重載輪式移動機器人路徑跟蹤滑模預測控制

陳 勇，劉 哲，喬 健，盧清華

(佛山科學技術學院 機電工程與自動化學院，廣東 佛山 528225)

1 引言

重載移動機器人在動態建模[1]、導航技術[2]、能耗計算[3]、運動控制[4]等領域的研究深受國內外學者關注。與普通輪式移動機器人不同，重載移動機器人具有較大承載能力的特點，使得其在變壓器、鋁型材等重物運輸過程中具有廣泛的應用前景。

重載移動機器人結構特點導致的路徑跟蹤速度和穩定性問題相比于一般輪式機器人顯得更為復雜[5]，預測控制用于移動機器人的運動過程調節，能夠提升計算速度，加快移動機器人軌跡跟蹤的速度，已經應用到移動機器人控制的各個領域[6]。文獻[7]提出了一種預測控制器來控制兩輪式移動機器人軌跡跟蹤，采用飽和技術優化最大和最小控制值，簡化控制器算法。文獻[8]將重型車輛的行駛任務描述為一個最優控制問題，通過模型預測控制器實現能耗節省。文獻[9]提出了一種模型預測控制基于WMR軌跡規劃的控制算法，解決了其他控制算法只能處理部分機器人約束點的問題。文獻[10]提出了一種基于神經網絡優化的魯棒模型預測控制方法來穩定具有物理約束的移動機器人，通過神經網絡算法增加模型預測控制的穩定性。文獻[11]提出了一種基于量子粒子群優化的模型預測控制方法，用以解決機器人速度跳變和速度跳變引起的驅動飽和問題。

作為一種結構簡單的新型控制方法，滑模控制在移動機器人的運動控制中得到了廣泛應用。文獻[12]針對欠驅動兩輪移動機器人，提出了一種引入線性控制器的新積分滑模控制器。文獻[13]針對移動機器人的參數不確定性，設計了基于神經網絡的模型預測控制器，實現軌跡跟蹤控制。文獻[14]應用動態環境下諧波勢場的在線修正，提出了一種多級滑模控制器移動機器人的動態避障策略，使機器人在非已知軌跡上以時變速度運動時避免與障礙物的碰撞。文獻[15]設計了基于指數趨近律的滑模控制方法，保證在大階躍情況下系統仍然能以較大的速度趨近于滑動模態。文獻[16]針對移動機器人的路徑跟蹤控制問題，提出了一種全局穩定定理與指數趨近律相結合的滑模控制方法，采用雙環閉環控制結構提高了機器人在路徑跟蹤過程中的線速度與角速度的穩定性，削弱了指數控制律的抖振現象。

本文首先分析了重載移動機器人運動學與動力學特性，建立了重載輪式移動機器人運動學與動力學模型，基于動力學模型設計了預測控制器，并加入位置滑模控制，結合滑模控制和預測控制的優點，提出了基于動力學的滑模預測控制方法，提高了路徑跟蹤速度和穩定性。

2 重載輪式移動機器人運動學建模

如式(1)所示，在不考慮摩擦力、向心力、側滑等外部擾動因素下，可以建立輪式移動機器人的運動學方程。

(1)

3 重載輪式移動機器人動力學建模

應用于物流運輸中的移動機器人載重量通常為幾十公斤甚至超過1 000 kg，本文重載移動機器人最大載荷量可達8 000 kg，其關鍵技術問題為重載移動機器人舵輪的控制，單輪承重可達2 t，使用4個同樣載荷量的輪子，針對其中兩個舵輪進行控制。

系統進行轉向時，左后輪不產生偏轉角，需要分析右前方驅動輪的縱向力和側向力，考慮到四輪式結構的繞z軸轉動慣量分析復雜，垂直于軸心的力大小不能用準確的力學分析得到，簡化模型假設后方兩個輪子都沒有偏轉角，并且分析軸心轉動動力學時近似成單軌模型，如圖1所示。

