回彈法的測量不確定度評定

吳至復 滿 銀 方 瑤 周佳成

（1.國家電網有限公司，北京 100031；2.中國電力科學研究院有限公司，北京 100085；3.安徽績溪抽水蓄能有限公司，績溪 245300；4.同濟大學地下建筑與工程系，上海 200092）

0 引言

測量的目的是為了確定被測量的量值，測量結果的品質是量度測量結果可信程度的最重要的依據。測量不確定度就是對測量結果質量的定量表征，測量結果的可用性很大程度上取決于其不確定度的大小。所以，測量結果表述必須同時包含賦予被測量的值及與該值相關的測量不確定度，才是完整并有意義的［1］。通俗地說，測量不確定度是指對測量結果可信性、有效性的懷疑程度或不肯定程度。由于測量不完善和人們認識的不足，所得的被測量值具有分散性，即每次測得的結果不是同一值，而是以一定的概率分散在某個區域內的多個值。雖然客觀存在的系統誤差是一個相對確定的值，但由于我們無法完全認知或掌握它，而只能認為它是以某種概率分布于某區域內的，且這種概率分布本身也具有分散性。測量不確定度可以反映測量結果分散性，由于認知不足，分散性更小的測量結果更容易被接受。

測量不確定度的標準定義為根據所獲信息，表征賦予被測量值分散性的非負參數，此參數可以是標準測量不確定度的標準偏差（或其特定倍數），或是說明了包含概率的區間半寬度［2-3］。從定義上看，當測量結果確定時，測量不確定度也隨之確定，而無須假設約定真值，因此比誤差評定法更加具有可行性。

回彈法是檢測混凝土強度最常用的方法，《回彈法檢測混凝土抗壓強度技術規程》（JGJ/T 23—2011）［4］指出，當測區數為10個及以上時，除了計算強度平均值還應計算強度標準差，這體現了測量不確定度的思想。但從整體上看，JGJ/T 23—2011［4］采用的推斷方法并非是完全基于測量不確定度評定得到的。

為此，學者們對回彈法的測量不確定度進行了大量的研究。陳旭東等［5］、卜凡國［6］從混凝土、回彈儀使用條件、強度推斷方法等角度分析了回彈法檢測混凝土強度的不確定度來源；姚繼濤和解耀魁［7］、馬欣和王鑫曄［8］對回彈法測量誤差的概率分布進行了研究，并基于此給出了不同于JGJ/T 23—2011［4］的強度推斷方法，但需要指出的是，這并不是基于不確定度評定得到的；王建華和王琳［9］、何組鈞和倫志強［10］認為回彈法測量不確定度主要來源于回彈值與碳化深度，并結合實例對回彈法的測量不確定度進行研究。

當前對回彈法不確定度的研究大多是基于特定的工程實例，而未形成系統的強度推斷方法；雖有不同于JGJ/T 23—2011［4］的強度推斷方法，但又不是基于不確定度評定得到的。為此，本文基于測量不確定評定基本原理，旨在提出回彈法的強度推斷方法。

1 現行推斷方法的缺陷

1.1 現行推斷方法

JGJ/T 23—2011［4］中的推斷方法是基于正態總體、總體標準差已知的前提下，對總體均值進行區間估計，以具有95%保證率的區間下限作為混凝土強度的推斷值。

混凝土強度推斷的方法以測區數10為界限，大致分為兩類：

（1）測區數小于10

（2）測區數大于或等于10

1.2 缺陷及解決措施

當測區數小于10時，按式（1）確定的混凝土強度推斷值無法滿足保證率為95%這一條件。陳旭東［11］分析了331組以最小值作為強度推斷值的回彈法測試數據，得到有近70%構件強度推斷值的保證率不足95%。究其原因，式（3）未考慮測量不確定度的影響，而僅利用了樣本最小值來推斷總體情況。根據數理統計基本原理，利用的樣本數越少，則對總體的推斷越不可信。

當測區數大于10時，由于式（4）給出的樣本標準差并不是總體標準差的無偏估計，當測區數過少時，它自身也會產生較大的不確定度。根據數理統計基本原理，只有當n≥30時［7，11］，才可利用式（2）進行推斷，否則需要考慮式（4）引入的不確定度。

