基于有限元法和一次二階矩法的橋梁結構可靠度研究

王虎軍 賀小衛 高宇 扈軒誠

西安市政設計研究院有限公司 710068

引言

以概率論和數理統計為基礎的可靠度計算方法，如中心點法、驗算點法、JC 法、MC 法、響應面法等可為橋梁結構的可靠性評估提供便利。但由于實際橋梁結構體系復雜，基于抗力—荷載效應的結構功能函數可能高度非線性，甚至不能顯式表達。這就使得以功能函數的解析表達式為基礎的中心點法、驗算點法、JC法和MC法計算結構可靠度變得困難，甚至無法進行下去。響應面法雖然能夠用一個簡單的函數擬合隱含、復雜的真實功能函數，但當隨機變量較多時，目前采用的多項式形式的響應面函數的系數計算工作量大且擬合誤差大而變得不適用。

本文結合確定性有限元法和可靠度計算中改進的一次二階矩法，在不必求得結構功能函數明確表達式的情況下，進行結構可靠指標的分析計算，通過MATLAB編程，計算了一鋼管混凝土拱橋縱梁跨中截面正常使用極限狀態下的可靠度指標，并對各隨機變量靈敏度進行分析，為結構設計中提高可靠度給出了方向。

1 改進的一次二階矩法

改進的一次二階矩法是將功能函數的線性化展開點選在失效的邊界Z＝0 上，而且選在結構最大可能失效概率的點上，故又稱設計驗算點法。其計算原理在文獻［11］中有詳細論述，在此不再累述。設結構的功能函數為Z＝Z（X1，X2，X3，…Xn），其中Xi（i＝1，2，3…n）為隨機變量，如結構幾何尺寸、材料物理參數及外荷載等，且各隨機變量間相互獨立，則改進的一次二階矩法的迭代計算步驟如下：

2 有限元法與改進的一次二階矩法的結合

基于抗力—荷載效應的結構功能函數中，荷載效應通常為幾何尺寸、荷載、彈性模量、泊松比等隨機變量的隱式函數，即S＝S（X1，X2，X3，…Xn），其中Xi（i＝1，2，3…n）為各隨機變量。而抗力R則通常為規定的一限值或具有明確表達式，則結構的功能函數可表示為Z＝R－S。設各隨機變量的分布類型已知，則可根據改進的一次二階矩法迭代求解可靠指標和驗算點，由于功能函數中荷載效應不能顯式表達，導致無法直接計算功能函數在驗算點處的偏導數，本文利用有限元法的數值模擬功能及數值分析中的向前差分法［2］很好地解決了偏導數的求解問題，即：

3 工程實例

3.1 工程概況及有限元建模

某中承式鋼管混凝土拱橋，計算跨徑為260m，計算矢跨比1／4，拱軸線為懸鏈線，拱軸系數m＝1.5。拱肋為四肢鋼管混凝土桁架結構，上下弦桿為平放的啞鈴型斷面。拱肋由外徑950mm的Q345Dq螺旋焊管及其內填充的C50 混凝土組成，截面總高5.35m，總寬2.75m；吊桿采用OVM.GJ15-15 拉索，橫向雙吊桿體系，縱向間距10m，橫向間距0.4m ＋18.5m ＋0.4m；橫梁全橋共設置29 道（19 道吊桿橫梁＋2 道拱上橫梁＋8 道立柱橫梁），吊桿橫梁為等高度預制“Ⅰ”字型梁，高1.8m；橋面系采用吊桿橫梁上設置縱向“T”型行車道梁，預制施工，梁高0.7m，腹板寬0.2m，翼緣寬1m，縱向長10m；橋面鋪裝采用10cm 厚聚酯纖維瀝青混凝土，設置1.5%的雙向橫坡和3%的雙向縱坡。

采用大型通用有限元分析軟件Midas Civil建立全橋模型。鋼管混凝土拱肋、拱上橫撐、橫梁、拱上立柱、行車道板均為梁單元；吊桿采用桁架單元；拱腳位置處用一般支撐中約束所有自由度模擬。全橋共離散為4654個節點和5460個單元。實橋有限元模型見圖2。

圖2 實橋有限元模型Fig.2 Finite element model of real bridge

3.2 結構可靠度分析

采用規范規定的撓度限值作為鋼管混凝土拱橋正常使用極限狀態下的失效準則，以鋼管混凝土拱橋縱梁跨中撓度超過限值uL為主要失效模式，根據《公路鋼管混凝土拱橋設計規范》（JTG／T D65—2015）計算得uL＝0.325m，建立結構正常使用極限狀態功能函數Z為：

式中：A1為拱肋截面面積；A2為吊桿截面面積；A3為橫梁截面面積；A4為縱梁截面面積；E1為Q345Dq 鋼彈性模量；E2為C50 混凝土彈性模量；E3為拉索鋼絞線彈性模量；I1為拱肋截面慣性矩；I2為橫梁截面慣性矩；I3為縱梁截面慣性矩；F為活載。

各參數的分布類型、均值、變異系數主要參照實橋檢測結果，并結合《公路工程結構可靠度設計統一標準》及相關文獻確定，見表1。

表1 各隨機變量的統計參數Tab.1 Statistical parameters of random variables

按圖1 迭代步驟進行迭代計算，共迭代16次滿足規定的誤差要求，有限元計算171 次。部分迭代結果見表2。

圖1 有限元與改進的一次二階矩法結合解算流程Fig.1 Flow chart of the combination of finite element and improved first order second moment method

表2 迭代計算過程Tab.2 Iterative calculation process

鋼管混凝土拱橋在設計過程中，材料性能和幾何參數等不確定性因素勢必對結構可靠性產生 影響，為了準確掌握各隨機變量對結構可靠度指標的影響程度，對鋼管混凝土拱橋各隨機變量進行靈敏性分析，給出了各隨機變量重要性程度的比較值，如表3 所示。

表3 各隨機變量的靈敏度系數Tab.3 Sensitivity coefficient of each random variable

為了更直觀地分析各隨機變量對結構可靠指標的影響程度，將各隨機變量的靈敏度值的絕對值進行比較，如圖3 所示。

圖3 各隨機變量靈敏度絕對值比較Fig.3 Comparison of sensitivity absolute value of each random variable

由表3 及圖3 可見，拱肋面積A1的靈敏度最大為0.925，對結構可靠指標的影響最大，縱梁截面面積A4的靈敏度絕對值最小為0.014，對可靠指標影響較小，實際計算時可不考慮其影響。

4 結語

本文以實橋工程為依托，采用有限元法和改進的一次二階矩法相結合的方法對其可靠度進行研究，驗證了該方法的可行性，并通過各隨機變量對結構可靠指標的靈敏度分析，得到各隨機變量對結構可靠性的影響程度，為結構的優化設計提供方向。