回彈法的測(cè)量不確定度評(píng)定

吳至復(fù) 滿 銀 方 瑤 周佳成

（1.國家電網(wǎng)有限公司，北京 100031；2.中國電力科學(xué)研究院有限公司，北京 100085；3.安徽績(jī)溪抽水蓄能有限公司，績(jī)溪 245300；4.同濟(jì)大學(xué)地下建筑與工程系，上海 200092）

0 引言

測(cè)量的目的是為了確定被測(cè)量的量值，測(cè)量結(jié)果的品質(zhì)是量度測(cè)量結(jié)果可信程度的最重要的依據(jù)。測(cè)量不確定度就是對(duì)測(cè)量結(jié)果質(zhì)量的定量表征，測(cè)量結(jié)果的可用性很大程度上取決于其不確定度的大小。所以，測(cè)量結(jié)果表述必須同時(shí)包含賦予被測(cè)量的值及與該值相關(guān)的測(cè)量不確定度，才是完整并有意義的［1］。通俗地說，測(cè)量不確定度是指對(duì)測(cè)量結(jié)果可信性、有效性的懷疑程度或不肯定程度。由于測(cè)量不完善和人們認(rèn)識(shí)的不足，所得的被測(cè)量值具有分散性，即每次測(cè)得的結(jié)果不是同一值，而是以一定的概率分散在某個(gè)區(qū)域內(nèi)的多個(gè)值。雖然客觀存在的系統(tǒng)誤差是一個(gè)相對(duì)確定的值，但由于我們無法完全認(rèn)知或掌握它，而只能認(rèn)為它是以某種概率分布于某區(qū)域內(nèi)的，且這種概率分布本身也具有分散性。測(cè)量不確定度可以反映測(cè)量結(jié)果分散性，由于認(rèn)知不足，分散性更小的測(cè)量結(jié)果更容易被接受。

測(cè)量不確定度的標(biāo)準(zhǔn)定義為根據(jù)所獲信息，表征賦予被測(cè)量值分散性的非負(fù)參數(shù)，此參數(shù)可以是標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量不確定度的標(biāo)準(zhǔn)偏差（或其特定倍數(shù)），或是說明了包含概率的區(qū)間半寬度［2-3］。從定義上看，當(dāng)測(cè)量結(jié)果確定時(shí)，測(cè)量不確定度也隨之確定，而無須假設(shè)約定真值，因此比誤差評(píng)定法更加具有可行性。

回彈法是檢測(cè)混凝土強(qiáng)度最常用的方法，《回彈法檢測(cè)混凝土抗壓強(qiáng)度技術(shù)規(guī)程》（JGJ/T 23—2011）［4］指出，當(dāng)測(cè)區(qū)數(shù)為10個(gè)及以上時(shí)，除了計(jì)算強(qiáng)度平均值還應(yīng)計(jì)算強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差，這體現(xiàn)了測(cè)量不確定度的思想。但從整體上看，JGJ/T 23—2011［4］采用的推斷方法并非是完全基于測(cè)量不確定度評(píng)定得到的。

為此，學(xué)者們對(duì)回彈法的測(cè)量不確定度進(jìn)行了大量的研究。陳旭東等［5］、卜凡國［6］從混凝土、回彈儀使用條件、強(qiáng)度推斷方法等角度分析了回彈法檢測(cè)混凝土強(qiáng)度的不確定度來源；姚繼濤和解耀魁［7］、馬欣和王鑫曄［8］對(duì)回彈法測(cè)量誤差的概率分布進(jìn)行了研究，并基于此給出了不同于JGJ/T 23—2011［4］的強(qiáng)度推斷方法，但需要指出的是，這并不是基于不確定度評(píng)定得到的；王建華和王琳［9］、何組鈞和倫志強(qiáng)［10］認(rèn)為回彈法測(cè)量不確定度主要來源于回彈值與碳化深度，并結(jié)合實(shí)例對(duì)回彈法的測(cè)量不確定度進(jìn)行研究。

當(dāng)前對(duì)回彈法不確定度的研究大多是基于特定的工程實(shí)例，而未形成系統(tǒng)的強(qiáng)度推斷方法；雖有不同于JGJ/T 23—2011［4］的強(qiáng)度推斷方法，但又不是基于不確定度評(píng)定得到的。為此，本文基于測(cè)量不確定評(píng)定基本原理，旨在提出回彈法的強(qiáng)度推斷方法。

1 現(xiàn)行推斷方法的缺陷

1.1 現(xiàn)行推斷方法

JGJ/T 23—2011［4］中的推斷方法是基于正態(tài)總體、總體標(biāo)準(zhǔn)差已知的前提下，對(duì)總體均值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，以具有95%保證率的區(qū)間下限作為混凝土強(qiáng)度的推斷值。

