愛因斯坦的消遣題

林革

創立相對論的偉大物理學家愛因斯坦對數學很有研究，常把解數學題作為一種消遣.

[時鐘問題]

有一次，愛因斯坦病了，作家莫希柯夫斯基來看望他，閑聊起自己無意中在鐘面上的發現：在時鐘上的某一時刻，時針和分針是可以互相調換位置的. 比如：12點時時針和分針重疊，對調兩針位置，表示的時間仍是12點; 類似地，2點21分時對調兩針位置，表示的時間是4點12分. 當然，并不是任何時刻時針和分針都可以對調，比如9點時兩針對調就不行，它不可能表示12點45分，因為在12點45分時時針不可能指向12. 由此引發的問題是：鐘面上時針和分針在什么位置時，兩針同時對調，使得新位置仍能指示某一實際上可能的時刻？此時，莫希柯夫斯基的本意“昭然若揭”，原來他特意帶來一道數學題給愛因斯坦解悶，難怪開頭突然扯起時鐘問題.

愛因斯坦立刻來了興致，他坐起身拿來紙筆，稍加思索就得出了正確結果. 他用的時間并不比作家敘述這個問題的時間長多少，其反應之快、效率之高讓莫希柯斯基目瞪口呆. 想知道愛因斯坦是如何解答的嗎？且聽我細細道來：

設鐘面上理想時刻（時針與分針可以對調）為x點y分，因為鐘面上的圓周被等分為60小格，時針一小時轉過鐘面上的5小格，分針一小時轉過鐘面一圈（即60小格），所以時針所指的刻度數（即小格數）為5x + [560·y]=5x + [y12]，分針所指的刻度數為y;將時針和分針的位置對調后，所表示的時間設為s點t分，則時針所指的刻度數為5s + [t12]，它與原來分針所指刻度數y相同，而分針所指的刻度數t就是原來時針所指的刻度數5x + [y12]，于是列方程組[y=5s+t12，t=5x+y12，]解得[y=60（x+12s）143，t=60（s+12x）143.]（以y，t作為未知數）必須注意到，其中x，s表示的是鐘點數，所以0 ≤ x ≤ 11，0 ≤ s ≤ 11. 若x，s分別取從0到11間的12個不同的整數，12 × 12 = 144（個），可得144個不同數對（y，t），這些不同數對分別對應分針、時針所處位置. 當x = s = 0時，y = t = 0;當x = s = l1時，y = t = 60. 這兩種特殊情形都是說明兩針重合指向12，只能算作一種. 因此，實際上所求的位置可以有143種.

看完愛因斯坦的解答，有些人或許會有與莫希柯夫斯基一樣的疑問：為什么要以y，t作為未知數，即用x，s表示y，t，而不用y，t表示x，s呢？事實上，愛因斯坦起初也這樣嘗試過，求出了[x=12t-y60，s=12y-t60.]但他立刻否定了這種情況，這是因為y，t表示分鐘數，既能取0～60的整數，也能取0～60的分數，可能出現的情形有無數種，難以限定范圍，所以棄用. 而x，s表示的是鐘點數，0～11共有12個不同的整數，數量有限，討論方便，可以很快得出正確結果.

[速算問題]

有一次，愛因斯坦與幾位朋友一起閑聊時，有人隨口提出一道數學計算題，引起了愛因斯坦的興趣和關注.

2987 × 2913，這是一道四位數的乘法題，按常規思路列式計算需好一會兒功夫，而愛因斯坦卻一不用紙二不用筆，略加思索就報出了正確答案8 701 131. 聽了愛因斯坦的速算解釋，朋友們驚嘆不已. 原來，愛因斯坦注意到兩個因數的末兩位87與13之和剛好是100，立刻聯想到一種名為“頭同尾合十”的特定速算方法.

所謂“頭同尾合十”是指：兩個因數的十位數字相同，個位數字相加剛好為10. 比如：74 × 76，29 × 21，45 × 45等.

對應的速算方法是：先用兩個因數的個位數字相乘，得到一個兩位數的積（如果是一位數，就在前面加0）;然后用相同的十位數字乘比它大1的數，把得到的結果放在上一個積的前面，組成的數就是兩個因數的乘積.

速算74 × 76，先算4 × 6 = 24，再算7 × （7 + 1） = 56，則74 × 76 = 5 624.

速算29 × 21，先算9 × 1 = 09，再算2 × （2 + 1） = 6，則29 × 21 = 609.

速算45 × 45，先算5 × 5 = 25，再算4 × （4 + 1） = 20，則45 × 45 = 2 025.

其中的數學原理不難解釋：假設兩位數分別是[ab]和[ad]，b + d = 10，則[ab×ad] = （10a + b）（10a + d） = 100a2 + 10ad + 10ab + bd = 100a2 + 10a（b + d） + bd = 100a2 + 100a + bd = a（a + 1） × 100 + bd，上述速算方法只不過是這個結果的直觀操作而已.

不難理解，這種速算方法也可推廣到多位數. 也就是說，如果因數是[abcd]和[abmn]，[cd] + [mn] = 100，那么[abcd] × [abmn] = [ab] × （[ab] + 1） × 10 000 + [cd] × [mn].

愛因斯坦正是利用上述延伸方法進行速算：先計算29 × （29 + 1） = 29 × 30 = 870，87 × 13 = （100 - 13） × 13 = 1 300 - 132 = 1 131，然后把1 131附在870之后，結果便是8 701 131. 其中的計算過程采用心算，對于愛因斯坦來說顯然是小菜一碟.

怎么樣？大師不愧為大師，其思維的全面性和靈活性在這兩題的解答過程中可見一斑.

（作者單位：揚州職業大學）