飛行器翼面協同優化中的氣動代理模型研究

席 睿，李 冰，賈宏光

（1.華北水利水電大學 機械學院，河南 鄭州 450011；2.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所， 吉林 長春 130033；3.長光衛星技術有限公司，吉林 長春 130033）

引言

在飛行器設計中，其尾翼的設計的水平對其性能有重要影響。對此類翼面結構的設計涉及氣動、結構、氣動彈性多個領域，傳統設計只在單一的氣動或結構學科內獨立優化而忽略氣動彈性作用對性能參數的影響，或只考慮簡單的靜氣動彈性影響而不考慮其動態氣動彈性現象的作用。忽略這些彈性變形會影響翼面優化設計結果的準確性，使設計的翼面在實際飛行中很難達到預期的性能。因此，需要對其進行多個學科的分析以研究其協同效應并借助先進的優化策略和有效算法才能實現綜合性能的最優化。近年來在飛行器的研發模式中，多學科優化算法（Multidisciplinary Design Optimiza- tion, MDO）和快速迭代成為主要研究方向[1]。

目前，國內外研究人員在航天領域的產品設計中，就多學科優化理論的應用進行了廣泛的研究，多學科設計優化（MDO）的研究起源于20世紀70年代，在20世紀80年代發展為一個單獨的研究領域。

到了20世紀90年代，MDO的研究已在世界范圍獲得了關注，不僅在理論研究上取得更多進展，更是在工程上得到了實際應用。比較典型的案例如Rockdyne公司的計劃用于X-33的塞式噴管發動機的設計，該設計以總升重比為目標函數，采用耦合計算流體力學的模型、結構有限元模型、計算熱力學模型等多學科的MDO模型，其結果不僅提高了設計質量，還大大減少了設計時間。另一個計劃是高速民用飛機（HSCT）的設計，該研究利用分布式網絡和并行設計方法縮短了設計周期、獲得了更佳方案。國內對這方面的研究是20世紀90年代中期開始的，通過向國外學習也取得了一些進展，如文獻[2-4]研究了多學科設計算法在飛行器設計中的應用。文獻[5]提出了混合多目標粒子群算法在飛行器氣動布局設計中的應用。文獻[6]對航天器性能樣機提出了一種氣動一體化多目標優化方法。

飛行器的氣動計算對整體方案設計影響較大，在傳統設計中，多采用基于有勢能、小擾動的工程算法，適用范圍小且需要后期修正，難以引入多學科優化框架?，F今對氣動特性計算主要依靠計算流體力學（CFD）仿真計算和風洞實驗，這種高精度計算量很大，無法滿足設計中快速分析的需求。

目前在飛行器設計領域中針對多學科優化和氣動外形優化的問題多采用利用代理模型技術利用實驗設計法（DOE）獲得樣本并選擇近似方法來擬合氣動特性對外形參數的響應，以達到避免復雜數值計算、縮短設計周期的目的。近年來代理模型在航空、汽車、船舶的設計和優化中都得到了廣泛的應用。

本文按照圖1的設計流程針對飛行器翼面的外形，對氣動特性參數進行多種類型代理模型構建，探索不同近似方法的精度和計算成本差別，選取最合適的近似算法參與翼面的氣動－結構協同優化。

圖1 代理模型構建流程圖

1 設計空間

飛行器的飛行環境需要跨聲速飛行，應采用大后掠翼，同時設計狀態屬于超聲速，應采用小展弦比的薄彈翼，六角翼型，其結構如圖2所示，其幾何參數含義見表1。

圖2 飛行器翼面幾何參數示意圖

表1 翼面幾何參數

翼面的建模幾何參數只適合對翼面進行三維建模，對于描述一個固定的翼面形狀，往往需要將其換算為一系列無量綱參數即優化所涉及的設計變量X={λ, χ,b1,b2,c’root, k}，其中λ代表展弦比、χ代表前緣后掠角、b1代表翼前緣特征、b2代表后緣特征、c’root代表翼根相對厚度和k代表翼梢收縮比。