混凝土強(qiáng)度推斷的方法以測(cè)區(qū)數(shù)10為界限，大致分為兩類：

（1）測(cè)區(qū)數(shù)小于10

（2）測(cè)區(qū)數(shù)大于或等于10

1.2 缺陷及解決措施

當(dāng)測(cè)區(qū)數(shù)小于10時(shí)，按式（1）確定的混凝土強(qiáng)度推斷值無法滿足保證率為95%這一條件。陳旭東［11］分析了331組以最小值作為強(qiáng)度推斷值的回彈法測(cè)試數(shù)據(jù)，得到有近70%構(gòu)件強(qiáng)度推斷值的保證率不足95%。究其原因，式（3）未考慮測(cè)量不確定度的影響，而僅利用了樣本最小值來推斷總體情況。根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本原理，利用的樣本數(shù)越少，則對(duì)總體的推斷越不可信。

當(dāng)測(cè)區(qū)數(shù)大于10時(shí)，由于式（4）給出的樣本標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì)，當(dāng)測(cè)區(qū)數(shù)過少時(shí)，它自身也會(huì)產(chǎn)生較大的不確定度。根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本原理，只有當(dāng)n≥30時(shí)［7，11］，才可利用式（2）進(jìn)行推斷，否則需要考慮式（4）引入的不確定度。

由于總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，更加合理的方法是采用T分布進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，即

式中：μ為總體均值；t(n-1)為自由度是n-1的T分布；其余參數(shù)含義同前文。

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本原理，可得到具有95%保證率的混凝土強(qiáng)度推斷值：

式中：t0.05(n-1)是分布t(n-1)置信度為0.05的分位值，可查表得到；其余參數(shù)含義同前文。

式（6）對(duì)測(cè)區(qū)數(shù)n的取值沒有限制，但其仍未全面考慮測(cè)量不確定度的影響。當(dāng)測(cè)區(qū)數(shù)越多，回彈儀性能越好，則強(qiáng)度推斷值越可信，但式（6）無法體現(xiàn)這些因素對(duì)強(qiáng)度推斷值的影響。

2 回彈法的測(cè)量不確定度

2.1 回彈法的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)JGJ/T 23—2011［4］，混凝土強(qiáng)度換算值與回彈值和碳化深度值有關(guān)。鑒于目前尚無公認(rèn)的強(qiáng)度換算值與回彈值、碳化深度的理論公式，因此在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)只能采用無顯式表達(dá)式的透明箱模型，即

式中：fcu為混凝土強(qiáng)度換算值；分別是第i測(cè)區(qū)的回彈值均值與碳化深度均值；f(·)為由回彈值與碳化深度值換算成混凝土強(qiáng)度的函數(shù)，可根據(jù)測(cè)強(qiáng)曲線換算。

2.2 測(cè)量不確定度的來源

由式（7）可知，混凝土強(qiáng)度換算值的不確定度與回彈值、碳化深度值的不確定度有關(guān)。

2.2.1 回彈值的不確定度

回彈值的影響量有很多，有些影響量的不確定度尚未研究成熟，如混凝土強(qiáng)度空間變異性的不確定度，這類影響量的不確定度無法考慮；有些影響量的不確定度較小，如回彈儀與上次校準(zhǔn)結(jié)果的微小偏差引入的不確定度，這類影響量的不確定度無須考慮。結(jié)合以往的研究成果［5-6，9-10］，回彈值不確定度的來源如下。

1.測(cè)量重復(fù)性引入的不確定度u1R

重復(fù)測(cè)量會(huì)引入不確定度，它往往是由測(cè)量過程中的隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致的。對(duì)于此類不確定度，采用A類評(píng)定的貝塞爾公式法進(jìn)行計(jì)算。

合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差按下式計(jì)算

式中：Rij是第i測(cè)區(qū)第j個(gè)測(cè)點(diǎn)的回彈值，該值指去除3個(gè)最大值和3個(gè)最小值之后的10個(gè)回彈值；S(Rij)為回彈值的合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差；其余參數(shù)含義同前文。

各測(cè)區(qū)的回彈值是以平均值為代表值，故測(cè)量重復(fù)性引入的不確定度u1R為

2.讀數(shù)誤差引入的不確定度u2R

對(duì)于指針式示讀回彈儀，測(cè)量人員的讀數(shù)誤差在±0.5分度值之內(nèi)，且在該區(qū)間內(nèi)服從均勻分布。按照B類評(píng)定方法得

