帶翼緣十字形截面軸心受壓構件扭轉失穩邊緣屈服荷載研究

張仲祥 宋振森 陳行威

（上海交通大學船舶與建筑工程學院，上海 200110）

0 引言

帶翼緣十字形截面構件具有各向等穩定、抗扭剛度高、對稱美觀以及施工便利等優勢，深受建筑師的青睞。S.P.Ngian等［1］對一個8層的無支撐半剛性剛框架按照WMM（wind-moment method）法進行了設計，對比分析表明，柱截面采用帶翼緣十字形截面構件比采用H型鋼柱能夠節約24%～66%的鋼材。從截面的幾何形狀上看，帶翼緣十字形可以看作是附加了翼緣的十字形截面，在軸心壓力作用下的破壞模式以扭轉失穩為主。目前對于此類構件的相關研究相對較少，仍處于初步探索階段。H.R.Naderian等［2］利用有限條法對FRP材料組成的帶翼緣十字形截面軸心受壓構件進行了數值分析，發現該類構件在軸心受壓時極易出現扭轉失穩。

初始扭轉是影響該類構件扭轉失穩承載力的主要幾何缺陷。隨著軸力的增大，扭轉角會增大，當構件軸壓力增大到一定程度時，構件截面的邊緣首先進入屈服，構件的剛度會迅速降低，雖然尚未達到構件的極限承載力，但已不適合繼續加載，因此可將邊緣屈服作為鋼構件失穩的標志。本文從帶翼緣十字形截面軸心受壓構件的彈性扭轉出發，推導其扭轉失穩的邊緣屈服荷載，并據此給出穩定曲線。

1 邊緣屈服荷載

1.1 截面形式及相關參數

帶翼緣十字形構件的截面參數如圖1所示。為便于分析，截面高度取上、下兩塊翼緣中線的間距，截面寬度和各板件厚度均取實際數值，分析時均忽略焊縫、倒角和微小重疊部分。

圖1 帶翼緣十字形截面尺寸示意Fig.1 Dimension of Stiffened Cruciform Section

1.2 等效應力

構件軸向的正應力σz由三部分組成，分別是軸心壓力P所產生的正應力σp、殘余應力σγ和翹曲應力σω，因此軸向的正應力σz可以寫作［3］

剪應力τ則由翹曲扭轉剪應力和自由扭轉剪應力組成，可以寫作

式中，φ(z)為構件軸心受壓的扭轉位移函數。

對帶翼緣十字截面構件截面，在翼緣處ω最大，故此處的翹曲應力σω最大，扭轉時首先屈服。由帶翼緣十字形截面的中心對稱性，可僅考慮在-h/2處的翼緣。根據符拉索夫薄壁構件理論，將ω和Sω的表達式帶入式（1）、式（2）可得到正應力和剪應力為

采用Von-Mises屈服準則，其等效應力可以寫作［4］

因此可得-h/2處翼緣上的等效應力為

1.3 邊緣屈服荷載

實際上構件屈服前扭轉位移及其各階導數以及殘余應力均為小量，式（6）中含有φ′、φ′′、φ′′′高階項均可略去，并可將式中殘余應力單獨移出進行簡化處理，于是式（6）可寫成

帶翼緣十字形截面軸心受壓構件僅考慮初始扭轉缺陷的扭轉位移函數可取為［5］

Aφ為初始扭轉缺陷的幅值，即構件跨中處的初始扭轉角。

根據式（8）可得

將式（10）代入式（7）即可得到帶翼緣十字形構件的應力分布。以截面H248×124×5×8組成的長度為3 m的構件承擔1 500 kN軸心壓力時翼緣板的等效應力如圖2所示。

圖2 翼緣板的Mises應力圖（軸側）Fig.2 Mises stress diagram of flange（axonometric view）

由圖可以看出，翼緣Mises應力的最大值發生在兩端和跨中的翼緣最外一側，因此將(z，x)=(0，b2)帶入式（10），然后再帶入式（7）可得

假定翼緣殘余應力為線性分布，取翼緣邊緣處的殘余應力σγ的值為0.3fy，根據邊緣屈服準則的定義，令式（11）等于屈服應力fy，可得邊緣屈服荷載為

圖3 翼緣板的Mises應力圖（俯視）Fig.3 Mises stress diagram of flange（top view）

圖4 翼緣板的Mises應力圖（正視）Fig.4 Mises stress diagram of flange（front view）

由圖5所示，當其扭轉失穩臨界力與扭轉計算長度有關，隨著長度的增加，其失穩模式會發生改變。兩端曲線的交點處彎曲失穩臨界力和扭轉失穩臨界力相等，此時構件的長度記為L1，當構件的長度L＜L1時，構件的破壞模式為扭轉失穩，當L＞L1時，構件的破壞模式為彎曲失穩。

圖5 帶翼緣十字形截面軸心受壓構件的失穩模式變化示意Fig.5 The relationship between the buckling mode and length