參考飛行器設計工程經驗[7]確定了設計變量的取值范圍，如表2所示。

表2 翼面設計變量區間

2 試驗設計

試驗設計技術（Design of Experiment, DOE）是多學科設計優化中代理模型的取樣策略。試驗設計中，系統的輸入變量被稱為因素（Factor），其在樣本點處的值被稱為水平（Level），樣本點對應對的輸出值被稱為響應（Responce）。

2.1 全析因設計

全析因設計（Full factorial）是指在一次完全試驗中，系統的所有因素的所有水平可能的組合都要被研究到的一種試驗設計方法[8]。

假設系統輸入變量也即因素的個數為nv，每個因素對應的水平數為ni（i =1,…,n），則對系統進行全析因試驗所需的試驗次數為：

全析因試驗能夠分析因素對系統影響的大小和分析因素間的交互作用，但當系統的因素和水平比較多時，根據上式計算所得的試驗次數，即樣本點個數會將會是一個很大的數字，所以除了低維低水平的問題，全析因試驗很不適用。

2.2 中心復合設計

中心復合設計（Central Composite Design, CCD）[9]是一種針對二次多項式響應面模型進行分批實驗的一種試驗設計方法。該方法先挑出每個因素最大和最小的兩個水平值利用正交表Ln（2nv）安排n次試驗，試驗結束后在中心點做n0次重復試驗，最后在每個因素的坐標軸上，取臂長為α的兩個對稱點作為樣本點，臂長的確定按下式：

若因素的個數為nv，三次試驗總樣本點數N=n+n0+2nv，N個點分布在以中心點為球心的兩個同心球上。

2.3 拉丁方設計

拉丁方（Latin Hypercube）[10]，它是一種分層抽樣法，將每個因素的設計空間均勻分成n份構成矩陣，按水平數隨機組合成下標，在設計空間矩陣上取樣本點，每個因素水平只可用一次。試驗點在設計空間內均勻分布，且是隨機的，每次采樣的結果都不相同。這種設計均勻性比較好，適合因素數目較多的情況。

2.4 正交設計

正交試驗設計（Orthogonal design）也叫Taguchi設計，是應用范圍最廣的試驗設計方法之一，由日本學者田口玄一于20世紀40年代后期首次應用而得名。這種試驗設計方法按照一種己經擬定好地滿足正交試驗條件的表格來安排試驗。表格稱為正交表（Orthogonal array），表示為LA（Pn），其中L代表正交表；下標A表示表中橫行個數，即總共試驗次數；P為因素的水平數，n是因素的個數。當遇到各因素水平數不等的試驗時，可使用不等水平正交表或采用擬水平法。正交表可從試驗設計參考書中獲得[11]。正交設計是多因子試驗中最重要的一種設計方法，設計變量最好不多于10個。

考慮到本文高精度模型的計算代價比較高，應盡量減少分析的次數以提高設計效率，相比于全因子設計和中心復合設計，正交設計計算量較小，相比于均勻設計和拉丁方設計，正交設計精度較高[12-13]。鑒于此，本文選擇用正交設計技術來生成試驗點集合。對設計變量的水平數設置越多，樣本點數目也就跟著增加，這樣可以提高近似的精度。但考慮到相應的計算量過大，對每個設計變量取5水平。

設計變量在設計空間上水平數的數據如表3所示。

表3 翼面設計變量水平數和水平值

取樣即為一組6因素5水平的試驗，可使用L25（56）正交表來安排試驗，即需要進行25次不同輸入的氣動特性仿真，輸入安排如表1所示。

3 數值分析響應值提取

本文對25組不同翼面形狀的飛行器進行了基于CFD/ CSD緊耦合方式的高精度學科分析。對分析結果提取翼面優化所需的參數即升力系數CL、阻力系數CD、結構最大應力σmax、翼梢變形δmax、彈翼重量Weight作為響應值。