式中，各參數(shù)含義同前文。

對(duì)于數(shù)顯式回彈儀，讀數(shù)誤差源于最小刻度的修約間隔δ1，由此引入的不確定為

式中，各參數(shù)含義同前文。

3.彈擊角度傾斜引入的不確定度u3R

根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，由于彈擊角度傾斜導(dǎo)致的誤差在±1分度值之內(nèi)，且在該區(qū)間內(nèi)服從均勻分布。按照B類評(píng)定方法得

式中，各參數(shù)含義同前文。

4.系統(tǒng)性能引入的不確定度u4R

回彈儀系統(tǒng)性能引入的示值誤差±e1應(yīng)參考相應(yīng)的檢定證書。示值誤差在±e1之內(nèi)服從均勻分布，按照B類評(píng)定方法得

式中，各參數(shù)含義同前文。

5.對(duì)非水平方向檢測(cè)、水平方向檢測(cè)非澆筑側(cè)面修正引入的不確定度u5R

根據(jù)JJF 1059.1—2012［3］，當(dāng)對(duì)已知的系統(tǒng)誤差進(jìn)行修正時(shí)，需要考慮修正值引入的不確定度。當(dāng)回彈儀為非水平方向時(shí)，應(yīng)進(jìn)行角度修正，修正值的誤差±e2根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)確定，且服從均勻分布，按照B類評(píng)定方法得

式中，各參數(shù)含義同前文。

當(dāng)回彈儀為水平方向但測(cè)區(qū)非澆筑側(cè)面時(shí)，也應(yīng)進(jìn)行相應(yīng)的修正。修正值的誤差±e3根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)確定，且服從均勻分布，按照B類評(píng)定方法得

式中，各參數(shù)含義同前文。

當(dāng)回彈儀為非水平方向且測(cè)區(qū)為非澆筑側(cè)面時(shí)，由方差傳遞原理

式中，各參數(shù)含義同前文。

2.2.2 碳化深度的不確定度

和回彈值一樣，考慮目前已經(jīng)掌握的碳化深度影響量的不確定度。

1.測(cè)量重復(fù)性引入的不確定度u1d

當(dāng)代表性測(cè)區(qū)碳化深度極差不大于2 mm時(shí)，以該測(cè)區(qū)的碳化深度均值作為所有測(cè)區(qū)的碳化深度值，此時(shí)由碳化深度引入的不確定度可由A類評(píng)定的貝塞爾公式得到

當(dāng)代表性測(cè)區(qū)碳化深度極差大于2 mm時(shí)，需要對(duì)每個(gè)測(cè)區(qū)的碳化深度都進(jìn)行測(cè)量，此時(shí)應(yīng)采用合并標(biāo)準(zhǔn)差評(píng)定測(cè)量不確定度，即

式中，各參數(shù)含義同前文。

2.讀數(shù)誤差引入的不確定度u2d

碳化深度的測(cè)量常用游標(biāo)卡尺或數(shù)顯式碳化深度測(cè)定儀測(cè)定，按照B類評(píng)定方法得

式中：δ2為碳化深度測(cè)定儀的修約間隔，按檢定證書確定；其余參數(shù)含義同前文。

3.系統(tǒng)性能引入的不確定度u3d

游標(biāo)卡尺或數(shù)顯式碳化深度儀引入的示值誤差±e4應(yīng)參考相應(yīng)的檢定證書，并按照B類方法進(jìn)行評(píng)定

式中，各參數(shù)含義同前文。

將上述回彈值與碳化深度影響量的不確定度總結(jié)見表1。

表1 回彈法不確定度評(píng)定Table 1 Evaluation for uncertainty of rebound method

2.3 回彈法的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

雖然3.2節(jié)分析了回彈值與碳化深度不確定度的來源，但卻無法定性描述各來源是如何影響測(cè)量結(jié)果的，因此它們之間的關(guān)系只能用黑箱模型描述。對(duì)于黑箱模型，靈敏系數(shù)為1。

各來源的標(biāo)準(zhǔn)不確定度不相關(guān)，根據(jù)方差傳遞原理，得

式中：uR、ud分別為回彈值、碳化深度的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度；其余參數(shù)含義同前文。

由于式（7）沒有顯式表達(dá)式，假設(shè)它是線性的，得強(qiáng)度換算值的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定為

式中：ufcu為混凝土強(qiáng)度換算值的不確定度；cR，cd為靈敏系數(shù)，由式（7）的數(shù)學(xué)模型按式（23）確定；其余參數(shù)含義同前文。