由于總體標準差未知，更加合理的方法是采用T分布進行區間估計，即

式中：μ為總體均值；t(n-1)為自由度是n-1的T分布；其余參數含義同前文。

根據數理統計基本原理，可得到具有95%保證率的混凝土強度推斷值：

式中：t0.05(n-1)是分布t(n-1)置信度為0.05的分位值，可查表得到；其余參數含義同前文。

式（6）對測區數n的取值沒有限制，但其仍未全面考慮測量不確定度的影響。當測區數越多，回彈儀性能越好，則強度推斷值越可信，但式（6）無法體現這些因素對強度推斷值的影響。

2 回彈法的測量不確定度

2.1 回彈法的數學模型

根據JGJ/T 23—2011［4］，混凝土強度換算值與回彈值和碳化深度值有關。鑒于目前尚無公認的強度換算值與回彈值、碳化深度的理論公式，因此在建立數學模型時只能采用無顯式表達式的透明箱模型，即

式中：fcu為混凝土強度換算值；分別是第i測區的回彈值均值與碳化深度均值；f(·)為由回彈值與碳化深度值換算成混凝土強度的函數，可根據測強曲線換算。

2.2 測量不確定度的來源

由式（7）可知，混凝土強度換算值的不確定度與回彈值、碳化深度值的不確定度有關。

2.2.1 回彈值的不確定度

回彈值的影響量有很多，有些影響量的不確定度尚未研究成熟，如混凝土強度空間變異性的不確定度，這類影響量的不確定度無法考慮；有些影響量的不確定度較小，如回彈儀與上次校準結果的微小偏差引入的不確定度，這類影響量的不確定度無須考慮。結合以往的研究成果［5-6，9-10］，回彈值不確定度的來源如下。

1.測量重復性引入的不確定度u1R

重復測量會引入不確定度，它往往是由測量過程中的隨機效應導致的。對于此類不確定度，采用A類評定的貝塞爾公式法進行計算。

合并樣本標準差按下式計算

式中：Rij是第i測區第j個測點的回彈值，該值指去除3個最大值和3個最小值之后的10個回彈值；S(Rij)為回彈值的合并樣本標準差；其余參數含義同前文。

各測區的回彈值是以平均值為代表值，故測量重復性引入的不確定度u1R為

2.讀數誤差引入的不確定度u2R

對于指針式示讀回彈儀，測量人員的讀數誤差在±0.5分度值之內，且在該區間內服從均勻分布。按照B類評定方法得

式中，各參數含義同前文。

對于數顯式回彈儀，讀數誤差源于最小刻度的修約間隔δ1，由此引入的不確定為

式中，各參數含義同前文。

3.彈擊角度傾斜引入的不確定度u3R

根據工程經驗，由于彈擊角度傾斜導致的誤差在±1分度值之內，且在該區間內服從均勻分布。按照B類評定方法得

式中，各參數含義同前文。

4.系統性能引入的不確定度u4R

回彈儀系統性能引入的示值誤差±e1應參考相應的檢定證書。示值誤差在±e1之內服從均勻分布，按照B類評定方法得

式中，各參數含義同前文。

5.對非水平方向檢測、水平方向檢測非澆筑側面修正引入的不確定度u5R

根據JJF 1059.1—2012［3］，當對已知的系統誤差進行修正時，需要考慮修正值引入的不確定度。當回彈儀為非水平方向時，應進行角度修正，修正值的誤差±e2根據工程經驗確定，且服從均勻分布，按照B類評定方法得

