函數與方程思想在解題中的運用

李鵬澤

函數與方程的思想是中學數學的重要思想，也是近幾年高考的重要考點，占全卷比例大約為l0%左右，常用函數和方程的思想去處理不等式、數列、解析幾何和立體幾何中的問題，使問題得到轉化，從而復雜問題簡單化。

近幾年函數與方程的思想在高考試題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助有關初等函數的性質，解有關求值、解（證明）不等式、解方程以及討論參數的取值等問題;二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易、化繁為簡的目的。

一、函數與方程的概念

函數與方程是兩個有著密切聯系的數學概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函數的知識和方法去解決，很多函數的問題也需要方程的知識和方法的支援，函數與方程之間的辯證關系，形成了函數方程思想。因此，函數與方程思想就是用函數、方程的觀點和方法來處理變量或未知數之間的關系，從而解決問題的一種思維方式，是一種很重要的數學思想.

（1）函數的思想，就是用運動和變化的觀點，集合與對應的思想，去分析和研究數學問題中的數量關系，通過建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像或性質去分析問題、轉化問題，使問題獲得解決的思想，它是對函數概念的本質認識。函數思想的實質是用運動變化的觀點、相互聯系、相互制約的觀點去認識和處理有關問題，它既是一種認識問題時在觀念上的指導，又是一種處理問題時在策略上的選擇。這種思想方法重在對具體問題的變量的動態研究，從變量的運動變化、聯系和發展的角度拓寬解題思路.

應用函數思想解題，確立變量之間的函數關系式是一關鍵步驟，大體可分為下面兩種情況：（1）根據題意建立變量之間的函數關系式，把問題轉化為相應的函數問題;（2）根據需要構造函數，利用函數的相關知識解決問題。

（2）與函數思想相聯系的就是方程的思想，是在解決問題時，用事先設定的未知數溝通問題中所涉及的各量間的制約關系，列出方程（組），從而求出未知數及各量的值，使問題獲得解決，所設的未知數，溝通了變量之間的聯系，它是對方程概念的本質認識。方程可以看作未知量與已知量相互制約的條件，它架設了由已知探索未知的橋梁，事實上，方程的解就是函數的圖象與x軸的交點的橫坐標，函數也可以看作二元方程，通過方程進行研究。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系.用方程的思想方法解題，就是要用對立統一的觀點，分析和研究具體問題中的數量及其關系，把對立的已知與未知通過相等關系統一在方程中（或構造出一個方程），用求解方程或對方程性質的研究使問題得以解決。

二、函數與方程思想在解題中的應用

（1）函數與不等式的相互轉化，對函數當y>O時，就化為不等式，借助于函數的圖象和性質可解決有關問題，而研究函數的性質也離不開不等式。

（2）數列的通項與前n項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點去處理數列問題十分重要。

（3）解析幾何中的許多問題，例如直線與二次曲線的位置關系問題，需要通過解二元方程組才能解決.這都涉及二次方程二次函數的有關理論.

（4）立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用列方程或建立函數表達 式的方法加以解決。

在近幾年高考中，函數思想主要用于求變量的取值范圍、解不等式等，方程觀點的應用可分為逐漸提高的四個層次：①解方程;②含參數的方程的討論;③轉化為對方程的研究，如曲線的位置關系、函數的性質、集合的關系;④構造方程求解。

縱觀中學數學，可謂是以函數為中心，以函數為綱，就帶動起了中學數學的“目”。熟練掌握基本初等函數的圖象和性質，是應用函數與方程思想解題的基礎.善于根據題意構造、抽象出函數關系式是用函數思想解題的關鍵。

三、學習函數與方程思想應注意問題

函數與方程的思想方法，幾乎滲透到中學數學的各個領域，在解題中有著廣泛的應用。運用函數和方程思想，關鍵是如何產生和形成這兩種思想，因此同學們在第二輪復習中必須有意識地培養和形成這種思想，因而在復習中應切實做好如下幾點：

（1）深刻理解一般函數的圖像和性質，熟練的掌握一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特征，是應用函數思想的基礎，而善于觀察問題的結構特征，挖掘隱含特性，從而恰當構造函數和妙用函數性質及圖像，是實施應用函數思想解題的關鍵。

（2）在解答非函數問題時，要注意對問題中各元素仔細地觀察和分析，產生由此及彼的聯想，構造出相關的函數模型，從而使問題獲得巧妙地解決。

（3）根據題目條件列出方程（或構造方程），通過對方程的研究，從而使問題順利地獲得解決。

（4）利用方程解決有關函數的問題.

在許多數學問題中，一般都含有常量、變量或參變量，這些參變量中必有一個處于突出的、主導的地位，我們稱之為主元，于是就可構造出關于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困擾，解方程的實質就是分離參變量。