乘方的指數(shù)與其冪的位數(shù)的關(guān)系

劉耕滔， 謝子康

(1.浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，浙江 金華321004；2.浙江師范大學(xué) 物理與電子信息工程學(xué)院，浙江 金華321004)

1 引 言

眾所周知，bn(b>1，n∈)中隨著n的增大，其冪呈爆炸式增長.但經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，對應(yīng)于某些底數(shù)b，隨著n的增大其冪的數(shù)位呈某種周期循環(huán)規(guī)律(如附錄中的例子)，目前尚無理論明確指出其間到底存在怎樣的規(guī)律.于是我們由此展開研究，探究了其背后的理論體系，并將其推廣到了更一般的情況.

2 預(yù)備知識

定義1位數(shù)：一個(gè)自然數(shù)數(shù)位的個(gè)數(shù). 進(jìn)制：即進(jìn)位計(jì)數(shù)制，帶進(jìn)位的計(jì)數(shù)方法.

定義2定義一種函數(shù)：取位函數(shù)(長度函數(shù))

f(x)=lenA(x) (A為大于1的常數(shù)，x∈+).

該函數(shù)表示在A進(jìn)制下x的整數(shù)部分的位數(shù)為f(x).

根據(jù)定義，當(dāng)x∈[1,+∞)存在取位函數(shù)恒等式： lenA(x)= [logAx]+1.

定義3在A進(jìn)制下，若以b為底的冪bn的整數(shù)部分位數(shù)相同的乘方的個(gè)數(shù)是其指數(shù)的一個(gè)周期函數(shù)時(shí)，則稱A進(jìn)制下bn的進(jìn)位定律存在.在該周期函數(shù)的最小正周期內(nèi)統(tǒng)計(jì)每一個(gè)位數(shù)所對應(yīng)的指數(shù)的個(gè)數(shù)，將其數(shù)字按先后順序記下，便構(gòu)成了一個(gè)進(jìn)位循環(huán)組.進(jìn)位循環(huán)組中每一個(gè)數(shù)字(自然數(shù))為進(jìn)位循環(huán)段.表示進(jìn)位循環(huán)組時(shí)，數(shù)字以西文逗號隔開，寫在括號內(nèi).(如附錄中的例子)(A,b∈且A,b>1，n∈).

進(jìn)位循環(huán)組表示進(jìn)位定律存在的乘方的冪的整數(shù)部分的周期性的進(jìn)位模式.

例1(100.3)n(n∈) 隨n增大時(shí)存在進(jìn)位定律，進(jìn)位循環(huán)組為 (4,3,3).

3 兩個(gè)定理

定理1(滿進(jìn)定理) 設(shè)A,a>1，n∈，當(dāng)且僅當(dāng)A=a時(shí)，lenA(an)=n+1.

該定理結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法易證.稱A進(jìn)制下an=An這種進(jìn)位的模式為“滿進(jìn)”.由定理指出，一種進(jìn)制下只存在一種滿進(jìn)情況.同樣結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法，可以由定理1推得以下五個(gè)等價(jià)命題：A,a∈且A,a>1，n∈.在A進(jìn)制下，

(i)an為滿進(jìn)；

(ii)A=a；

(iii)an的冪的位數(shù)等于其乘方的指數(shù)+1；

(iv)an的進(jìn)位循環(huán)組為(1)；

(v)an的冪分別為“1，10，100，…(A進(jìn)制)”.

實(shí)際上遇到的更多情況并非是滿進(jìn)的，下面給出一條描述“非滿進(jìn)”(即b≠A)情況的定理.

定理2(非滿進(jìn)定理) 設(shè)A,b∈且A,b>1，n,l∈且l≥2，在A進(jìn)制下：

若b>A，則存在n，l，使得lenA(bn+1)=lenA(bn)+l；

若b

證當(dāng)b>A時(shí)，設(shè)A=a，r,m∈+，則?r(r>1)，使得b=r·a，進(jìn)而有b0=r0·a0，bn=rn·an.又因?yàn)閞>1，所以rn>1且rn單調(diào)遞增.顯然，?m∈，使得rm>10(A進(jìn)制)，則有bm>10·am(A進(jìn)制)根據(jù)鴿巢原理與定理1，?n≥m，使得lenA(bn+1)=lenA(bn)+l(l∈且l≥2).

同理可證b

4 指律因子

定義4在A進(jìn)制下，對于底數(shù)為b的乘方，將logAb稱為指律因子.