式中，各參數含義同前文。

當回彈儀為水平方向但測區非澆筑側面時，也應進行相應的修正。修正值的誤差±e3根據工程經驗確定，且服從均勻分布，按照B類評定方法得

式中，各參數含義同前文。

當回彈儀為非水平方向且測區為非澆筑側面時，由方差傳遞原理

式中，各參數含義同前文。

2.2.2 碳化深度的不確定度

和回彈值一樣，考慮目前已經掌握的碳化深度影響量的不確定度。

1.測量重復性引入的不確定度u1d

當代表性測區碳化深度極差不大于2 mm時，以該測區的碳化深度均值作為所有測區的碳化深度值，此時由碳化深度引入的不確定度可由A類評定的貝塞爾公式得到

當代表性測區碳化深度極差大于2 mm時，需要對每個測區的碳化深度都進行測量，此時應采用合并標準差評定測量不確定度，即

式中，各參數含義同前文。

2.讀數誤差引入的不確定度u2d

碳化深度的測量常用游標卡尺或數顯式碳化深度測定儀測定，按照B類評定方法得

式中：δ2為碳化深度測定儀的修約間隔，按檢定證書確定；其余參數含義同前文。

3.系統性能引入的不確定度u3d

游標卡尺或數顯式碳化深度儀引入的示值誤差±e4應參考相應的檢定證書，并按照B類方法進行評定

式中，各參數含義同前文。

將上述回彈值與碳化深度影響量的不確定度總結見表1。

表1 回彈法不確定度評定Table 1 Evaluation for uncertainty of rebound method

2.3 回彈法的合成標準不確定度

雖然3.2節分析了回彈值與碳化深度不確定度的來源，但卻無法定性描述各來源是如何影響測量結果的，因此它們之間的關系只能用黑箱模型描述。對于黑箱模型，靈敏系數為1。

各來源的標準不確定度不相關，根據方差傳遞原理，得

式中：uR、ud分別為回彈值、碳化深度的合成標準不確定度；其余參數含義同前文。

由于式（7）沒有顯式表達式，假設它是線性的，得強度換算值的合成標準不確定為

式中：ufcu為混凝土強度換算值的不確定度；cR，cd為靈敏系數，由式（7）的數學模型按式（23）確定；其余參數含義同前文。

得到合成標準不確定度之后，可按下式計算強度推斷值。

式中，各參數含義同前文。

3 算例

佛山市某廢棄工業廠房改建工程，混凝土框架結構，C25泵送混凝土。該廠房由于長時間廢棄，且原施工方養護不到位，混凝土強度無法保證。為確定合理的改造加固方案，對該廠房框架梁、柱進行回彈法檢測抗壓強度，以推定目前混凝土的實際強度。

利用指針式回彈儀對該廠房某框架梁澆筑側面進行水平方向測量，測區數為10，各測區回彈值均值、碳化深度均值、強度換算值見表2。回彈儀系統性能引入的示值誤差為±1.5分度值。采用游標卡尺測量碳化深度，游標卡尺系統性能引入的示值誤差為±0.01分度值。

結合表1，得到算例的回彈值、碳化深度不確定度計算結果，見表3。

表3 不確定度計算結果Table 3 Uncertainty calculation results

由式（24）計算靈敏系數，取增量分別為0.2和0.5 mm，得cR=1，cd=2.2。由式（21）至式（23）得合成標準不確定度

由表2得強度換算值的均值及標準差。

表2 各測區測量值與換算值Table 2 Measured value and conversion value of each survey area

按JGJ/T 23—2011［4］的推斷方法，得強度推斷值為12.5 MPa，該值具有95%的保證率；考慮測量不確定度的強度推斷值為14.2 MPa，該值為具有95%保證率的單側置信區間的下限。后者的推斷值比前者大，且保證率比前者也高，這看似是矛盾的。要解釋這個問題，需從兩個角度考慮。

其一，根據數理統計及測量不確定評定基本原理，保證率與推斷值的大小無關，而與認知程度及不確定度大小有關。例如，用兩把準確度不同的直尺去測量某個物塊的長度，物塊長度真值為1 mm。準確度差的直尺測量結果為1 mm，準確度好的直尺測量結果為1.1 mm，這在概率上是可能發生的事情。從測量結果上看，即使前者的測量結果更接近真值，但由于我們事先并不知曉真值大小，只能根據測量不確定度（準確度）差異，選擇后者的測量結果作為物塊的長度代表值。

其二，考慮到回彈法是按照分測區測量、以各測區均值作為代表值的特點，采用式（8）、式（9）的合并標準差及均值標準差比式（4）的標準差更加合理。對比發現，式（8）、式（9）的分母要大于式（4），因此由測量重復性引入的不確定度小于式（4）的計算值。

4 結論

測量結果需包含被測量的值及相應的測量不確定度，才是完整并有意義的。本文基于測量不確定度基本原理，假設混凝土強度推定值與回彈值、碳化深度值的關系是線性的，分析了回彈法測量不確定度的來源并給出相應的表示方法，最終給出了回彈法測量不確定度的理論表達式。

本文方法具有以下兩點優勢：其一，本文方法對樣本容量無限制要求，這是由于本文方法在計算不確定度時已考慮樣本容量的影響；其二，不論樣本容量大小，本文得到的強度推斷值的保證率均為95%。傳統方法采用正態分布描述抽樣分布，當樣本容量較大時，其與實際分布（t分布）的差異較小；但當樣本容量較小時，其與實際分布（t分布）的差異較大。本文的方法是基于t分布得到，所以不存在此問題。