1.4 公式驗證

為驗證本文方法的可行性用式（12）計算一組帶翼緣十字形軸心受壓試件的邊緣屈服荷載并與試驗結果對比［6］，采用長度為3 m的熱軋窄翼緣H型鋼HN248×124×5×8切割焊接組合而成，試件在軸心壓力的作用下發生扭轉屈曲破壞。根據材性試驗結果，鋼材的彈性模量E=2.20×105MPa，屈服強度fy=350 MPa。

試驗結果與式（12）的對比見表1，由表中結果可知，公式結果與試驗結果吻合較好，可用本文邊緣屈曲荷載代表扭轉屈曲穩定承載力。

表1 扭轉失穩承載力結果對比Table 1 Comparison of torsional instability ultimate load

1.5 扭轉穩定系數

由式（12），僅考慮初始扭轉缺陷的帶翼緣十字形軸心受壓構件的扭轉屈曲穩定系數定義如下：

為考察翼緣寬度、腹板高度、翼緣厚度、腹板厚度等不同截面參數以及扭轉長細比、彎曲長細比和彎扭長細比等不同變量對扭轉屈曲穩定系數的影響，針對不同截面參數和長度構件計算其邊緣屈服荷載，選取的截面參數如表2所示，計算時取初始扭轉角，扭轉長細比λω、彎曲長細比λx和彎扭長細比λxω定義如下：

表2 構件截面參數Table 2 Summary of section properties

根據計算結果繪制扭轉長細比λω、彎曲長細比λx和彎扭長細比λxω下的扭轉邊緣屈服穩定系數的關系曲線如圖6-圖8所示。由圖可以看出，以彎曲長細比λx和彎扭長細比λxω為自變量時，扭轉邊緣屈服穩定系數曲線有較大離散性，而當采用扭轉長細比λω作為自變量時，不同截面的扭轉邊緣屈服穩定系數曲線規律性明顯。可見扭轉邊緣屈服穩定系數與扭轉長細比有較強的相關關系，可認為是扭轉長細比λω的函數。同時顯示帶翼緣十字形截面軸心受壓構件的翼緣寬度、腹板高度、翼緣厚度以及腹板厚度等截面參數對邊緣屈服穩定系數沒有獨立的影響規律。

圖6 扭轉長細比與扭轉邊緣屈服穩定系數的相關曲線Fig.6 The curve of non-dimensional first-yield load vs.torsional slenderness

圖7 彎曲長細比與扭轉邊緣屈服穩定系數的相關曲線Fig.7 The curve of non-dimensional first-yield load vs.flexual slenderness

圖8 彎扭長細比與扭轉邊緣屈服穩定系數的相關曲線Fig.8 The curve of non-dimensional first-yield load vs.flexural-torsional slenderness

2 扭轉邊緣屈服荷載的簡化公式

2.1 簡化公式推導

式（12）隱式方程求解過程復雜，不便于實際的應用，因此本文推導出顯示表達的扭轉邊緣屈服荷載簡化表達式。

展開可得關于Pcr，1的三次方程

因為m＜0，由Cardano公式可以得到三個根的三角函數形式為

通過證明Pcr，13為三個根中最小的正實數根，因此可得到邊緣屈服荷載顯示表達式的近似解為

2.2 簡化公式正確性驗證

為驗證本文簡化公式的正確性，選用H248×124×5×8截面作為算例，用式（24）和式（12）分別計算不同長度下帶翼緣十字形軸心受壓試件的邊緣屈服荷載，對比如圖9所示。

圖9 扭轉邊緣屈服穩定系數的隱式精確解與擬合公式公式的比較Fig.9 The comparison of exact solution and approximate solution

由圖9可見，在可能發生扭轉失穩的區間，簡化公式與精確的最大誤差Δ=0.03，且近似解都小于精確解，在工程應用中采用簡化公式是可行的。

3 結論

（1）采用金屬材料的Von-Mises屈服準則，并略去翼緣板Mises應力表達式的高階小量后推導出了帶翼緣十字形截面軸心受壓構件的邊緣屈服荷載的隱式表達式，并通過試驗對比，驗證了隱式表達式的正確性。

（2）通過對比翼緣寬度、腹板高度、翼緣厚度、腹板厚度等不同截面參數以及扭轉長細比、彎曲長細比和彎扭長細比等不同變量發現，不同構件的扭轉失穩邊緣屈服荷載在使用彎曲長細比或彎扭長細比來描述時有較大的離散型，而當以扭轉長細比為自變量時，不同截面的曲線則表現出明顯的規律，可見帶翼緣十字形截面軸心受壓構件的扭轉失穩問題應通過扭轉長細比來研究。同時顯示帶翼緣十字形截面軸心受壓構件的翼緣寬度、腹板高度、翼緣厚度以及腹板厚度等截面參數對邊緣屈服穩定系數沒有獨立的影響規律。

（3）將隱式表達的邊緣屈服荷載表達式通過Taylor展開進行了簡化，得到了邊緣屈服荷載顯式表達式（24）。