由定義可知，在A進(jìn)制下的指律因子與乘方的底數(shù)是一一對應(yīng)的.

定理3(進(jìn)位定律存在判別法) 在A進(jìn)制下，bn進(jìn)位定律存在的充要條件為指律因子logAb為有理數(shù)(A,b∈且A,b>1).

證必要性.若進(jìn)位定律存在，則由定義該周期循環(huán)關(guān)系必可被一個(gè)固定的進(jìn)位循環(huán)組描述，且該進(jìn)位循環(huán)組的兩個(gè)參數(shù)：進(jìn)位循環(huán)組中數(shù)字的個(gè)數(shù)=g，進(jìn)位循環(huán)組中數(shù)字之和=k，為兩個(gè)有限大的正整數(shù).由進(jìn)位循環(huán)組的定義可知，g為經(jīng)歷一個(gè)進(jìn)位循環(huán)組時(shí)數(shù)位的增加量，k為經(jīng)歷一個(gè)進(jìn)位循環(huán)組時(shí)冪的指數(shù)的增加量，即Ag=bk(在A進(jìn)制下，An滿進(jìn)).

對于必要性的證明可逆，因此充分性可證.定理3證畢.

推論A進(jìn)制下，bn進(jìn)位定律存在的充要條件：互質(zhì)的兩參數(shù)g(進(jìn)位循環(huán)組中數(shù)字的個(gè)數(shù)),k(進(jìn)位循環(huán)組中數(shù)字之和)惟一存在且不為無窮.

根據(jù)上述理論，有以下求進(jìn)位循環(huán)組的方法.

在A進(jìn)制下，設(shè)指律因子α為有理數(shù).

求解p·α<1(p∈)中p的最大取值p1，則進(jìn)位循環(huán)組中第1個(gè)進(jìn)位循環(huán)段為p1+ 1；

再求解p·α<2(p∈)中p的最大取值p2，則進(jìn)位循環(huán)組中第2個(gè)進(jìn)位循環(huán)段為p2-p1；

再求解p·α<3(p∈)中p的最大取值p3，則進(jìn)位循環(huán)組中第3個(gè)進(jìn)位循環(huán)段為p3-p2；

…… ……

依此類推，進(jìn)位循環(huán)組中除第1個(gè)進(jìn)位循環(huán)段為p1+ 1外，其余第m個(gè)進(jìn)位循環(huán)段為pm-pm-1.

該方法可整理為如下方程組

其中p∈，xi∈(i=1,2,3，…，g)，xi為進(jìn)位循環(huán)組中第i個(gè)進(jìn)位循環(huán)段.

注 當(dāng)指律因子為無理數(shù)時(shí)，進(jìn)位循環(huán)組不存在，但亦可將進(jìn)位循環(huán)組看作是周期為無窮大，再由上法求出足夠多的進(jìn)位循環(huán)段，以提高精確度，達(dá)到應(yīng)用目的.

5 相關(guān)性質(zhì)

設(shè)A,b,d∈且A,b,d>1，n∈，A進(jìn)制下bn進(jìn)位定律存在，則有以下四條性質(zhì)：

性質(zhì)1(周期循環(huán)性)bn的整數(shù)部分位數(shù)相同的乘方的個(gè)數(shù)是其指數(shù)的一個(gè)周期函數(shù).

性質(zhì)2(組合性質(zhì)) 在A進(jìn)制下，若bn，dn都存在進(jìn)位定律，則(b·d)n也存在進(jìn)位定律，且其指律因子為logAb+logAd.

推論(i)在A進(jìn)制下，若bn存在進(jìn)位定律，dn不存在進(jìn)位定律，則(b·d)n不存在進(jìn)位定律；

(ii)在A進(jìn)制下，若bn，(b·d)n存在進(jìn)位定律，則dn一定存在進(jìn)位定律；

(iii)在A進(jìn)制下，若(b·d)n不存在進(jìn)位定律，則bn，dn至少有一個(gè)不存在進(jìn)位定律.

性質(zhì)3(進(jìn)位循環(huán)段的有界性) 進(jìn)位循環(huán)組中，第j個(gè)進(jìn)位循環(huán)段xj(j∈{2,3,…，g})僅有2個(gè)可能的數(shù)值：xj=x1或xj=x1-1.

證此性質(zhì)的證明過程借助以下引理.