圖1 輪式移動機器人動力學模型示意圖

在x軸方向上有：

在y軸方向上有：

則z軸的方向上的動力學方程為

通過側向力和縱向力列出驅動輪在x軸、y軸方向受到的合力：

移動機器人進行轉向運動時，輪子受到的縱向力和側向摩擦力與輪子的偏轉角α、滑移率s、縱向負載Mg+F、輪子與路面的摩擦系數μ等參數構成如下函數關系：

其一般方法由以下公式給出：

式中，x=s+Sh,S是縱向滑移率，Sh和Sν分別代表曲線水平方向漂移和縱向水平方向漂移。C為曲線外形系數,D為曲線最大值系數,B為剛度系數，E為曲率系數。

由于速度與位置的約束，輪子的偏轉角α可以由三角函數算出：

αr1=tan-1(vcr1/vlr1)

輪子速度為

滑移率s可由經驗公式計算：

驅動輪所受垂向載荷可由下面公式計算：

機器人轉向運動時的動力學模型為：

由上述分析得知，縱向力和側向力的函數關系中，只有驅動輪偏轉角α為未知，在實際的機器人運動控制中，可以測得偏轉角的動態變化，因此可以把偏轉角作為控制變量當作系統的輸入，得系統的動力學方程的空間狀態方程如式(2)所示。

(2)

4 預測控制設計

4.1 動力學方程線性化與離散化

采用泰勒公式法對非線性系統進行線性化。首先要保證系統在該時刻有n階導數，并且在該時刻的開區間上n+1階可導。針對式(2)所示的動力學的空間狀態方程，使用泰勒級數展開，只保留泰勒級數的一階項，則有：

上式可寫成：

u=γ(ηt,ut)+Jγ(η)(η-ηt)+Jγ(u)(u-ut)

式中Jγ(x)為泰勒展開式的近似雅可比矩陣。

誤差線性化得到：

模型預測控制是針對狀態方程采用模型預測控制算法，建立步長，并根據其當前狀態計算下一步的動作，需要狀態方程是離散化的，采用歐拉法對線性方程進行離散處理。

狀態空間表達式如式(3)所示。

(3)

其中：A1=I+TA(t)，B1=TB(t)

4.2 滑模預測控制器

針對如下離散化狀態方程：

定義線性誤差方程：

E=ηk+T-ηk

其中：ηk+T為η的在k+T時刻的參考值。

(4)

利用全局穩定指數趨近律設計滑模切換函數，如式(5)所示。

(5)

為使系統盡可能地達到每一時刻的參考值，有：

min{(ηk+T-ηk)TQ(ηk+T-ηk)+(uk+T-uk)TR(uk+T-uk)}

其中：Q為權重因子。對一般二次型規劃問題有以下形式：

對于時間步長的周期內得到求解后，可以得到控制時域內的控制量和控制變化量如式(6)和式(7)所示。

U=[u(k),u(k+1),u(k+2),…]T

(6)

ΔU=u(k+T)-u(k)

(7)

將u(k)作為實際的輸入用于系統，在下個周期更新，以此類推，完成系統預測跟蹤控制。

4.3 控制器約束條件

在實際的移動機器人動力學運動控制中，其環境通常是復雜的，為適應場合的多樣性，需要對機器人建立約束條件，如式(8)～式(10)所示。

(8)

(9)

(10)

式(8)為速度和角速度約束；式(9)為加速度與角加速度約束；式(10)為位置約束與姿態角約束。

5 仿真實驗與驗證

對四輪式對角雙驅動移動機器人動力學滑模預測控制進行CarSim和Matlab聯合仿真，通過動力學模型建立，控制移動機器人后輪和前輪作為驅動輪，分析移動機器人在固定速度、不同速度、滑模預測控制與預測控制對比、障礙干擾等情況下的移動機器人位置、姿態角、前驅動輪偏轉角的跟蹤情況。

滑模預測流程如圖2所示。移動機器人4個輪子采用四角對稱放置，左右間距為2 m，前輪與后輪到質心距離均為3.5 m，車體及荷載總質量為7 000 kg，仿真路徑為經典雙移線(DLC)軌跡。

