“函數的零點與方程的解”案例分析

官志海

在研究本課內容時，我一直在思考，高中數學為什么要在2007年課改時，新增加這一內容呢？為什么2020年新教材中又把本部分內容放在了必修一第四章第五節《函數應用（二）》的學習內容里面，并改課題為“函數的零點與方程的解”？函數在生產生活中的應用是學習函數主要的目的之一，而本節課的學習重點則放在了函數在解方程方面的應用，使函數的學習從實際應用再到學科內部的應用，把函數的應用價值體現的完整且充分。

函數是中學數學里最核心的概念，它與其他知識有著密切的聯系。函數的零點正是一個關鍵的連接點，它作為紐帶將形與數，函數與方程聯系了起來。在本節課之前，學生已經學習了函數的基礎知識，具備了基本的數形結合的能力。本節課則是利用函數的圖象和性質來判斷方程的解是否存在及若存在有幾個的問題，為下節課“用二分法求方程的近似解”和后續內容的學習如算法和根的分布等問題奠定了基礎。

下面是本節課教學過程設計。

師：我國古代數學家已經解決了一部分方程的求解問題，如《九章算術》中就給出了求解一次、二次方程根的方法，這要比西方早三百多年。11世紀，賈憲總結出了三次及三次以上的方程的求解方法。13世紀，秦九韶又總結出了求任意次方程的正根的解法，這些都領先于其他國家。

同學們，以上數學史可以看出我國的數學家在求解方程問題上為世界做出了杰出的貢獻。在人類用智慧搭建的無數座從未知通向已知的橋梁中，方程的求解問題是其中璀璨的一座。雖然今天我們已經學習了各式各樣方程的解法，但這一切卻經歷了漫長的歲月。

問題1：? 判斷下列方程根的個數，并求根。

（1） 4x-3=0 （2） 2x2+5x-3=0

問題2 ： 請畫出下列函數的圖像，并探索所畫的圖像與問題1中方程的根有什么聯系？

（1） y=4x-3 （2） y=2x2+5x-3

【設計意圖】通過問題1及問題2讓學生觀察并總結方程的根就是函數與x軸的交點的橫坐標，從而得出方程的根、函數圖像與x軸交點之間的聯系，為學生進一步理解零點做好鋪墊，同時滲透事物之間聯系的哲學觀點。

問題3：? 對于方程f（x）=0與函數y=f（x）是否也有相似的結論呢？

設計意圖：在建構零點概念的這個教學環節中，我用數學文化引入方程的問題，課后鼓勵學生收集、閱讀方程的歷史資料，撰寫報告。本環節通過問題1、2的討論，引導學生用函數的觀點認識方程，讓學生理解零點是連接函數與方程的結點。嘗試用數學眼光觀察世界的同時，感悟函數是用運動變化的觀點來分析和研究數學中的數量關系，而方程則是動中取靜，研究運動中的等量關系，體現數學中的哲學思想進而發展學生數學抽象及直觀想象的數學核心素養。

歸納總結：

函數的零點定義：

對于函數y=f（x），我們把使f（x）=0的實數x叫做函數y=f（x）的零點.

練習：求下面函數的零點.

1. f（x）=ln（x-2）

2. f（x）=4x-2x-2

3. f（x）=lnx+x-1

歸納總結：

函數y=f（x）的零點就是方程f（x）=0的根，也就是函數y=f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標。

所以：方程f（x）=0有實數根？圳函數y=f（x）的圖象與x軸有交點？圳函數y=f（x）有零點。

設計意圖：此環節的設置目的其一：通過求解方程來求零點：其二：對于練習3雖然無法求解但可以借助函數圖像及性質猜出零點，為后面難點問題的突破做好鋪墊;其三：學生經常將零點寫成坐標的形式，教師及時糾正，讓學生加深對零點定義的理解。

師：以上三個問題中的零點，可以通過直接解方程輕松得到答案，那么對于不能用公式法求根的方程，我們又該如何處理呢？

問題4： 請思考 f（x）=lnx+2x-6是否有零點？如果有，有幾個？

【設計意圖】我們知道教科書是利用二次函數來開展研究的，但是二次函數的探究只能發現定理，對于“函數在區間上有零點但端點函數值不一定異號”這一難點問題卻很難突破。于是我改為讓學生小組合作研究問題4，學生在探究過程中，出現了如下的解決思路：（1）把函數 f（x）=lnx+2x-6零點轉化為兩個函數y=lnx和y=6-2x的圖像交點。（2）利用描點法畫函數 f（x）=lnx+2x-6的圖像再結合單調性來求解零點個數。幫助學生提升轉化與劃歸及數形結合的能力.

問題5：函數y=f（x）需要滿足什么條件，y=f（x）在區間 （a ，b）上一定有零點？

定理：

如果函數y=f（x）在區間[a ，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數y=f（x）在區間（a ，b）內有零點，即存在c∈（a ，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根。

【設計意圖】定理探究是本節課最艱難的環節。我設計的初衷是這樣的，給出一個不容易求解的方程，探究零點是否存在以及如果有，有幾個的問題。學生在通過畫圖的過程發現端點函數值正負的變化以后，引導學生質疑評價，端點函數值異號是否是存在零點的充分條件，學生各抒己見最后達成共識。在探究的過程中也鍛煉了學生邏輯推理及數學抽象的核心素養。可以說在高中數學中，以“存在”為結論的定理屈指可數，學生對這個定理的理解自然就感覺深奧莫測。于是在定理得出之后呢，我又設置了一個自由發問的時間，學生討論熱烈。

問題6：你對定理的理解還有什么問題？

以下是學生課堂生成的問題：

1.定義在區間[a，b]上的連續函數y=f（x）在區間（a，b）上有零點，則一定有f（a）·f（b）<0嗎？

2.定義在區間[a，b]上的連續函數y=f（x）滿足f（a）·f（b）<0，則函數y=f（x）在區間（a，b）上零點個數可能是幾？是否一定是奇數？什么條件下才能確定零點唯一？

設計意圖：對于定理的理解，學生提出了以上問題。在學生提問，生生互問及教師的追問過程中，學生的思維非常活躍，隨機生成的問題讓課堂變得豐滿和靈動起來。通過師生共同探究對定理有了更加深刻地理解：一方面定理具有一般性，及定理不可逆性，另一方面，教師引導學生感悟之所以從函數的角度求解方程，是因為函數的圖象與性質為方程的求解推開了一扇窗，讓學生體會用數學思維思考現實世界。在定理探究的討論中提升學生數學抽象和邏輯推理的能力。

傳統理論課的教學，一般的處理就是把知識講清楚，讓學生理解。經過幾年的實踐，我在理論課的教學中有了一些嘗試。在知識層面上，將已有知識和新知識建立關聯，通過問題驅動，學生活動，探討知識的生成過程，深入本質、發現規律;在能力層面上達到解決問題、形成規律;在發展學科思維上，達到舉一反三、遷移到同類或他類學習。從知識層面提升到能力，再到思維層面。

即便是教科書上的內容，學生也會提出“為什么”，即便老師告訴學生這就是定理，學生也會提出“條件有所改變為什么不可以”等類似于這樣的問題。當這一切內化為學生自發行為的時候，也就超越了課堂教學本身。

■ 編輯/魏繼軍