引理1對于第3部分中求進(jìn)位循環(huán)組的方法中的條件，有以下等價(jià)形式

引理1可將第3部分中求進(jìn)位循環(huán)組的方程組改寫為如下形式(其它條件相同)

取j∈{2,3,…，g}，則由方程組有

(1)

以及

(2)

聯(lián)立(1)，(2)兩個(gè)不等式可以得出結(jié)論-1

性質(zhì)3證畢.

性質(zhì)4(進(jìn)位循環(huán)組的弱對稱性) 設(shè)進(jìn)位循環(huán)組為(x1,x2,…,xg)，則有x1=xg+1且x2=xg-1，x3=xg-2，…成立.

證bk=Ak·α=Ag為g+1位數(shù)，b0=A0=1為1位數(shù)，因此第3部分中求進(jìn)位循環(huán)組的方程組中p∈[0,k)∩.去除左端點(diǎn)，則p∈(0,k)∩，(0,k)為關(guān)于對稱的區(qū)間，對應(yīng)方程組的解中x1應(yīng)改為x′1=p1=x1-1

又由該方程組等價(jià)形式可得另一等價(jià)形式

兩等價(jià)形式的解相同.而后一等價(jià)形式的解的意義依次為：在區(qū)間(0,k)上的進(jìn)位循環(huán)組中由末至初的進(jìn)位循環(huán)段，與前一等價(jià)形式的解的意義恰好相逆(前一等價(jià)形式的解依次代表對稱區(qū)間(0,k)上進(jìn)位循環(huán)組中由初至末的進(jìn)位循環(huán)段)，因此有x1=xg+1且x2=xg-1，x3=xg-2，…成立.

性質(zhì)4證畢.

6 結(jié) 論

本文研究了在一定進(jìn)制下，乘方的指數(shù)與其冪的位數(shù)的相關(guān)規(guī)律.其中定理1和定理2描述了乘方的指數(shù)與其冪的位數(shù)之間規(guī)律的框架，在定義了指律因子后便對規(guī)律的存在性以及規(guī)律的求解方法進(jìn)行了討論，最后給出四條規(guī)律存在時(shí)的相關(guān)性質(zhì)，在某些情況下，判定進(jìn)位定律存在后，可以直接根據(jù)性質(zhì)求出進(jìn)位循環(huán)組.本文研究方法基于初等數(shù)論，采用數(shù)論中的方法，可對本文內(nèi)容繼續(xù)拓展延伸.

致謝感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴建議，感謝浙江師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院朱偉義教授的細(xì)心指導(dǎo)！

附 錄

以(100.3)為底的乘方當(dāng)指數(shù)n=0,1,2,…時(shí)，其對應(yīng)冪如下表

表1 (100.3)n的指數(shù)與其冪的數(shù)字位數(shù)的關(guān)系表

除上表所列可以繼續(xù)向下驗(yàn)算，不難發(fā)現(xiàn)，從n=0至n=9十個(gè)數(shù)可以作為一個(gè)最小正周期，其中整數(shù)部分為一位數(shù)的有4個(gè)、兩位數(shù)的有3個(gè)、三位數(shù)的有3個(gè)，則其進(jìn)位循環(huán)組為(4,3,3)，此進(jìn)位循環(huán)組中有三個(gè)進(jìn)位循環(huán)段，分別為“4”“3”“3”.另外，當(dāng)以2為底時(shí)，雖然大多數(shù)也為“4,3,3”的規(guī)律，但在n=103，n=196，n=299等(len10(2103)=32，len10(2196)=60，len10(2299)=91)情況下失去了規(guī)律.

由前文定義可知進(jìn)位循環(huán)組、進(jìn)位循環(huán)段的意義：進(jìn)位循環(huán)組代表了一個(gè)冪的整數(shù)部分位數(shù)與其乘方的指數(shù)之間的規(guī)律性關(guān)系，進(jìn)位循環(huán)組中每一個(gè)數(shù)字為進(jìn)位循環(huán)段，表示整數(shù)部分同處于某一對應(yīng)位數(shù)下的冪的個(gè)數(shù)，進(jìn)位循環(huán)段的個(gè)數(shù)表示經(jīng)過一個(gè)進(jìn)位循環(huán)冪的整數(shù)部分所進(jìn)的位數(shù)，進(jìn)位循環(huán)組中數(shù)字之和表示一個(gè)進(jìn)位循環(huán)所占的乘方的指數(shù)的個(gè)數(shù).