認知邏輯：小學數學教學之“道”

丁陸益

小學數學課堂教學是豐富的，但其概括起來有三個方面的重要內容：其一是善于選材;其二是善于立序;其三是把控節奏。即因“材”施教、循“序”漸進、不越權而施。選材最重要的是適合性，立序最重要的是契合性，節奏最重要的是相宜性。而這三方面的內容其本質就在于無論是選材、立序還是把控節奏，都必須符合學生的認知邏輯。可以這樣說，認知邏輯是小學數學教學之“道”。

一、選材，契合認知基礎性邏輯

在小學數學中，“材”是寬泛的，教材是材，多媒體是材，教師是材，學生也是材，等等。那么，這么多的材，是不是隨便選用的，答案顯然是否定的。那么，相應的問題也就來了：我們依據什么選材？筆者認為，選材應當依據學生的認知邏輯，體現學生的認知邏輯，發展學生的認知邏輯，這里的認知邏輯應當是學生的基礎性邏輯。也就是說，選材要契合學生的年齡特點、認知特質、認知傾向等。

比如教學《圓的認識》（蘇教版五年級下冊）這部分內容，很多教師都會呈現學生生活中的圓形物體，然后引導學生畫圓、剪圓、操作圓，這樣的選材固然也能讓學生認識圓，但卻不能讓學生深刻理解圓。比如有學生在學習中“較真”，在圓中畫直徑、半徑，只能畫很多條，但卻不能畫無數條;比如有學生在測量時盡管發現圓中所有半徑、直徑都相等，但卻不能建構圓的半徑和直徑關系，等等。究其根本，就在于學生對圓的半徑、直徑的認知停留在感性、直觀的層面，沒有上升到抽象的、理性的層面，而這與教師不善于選材是分不開的。筆者在教學中，濃墨重彩地用“軌跡圓”——“小明家距離學校500米，圖上1厘米表示100米，學校可能在哪里？”引導學生認知，從而幫助學生建立“圓是點的集合”的觀念，自然地助推學生理解半徑、直徑等相關概念，引導學生建構圓的半徑和直徑之間的關系。這樣的選材，是契合小學高年級學生理性思維訴求的。

選材要符合學生的認知基礎性邏輯。在數學教學中，學生千差萬別，但數學知識的邏輯、學生的基本認知方式、特質等卻往往是固定的。在豐富的、多元化的素材中，精心選擇最契合學生認知的素材，是數學教學的應有之義，也是數學教學的應然之舉。選材不僅僅要立足于根本，更要著眼于學生的長遠發展。

二、立序，契合認知的層次性邏輯

選材為教師的優質、高效教學提供了可能。除此而外，教師還必須注重這些精心選擇的素材的呈現，即注重立序。立序要契合學生認知的層次性邏輯。學生的數學學習，總是遵循著從感性到理性、從直觀到抽象的過程。如果我們打亂了學生的認知順序，教學就會雜亂，就會走向無效甚至負效。在立序過程中，教師應當始終以學生認知為中心，逐步引導學生拾級而上，引導學生逐層深入。

比如《圓的周長》（蘇教版五年級下冊）這部分內容，教材中的編排方式是先邏輯推理，再展開直觀、具體的操作。筆者在教學中，遵循學生的一般認知順序，調整教材編排，設計、研發了這樣的“教學序列”：先引導學生用“滾圓法”和“繞圓法”測量圓的周長，探究圓的周長和直徑之間的關系，助推學生初步建立感性、直觀的認知，即圓的周長總是直徑的三倍多一些;再引導學生進行邏輯推理，通過畫圓內接正六邊形和圓外切正方形，從兩端逼近，確定“圓的周長與圓的直徑的倍數在3倍和4倍之間”，引導學生理性認識圓的周長和直徑之間的倍數關系。在此基礎上，介紹祖沖之的“割圓術”，引導學生感受、體驗極限思想，認識到圓的周長和直徑的商是一個無限不循環小數，即無理數。通過這樣三個層次的有序設計，充分體現“先學后教”的思想理念，充分發揮學生的數學學習主體性作用和教師的主導性作用。通過這樣的立序，學生的數學學習由此及彼、由表及里。

在數學教學中，教師不僅要關注學生的認知之序，更要關注學生的探究之序。在上述教學中，先讓學生展開實踐測量，有助于激發學生思維，引發學生的問題意識，幫助學生積累數學基本活動經驗。在此基礎上，引導學生展開相對理性化探索，不僅能讓學生的直觀認知走向理性，更能讓理性推理反哺學生的直觀操作。

三、節奏，契合認知的科學性邏輯

學生的數學學習是有節奏的學習。作為教師，應當用反復、對應等形式將學生數學學習過程中的諸種變化因素加以組織，舒緩相宜、節奏相宜、快慢相宜，從而讓學生的數學學習構建成一個前后連貫的有序整體。節奏要契合學生認知的科學性邏輯。只有動靜、節奏相宜，學生的數學學習才會如同呼吸一般自然。

節奏相宜的課堂是豐富的課堂，也是靈動的課堂。從認知心理學上看，節奏是契合學生的認知心理、認知節律的。如果教師的數學教學拔苗助長，那么就會陷入“欲速則不達”的尷尬困境。比如教學《圓的面積》（蘇教版五年級下冊）這部分內容時，許多教師往往快速地引導學生推導圓的面積公式，單一地將圓轉化成近似的長方形，結果導致學生的數學學習蜻蜓點水、浮光掠影。由于學生沒有充分地經歷圓的面積推導過程，因而對圓的面積公式感受、體驗不深。筆者在教學中，首先從圓的內接正方形和外切正方形入手，引導學生得出圓的面積是半徑的平方的三倍多一些。在此基礎上，放手讓學生探究，引導學生將圓轉化成近似的三角形、梯形、平行四邊形、長方形等，并進行積極的比較。在此基礎上，引導學生進行交流，從而讓學生感受、體驗得越多。這個過程不是急促的，而是舒緩的;不是快餐式的，而是感受式、體驗式的。

數學知識的邏輯結構以及學生的認知方式是相對固定的。因此，選材、立序、節奏化教學就要以學生認知規律、認知邏輯為依據，“認知邏輯”是小學數學教學實踐之道。備學有軸、實踐有向。作為教師，要把握數學知識結構，把握學生認知心理，從而能深度研讀教學、實施教學，充分彰顯數學學科的育人價值。