得到合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度之后，可按下式計(jì)算強(qiáng)度推斷值。

式中，各參數(shù)含義同前文。

3 算例

佛山市某廢棄工業(yè)廠房改建工程，混凝土框架結(jié)構(gòu)，C25泵送混凝土。該廠房由于長時(shí)間廢棄，且原施工方養(yǎng)護(hù)不到位，混凝土強(qiáng)度無法保證。為確定合理的改造加固方案，對(duì)該廠房框架梁、柱進(jìn)行回彈法檢測(cè)抗壓強(qiáng)度，以推定目前混凝土的實(shí)際強(qiáng)度。

利用指針式回彈儀對(duì)該廠房某框架梁澆筑側(cè)面進(jìn)行水平方向測(cè)量，測(cè)區(qū)數(shù)為10，各測(cè)區(qū)回彈值均值、碳化深度均值、強(qiáng)度換算值見表2。回彈儀系統(tǒng)性能引入的示值誤差為±1.5分度值。采用游標(biāo)卡尺測(cè)量碳化深度，游標(biāo)卡尺系統(tǒng)性能引入的示值誤差為±0.01分度值。

結(jié)合表1，得到算例的回彈值、碳化深度不確定度計(jì)算結(jié)果，見表3。

表3 不確定度計(jì)算結(jié)果Table 3 Uncertainty calculation results

由式（24）計(jì)算靈敏系數(shù)，取增量分別為0.2和0.5 mm，得cR=1，cd=2.2。由式（21）至式（23）得合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

由表2得強(qiáng)度換算值的均值及標(biāo)準(zhǔn)差。

表2 各測(cè)區(qū)測(cè)量值與換算值Table 2 Measured value and conversion value of each survey area

按JGJ/T 23—2011［4］的推斷方法，得強(qiáng)度推斷值為12.5 MPa，該值具有95%的保證率；考慮測(cè)量不確定度的強(qiáng)度推斷值為14.2 MPa，該值為具有95%保證率的單側(cè)置信區(qū)間的下限。后者的推斷值比前者大，且保證率比前者也高，這看似是矛盾的。要解釋這個(gè)問題，需從兩個(gè)角度考慮。

其一，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)及測(cè)量不確定評(píng)定基本原理，保證率與推斷值的大小無關(guān)，而與認(rèn)知程度及不確定度大小有關(guān)。例如，用兩把準(zhǔn)確度不同的直尺去測(cè)量某個(gè)物塊的長度，物塊長度真值為1 mm。準(zhǔn)確度差的直尺測(cè)量結(jié)果為1 mm，準(zhǔn)確度好的直尺測(cè)量結(jié)果為1.1 mm，這在概率上是可能發(fā)生的事情。從測(cè)量結(jié)果上看，即使前者的測(cè)量結(jié)果更接近真值，但由于我們事先并不知曉真值大小，只能根據(jù)測(cè)量不確定度（準(zhǔn)確度）差異，選擇后者的測(cè)量結(jié)果作為物塊的長度代表值。

其二，考慮到回彈法是按照分測(cè)區(qū)測(cè)量、以各測(cè)區(qū)均值作為代表值的特點(diǎn)，采用式（8）、式（9）的合并標(biāo)準(zhǔn)差及均值標(biāo)準(zhǔn)差比式（4）的標(biāo)準(zhǔn)差更加合理。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，式（8）、式（9）的分母要大于式（4），因此由測(cè)量重復(fù)性引入的不確定度小于式（4）的計(jì)算值。

4 結(jié)論

測(cè)量結(jié)果需包含被測(cè)量的值及相應(yīng)的測(cè)量不確定度，才是完整并有意義的。本文基于測(cè)量不確定度基本原理，假設(shè)混凝土強(qiáng)度推定值與回彈值、碳化深度值的關(guān)系是線性的，分析了回彈法測(cè)量不確定度的來源并給出相應(yīng)的表示方法，最終給出了回彈法測(cè)量不確定度的理論表達(dá)式。

本文方法具有以下兩點(diǎn)優(yōu)勢(shì)：其一，本文方法對(duì)樣本容量無限制要求，這是由于本文方法在計(jì)算不確定度時(shí)已考慮樣本容量的影響；其二，不論樣本容量大小，本文得到的強(qiáng)度推斷值的保證率均為95%。傳統(tǒng)方法采用正態(tài)分布描述抽樣分布，當(dāng)樣本容量較大時(shí)，其與實(shí)際分布（t分布）的差異較小；但當(dāng)樣本容量較小時(shí)，其與實(shí)際分布（t分布）的差異較大。本文的方法是基于t分布得到，所以不存在此問題。