考慮到氣動彈性現象，與進行了氣動彈性仿真后得到數值相比，后者更符合風洞實驗值[14]。所以響應值應提取考慮了彈翼氣動彈性現象的仿真結果。

4 代理模型近似方案確定

近似技術也稱代理模型方法，是代理模型技術的核心，其本質是利用已知樣本點以數學手段生成能夠反映設計變量與響應值之間映射關系的數學模型。多項式響應面（Polyno- mial Response Surface Method, PRSM）、徑向基函數神經網絡（Radial Basis Squares Method, RBF-ANN）和Kriging模型（Kriging Model, KM）是多學科設計優化中常用的代理模型方法。

4.1 多項式響應面

響應面法是一種用簡單的代數函數來表示高精度模型分析信息的近似方法。工程中最常用的二階響應面模型的數學表達式如下式所示：

式中n為設計變量的維數；xi,xj為設計變量；待定系數b0，bj，bjj，bij可由最小二乘法確定。為了更高的精度可建立階數更高的響應面模型，但響應面模型的階數越高，所需的樣本點即高精度模型的分析次數越多。如以二階響應面模型為例，需要不低于（n+1）（n+2）/2個高精度模型的分析信息。

4.2 RBF神經網絡

人工神經網絡是一種模擬生物大腦結構的信息處理系統，除了可以用來進行函數逼近還可以進行最近相鄰模型分類、概率密度估計等計算，在多個領域均有應用。

神經網絡的結構由輸入層、隱層和輸出層三層處理單元組成。信號輸入和輸出的單元層分別為輸入層和輸出層，輸入層和輸出層中間的單元層稱為中間層或隱層。

層中的數據處理單元稱神經元。在神經元中將輸入激勵轉化為輸出響應的數學表達式稱為傳遞函數。

神經網絡各神經元通過權值連接，在各層類型決定后，通過已知樣本點的設計量及狀態量數據來調整確定權值即訓練網絡。訓練結束后，網絡的輸出即由輸入數據和各單元相連的各輸入量的權值來決定，此時即可用來模擬原有樣本和響應值的映射關系。

BP神經網絡和RBF神經網絡是最常被用作代理模型的兩種模型，二者都是前饋網絡。相比之下后者的結構更為簡單，網絡的訓練過程更為快捷，并且在函數逼近和模式識別方面的表現也更為優秀。所以對非線性函數的逼近，選用RBF神經網絡較為合適。

圖3所示的是一個典型的r維輸入的單隱層RBF網絡。其中‖dist‖表示求輸入矢量p和權值矢量w的距離；b1,b2為閾值；n為隱層輸入：

圖3 r維輸入的單隱層RBF網絡

其中LW是隱層到輸出層的權值。

Jin等人[15]的研究表明RBF神經網絡的近似精度和效率都不錯，適合在MDO中應用。

4.3 Kriging方法

Kriging模型是Danie Krige于20世紀50年代提出的一種估計方差最小的無偏估計模型，由全局模型和局部偏差疊加而成。該模型早期主要應用在地質領域，到現在已經成為MDO中比較有代表性的一種代理模型近似方法[16]，其具體模型為：

其中近似項g（x）是設計空間內的全局模擬，g（x）可以看作一個常數β，β值可由已知響應值進行估計。估計項Z（x）期望為0，方差為σ2，協方差不為零的隨機函數，表示全局模擬的插值，是全局模擬基礎上的局部偏差。上式可變為：

