A)=rank(AA#A)≤rank(A#A)≤rank(A)，

所以rank(A)=rank(A#A).

同理:rank(A)=rank(A+A)=rank(A+)，因為rank(A)=rank(A#A)，所以

rank(A2)=rank(A#A2)=rank(A)，

又

rank(A2)≤rank(A+A2A+)≤rank(AA+A2A+A)=rank(A2)，

從而

rank(A2)=rank(A+A2A+).

同理:rank((A+)2)=rank(A(A+)2A)，由于rank(A+A2A+)=rank(A(A+)2A)，所以

rank((A+)2)=rank(A2)=rank(A)=rank(A+)，

故A+為群可逆矩陣，又(A+)2=(A+)3A，故A+為EP矩陣，結(jié)合

(A#)HA+AHA=A(A#)HAHA+

得

(A+)HA+AHA=A(A+)HAHA+，

由④知A為2-正規(guī)矩陣.

3 結(jié) 論

本文介紹了一種新型的矩陣廣義逆，即2-正規(guī)矩陣，這類矩陣是正規(guī)矩陣的真正推廣，遺傳了正規(guī)矩陣的一些性質(zhì).通過構(gòu)造矩陣?yán)碚撝辛餍械木仃嚪匠痰慕獾拇嬖谛詠硌芯?-正規(guī)矩陣，豐富了矩陣廣義逆的研究內(nèi)容與研究方法，同時這種研究手法可推廣到半群，環(huán)上，C*-代數(shù)及算子代數(shù)的廣義逆的研究中，因而具有理論上的意義.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.