圖2 滑模預測控制流程框圖

5.1 固定速度下雙移線路徑跟蹤仿真

選擇移動機器人速度為1 m/s，路徑為雙移線運動軌跡，路徑跟蹤運動時間為15 s，移動機器人的路徑跟蹤過程中的位置、姿態角、驅動輪偏轉角如圖3～圖5所示。

圖3中實線部分為預設路徑，虛線部分為速度是1 m/s時沿預設路徑的跟蹤路徑，機器人路徑基本可以跟蹤預設路徑。圖4為路徑跟蹤時機器人的姿態角變化，能夠吻合雙移線中的姿態角。圖5為機器人運動時轉向驅動輪的偏轉角，其控制移動機器人的轉向，移動機器人姿態角的變化隨機器人轉向輪偏轉角的變化而變化。

圖3 固定速度下移動過程中機器人位置曲線

圖4 固定速度下移動過程中機器人姿態角曲線

圖5 固定速度下移動過程中驅動輪偏轉角曲線

5.2 不同速度下雙移線路徑跟蹤仿真

取移動機器人速度與運動時間條件分別為：1)速度為0.5 m/s、仿真時間25 s；2)速度為0.75 m/s、仿真時間20 s；3)速度為1 m/s、仿真時間15 s。

移動機器人在不同移動速度時的路徑跟蹤過程中的位置、姿態角、右前輪偏轉角如圖6～圖8所示，分別為移動機器人速度為重載移動機器人速度分別為0.5 m/s、1 m/s和0.75 m/s時路徑跟蹤狀態。

圖6 不同速度下移動過程中機器人位置曲線

圖7 不同速度下移動過程中機器人姿態角曲線

圖8 不同速度下移動過程中機器人驅動輪偏轉角曲線

從機器人3種不同速度的響應可以看出，機器人的速度改變對其路徑和姿態角的有一定的影響，機器人速度越大，路徑跟蹤過程越快，在轉角路徑時的偏差就越小，能夠快速地完成轉向。

5.3 固定速度下滑模預測控制與預測控制對比試驗

取移動機器人速度為1 m/s，仿真時間為15 s，預測步長為0.3 s，控制步長為0.075 s，觀察對移動機器人分別在滑模預測控制(SDMPC)和預測控制(MPC)下的軌跡變化、姿態角變化和偏轉角變化，如圖9～圖11所示。

圖9 移動過程中機器人位置曲線Fig.9 Comparison of robot position in moving process

從圖9～圖11可以看出：滑模預測控制(SDMPC)和預測控制(MPC)的對比仿真實驗中，二者路徑和姿態角變化并無明顯差別，但二者的驅動輪偏轉角的對比中，在路徑轉彎處和運行到80 m后，預測控制明顯存在較大的擾動現象，而滑模預測控制下的驅動輪偏轉角更加穩定且無抖震現象，具有更好的跟蹤性能。

圖10 移動過程中機器人姿態角曲線

圖11 移動過程中機器人驅動輪偏轉角變化曲線

5.4 擾動狀態下的路徑跟蹤

取移動機器人速度為1 m/s，仿真時間為15 s，對移動機器人進行路徑存在擾動情況下動力學滑模預測控制器的雙移線軌跡路徑，其運動路徑、驅動輪偏轉角變化如圖12～圖14所示，表明擾動狀態下滑模預測控制器能保持有效性。

圖12顯示：移動機器人在運動過程中設計一處路徑障礙(X軸76 m處)，移動機器人的控制器可以很好并及時地做出避障處理。圖13為存在障礙路徑中的姿態角變化，圖14為路徑跟蹤時控制輸入的轉向驅動輪偏轉角。

圖12 存在擾動時的路徑曲線

圖13 存在擾動時的機器人姿態角曲線

圖14 存在擾動時的驅動輪偏轉角曲線

6 結論

根據重載移動機器人結構，建立重載移動機器人的運動學模型和動力學建模。通過CarSim和Matlab聯合仿真進行運動控制驗證，分別分析了固定速度、不同速度、固定速度下滑模預測控制與預測控制及擾動干擾等情況下的移動機器人路徑跟蹤情況。仿真實驗結果表明，滑模預測控制應用于機器人的路徑控制過程，能較好地進行路徑跟蹤并進行有效避障，驗證了相同路徑下控制器的有效性。本文設計的控制器可以作為設計真實重載移動機器人控制系統的有效參考。