式中R是相關矩陣，矩陣為對角線元素為1的對稱矩陣；R是相關函數；ns為樣本點個數。R選擇高斯函數，可以表示為：

式中nv是設計變量個數，θk為未知相關參數向量，可取為常數以簡化運算。

根據Kriging理論，未知點x處的響應值y的估計值y′可表示為：

式中y是樣本點響應值組成的ns維列向量；g為長度為n的單位列向量；r（x）是未知向量x與樣本輸入數據之間的關系向量：

相關參數向量θk取為常數θ，可由極大似然估計變為一維優化問題：

4.4 代理模型綜合評估標準

為了判斷代理模型是否可以代替原有分析模型，需要一定的評估檢驗標準，包括精度評估、效率評估和實現難度評估。

考慮到Kriging和RBF這樣的近似方法具有插值特性。所以需要在構造的樣本點以外重新選取另外一批樣本點作為測試樣本點來參與對精度的評價。本文采用均方根誤差（Root Mean Square Error, RMSE）和復相關系數（R Squared Coef- ficient, R2）兩個標準來檢驗該模型的預測值對真實值的代理精度：

其中y和yreg分別是設計空間內每個樣本點的真實響應值和模型預測值；為所有樣本點真實響應值的平均值；Ngrid是樣本點的個數。RMSE值越接近于0則代理模型精度越高。復相關系數R2的取值越接近于1則近似精度越高。

效率評估考慮的是代理模型的計算效率，評價的指標是構造代理模型所需要的成本與使用代理模型預測新的設計點響應值所需的成本。這個成本包括計算時間計算所需的PC機內存等，一般用計算時間來評價。

代理模型的實現難度指的是在軟件上的功能實現。目前工程上最常用的實現手段是基于Matlab環境的各種函數工具箱來實現自行開發。也有一些優化軟件自身帶有一套近似模型模塊，可以省去編程而方便工程人員使用。但是由于程序代碼固定，當需要對程序進行修改時往往比較困難。一般來說，近似方法的原理越復雜，軟件開發就越困難。但是為了獲得較高的精度，有時必須對模型反復修改使之復雜性增加。

本文以設計變量集合X={λ，χ，b1，b2，c’root，k}為輸入，分別以響應值集合Y1={CL}，Y2={CD}，Y3={σmax}, Y4={δmax}，Y5={Weight}為輸出，采用多項式響應面、RBF神經網絡和Kriging方法為近似方法各自創建了近似模型。在設計空間內隨機生成五個測試樣本點，以均方根誤差RMSE和復相關系數R2為代理模型精度評價標準。

用這三種模型的近似精度校驗結果和時間統計分別如表4和表5所示：

表4 近似精度校驗結果

表5 代理模型時間統計

5 結論

從表中數據可以看出，多項式響應面得到得近似模型整體效果最差，所有響應的精度都低于其他兩種方法，產生這種結果的原因是設計變量維數（即因素數目）有6個，要構建一個6因素的二階多項式需要至少（6+1）（6+2）/2=28個樣本點，而樣本點數目只有25個，所以造成只能使用一階多項式來近似模型，這樣顯著降低了近似精度。不過由于許多研究以表明多項式響應面法本身不適合高階非線性問題，所以這種方案對本文翼面優化的代理模型來說是不可取的。

Kriging方法與RBF神經網絡相比，對某些數據如CD和Weight的近似效果比較好，但是對CL和δmax的近似精度則較低，RSM的值都高于0.1，R2值也都低于0.7。

RBF神經網絡對所有數據的RMSE值均低于0.01，R2值均大于0.8。所以其整體近似精度要更為優秀，具有更好的魯棒性。

就構造代理模型的時間而言，多項式響應面所用的時間最少，Kriging方法需要的時間最多，這與這三者本身數學模型的復雜度相符合。在主頻2.6 GHz，單核的PC機上這三種方法所耗費的預測時間均在1 s以內，而主頻2.6 GHz，8核的服務器上對任一個樣本點進行高精度仿真的計算時間則在20 h以上。相比而言，使用代理模型大大提高了學科分析的效率。

通過上述研究可以看出，多項式響應面雖然效率最高但精度過低，Kriging方法可以對測試問題取得較好的精度，但是魯棒性差，而且耗時較多，RBF神經網絡各項性能較為平均，綜合性能最好?？紤]到氣動優化時所需要的迭代點很多，而且數據之間關系復雜，本文選用了RBF神經網絡作為翼面優化設計的代理模型近似方法。