離心率的物理意義及其應用

陸棟梁

(上海交通大學附屬中學，上海 200439)

物理學中利用極坐標可描述天體運動的軌道，為某些問題的解決帶來了便利。在極坐標中描述圓錐曲線要用到離心率的概念，在數學中離心率已有完善的定義，筆者試圖尋找離心率的物理意義及其可能的應用。

1 數學中的離心率

圖1

由解析幾何知識可知，與橢圓同為圓錐曲線的拋物線和雙曲線，其極坐標方程具有上述相同的形式，區別是拋物線的離心率e=1，而雙曲線的離心率e>1。

2 霍曼轉移

霍曼轉移是一種將航天器從低圓軌道送往高圓軌道的方法。如圖2所示，航天器在低圓軌道上沿原方向瞬間加速后，進入一個橢圓形的轉移軌道(稱為霍曼軌道)，抵達遠拱點后再瞬間加速，進入高圓軌道，此即為目標軌道。這種轉移方式消耗的能量最少，但耗時較長。

圖2

3 離心率的物理意義

當航天器沿原有速度方向瞬時加速進入霍曼軌道時，會出現以下結果：

(1)若0<ΔEk

(2)若ΔEk=Ek0時，E=0，軌道為拋物線，此時e=1；

(3)當ΔEk>Ek0時，E>0，軌道為雙曲線，此時e>1。

4 應用

另外，在霍曼轉移問題中，若已知兩個圓的軌道半徑，通過離心率-能量關系式，可以計算航天器變軌所需的速度變化量，以下用例題予以說明。

圖3

例：一質量為m的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上運動,其高度h=100km。為使飛船降落到月球表面,噴氣發動機在P點作一次短時間發動。月球半徑為R=1700km,月球表面的重力加速度g=1.7m/s2。如圖3所示，若發動機向前噴射,使飛船到達月球背面的Q點，并相切，Q點與P點相對，求發動機噴射后的飛船速度大小。