“將軍飲馬”問題的物理解法

彭興強

摘要：初中物理光學作圖根據成像原理尋找入射點的作圖非常有趣，特別是其作圖步驟和數學“將軍飲馬”問題極其相似，可見數學和物理的緊密聯系。有不少物理問題采用構建數學模型進行解決，本文將數學問題采用構建物理模型進行解決，增強了此問題的趣味性。

關鍵字：將軍飲馬;物理模型;最短問題

唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題。

如圖 1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，走到河邊飲馬后再到B點宿營，請問怎樣走才能使總的路程最短？

解題原理這里不再敘述。解題方案是作出A點關于小河l的對稱點A′，然后連接A′B，交l于點P。那么AP+BP為最短。

這個作圖法和八年級物理中的一道光路作圖極其相似，如圖 2所示。從A點發出的光經平面鏡反射后到達B點，根據成像原理找到入射點P和對應的入射光線和反射光線。

做完這兩道題后，同學們為物理和數學的關聯性無比驚嘆，又為它們的區別更為神往。

這里還有一道題更為神秘。

如圖 3，AB可以在平行線mn間平移，P為一定點。當AB平移到什么位置時可以使AP+BP最短？

將此題變成物理問題的做法如下：將mn構造成帶有滑槽的平行導軌，AB為兩端帶有滾輪的金屬棒，P點為一帶有滑輪的固定點。一根長度適宜的橡皮筋的兩端分別固定在A點和B點，橡皮筋跨過P點的滑輪并且能夠一直處于伸長狀態，如圖 4所示。將AB在滑槽上滑動后松手，那么AB停下后位于什么位置？

這里的夾角相等與“將軍飲馬”問題又有什么關聯呢？且看數學求解過程。

在數學問題中，如圖 5所示，過P點作n的平行線l。那么AB在mn間的平移等效于P在l上的平移。所以此問題就轉化為剛開始描述的“將軍飲馬”問題。解法是作出A點關于l的對稱點A′，連接A′B，與l相交于P′點，此時AP′+BP′最小。很容易證明AP′和BP′與l的夾角相等。

所以物理方法和數學方法得出的結果是一致的。

將數學問題轉化成物理模型，不僅可以增強問題的趣味性，還可以將物理和數學聯系得更加緊密，讓人體會物理所含的數學原理和數學的物理意義。

參考文獻：

[1]林群.數學 八年級上冊[M].北京：人民教育出版社，2013：85.

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