淺析畢奧-薩伐爾定律應用中積分變元的選取

朱中華 張玉青 彭朝暉 柴一峰 豐元

關鍵詞：畢奧-薩伐爾定律;大學物理;積分變元;磁感應強度

一、緒論

畢奧.薩伐爾定律是電磁學中的重要物理規律。該定律在磁場中的地位與庫侖定律在靜電場中的地位相當。在大學物理課程的學習中，該部分內容是磁場部分需要重點理解和掌握的，這對于求解載流導線的磁感應強度以及對安培定律的理解有很重要的作用。然而，許多學生對于畢奧一薩伐爾定律的理解程度遠不及庫侖定律，在應用該定律求解磁感應強度時遇到了很多困難，特別是在求解載流長直導線的磁感應強度問題中變元的選取問題，令很多學生感到困難。

本文以長直載流導線為例，探討采用不同的角度積分變元時對應用畢奧一薩伐爾定律求解問題的影響。雖然采用不同角度積分變元都能得到一致的計算結果，但我們發現選取場點與電流元所構成的角度變元最為方便，一方面，角度大小容易確定，另一方面還可以避免角度正負的判斷。可見，在畢奧一薩伐爾定律的應用中積分變元的選取非常關鍵，這對于簡化復雜的計算過程極為重要。

二、畢奧-薩伐爾定律的應用中不同積分變元的選取

根據畢奧一薩伐爾定律，任意載流導線在P處的磁感應強度B可表示為：

下面，我們來討論不同角度積分變元對應用和理解畢奧-薩伐爾定律的影響。

（一）以電流元和電流元到場點矢徑夾角O為積分變元

在上式中，r、l和0均為變量，顯然，選擇角度變元時積分最為簡單，下面，我們探討兩種不同的角度積分變元來討論對計算的影響，從而說明選擇恰當的積分變元對求解過程的重要性。

（二）以x軸與矢徑的夾角B為積分變元

連接場點P與載流導線的端點A、B，設與x軸構成的角分別為β1。、β2：，如圖2所示。根據畢奧-薩伐爾定律，此電流元在P點產生的磁感應強度dB的大小用β角度表示為：

上面分別以兩種不同的角度積分變元計算了載流直導線周圍任意一點的磁感應強度，雖然最終形式上有細微差別，但得到的結果是一致的。顯然，采用這兩種不同角度積分變元下的積分過程都很簡單。但是，角度B的理解遠不如0角度容易，這是由于（8）式的結果不僅依賴于角度的大小而且還與角度的正負有關，而以0角度作為積分變元，則不存在這樣的問題，因為余弦函數值與角度的正負無關，角度的正負對結果無影響。除此之外，e角度的確定也比β角度的確定容易，只需要連接場點和電流兩端點既可以找到積分上下限01、02：。而β角度的定義為以場點到載流導線的垂線與場點和兩端點的連線所構成的夾角。下面，我們來了解下β角度正負的定義，以場點到載流導線垂線為起始線，角度增加的方向與電流方向相同，則為正，反之為負。下圖3給出了三種常見載流導線β角度的定義。

（三）討論

下面通過一個具體的例子來說明0角度比β角度作為積分變元更優越，如圖4所示，分別給出了0角和β角的具體值。

從以上簡單的討論不難看出，雖然選擇不同的角度積分變元都可以得到相同的結果，但對比發現，采用電流元與矢徑構成的夾角作為積分變元最簡便，積分上下限更容易確定，也有效避免了角度正負值的判斷問題，從而簡化了求解問題，也更好地幫助我們理解畢奧-薩伐爾定律。

三、結語

本文探討了以不同的角度積分變元對畢奧-薩伐爾定律求解問題的影響，在應用畢奧一薩伐爾定律求解載流導線的磁感應強度問題中，選取恰當的積分變元非常關鍵。我們研究了兩種不同角度變元下求解的差異，發現以電流與載流導線兩端點和場點連線的夾角作為積分變元最方便，可以避免判斷角度正負值的問題，而且角度積分的上下限值也很容易確定。在大學物理教學過程中，讓學生全面而又深入理解該定律的物理意義，同時又期望教給學生一種既簡單而又不失一般性的方法，提供了一種解決此類問題的思路。