一道高考解析幾何試題的解法探究及推廣

張靜 徐小琴 吳爽

[摘? 要] 解析幾何是高考數學的重點和難點，運算量大、題型變化多、數形互化等是其突出特點.隨著新課改對學生探究意識和應用意識的重視，解析幾何中也逐漸滲透存在性問題.以一道典型解析幾何試題為例，從問題的解法探究到問題推廣應用進行深刻剖析，以期對此類探究性問題給予方法指導.

[關鍵詞] 解析幾何;解法探究;問題推廣

解析幾何是“代數”與“幾何”溝通的橋梁，以數形互化為主要手段，巧妙地將幾何問題借助代數運算得解.本文以2015年四川卷理科20題為探究素材，利用點對稱法、角平分線定理、構造平行線段、執果朔因法、作差法、代數消元法、化簡相消法、直接證明法8種方法求解問題，并對此存在性問題進行推廣研究.

[?]試題再現

（2015年四川卷理科20題）如圖1，橢圓E：+=1（a>b>0）的離心率是，過點P（0，1）的動直線與橢圓相交于A，B兩點，當直線l平行于x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為2.

（1）求橢圓E的方程.

（2）在平面直角坐標系xOy中，是否存在與點P不同的定點Q，使得=恒成立？若存在，求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

[?]解法探究

解題是高中數學教學的重要內容，是中學生數學學習的主要活動[1]. 引導學生從不同的角度分析問題往往會產生不同的解題思路，一題多解有助于學生加深對知識的理解，構建和完善數學認知體系，培養學生思維的靈活性，提高數學解題能力.

對于問題（1），根據題目條件易得+=1. 對于問題（2），考查對=的轉化和處理，下面利用點對稱法、角平分線定理、構造平行線段[2]、執果朔因法、作差法、代數消元法、化簡相消法、直接證明法這8種方法求解.

法一：（點對稱法）

當直線l與x軸平行時，設直線l與橢圓相交于C，D兩點. 若存在定點Q滿足條件，則有==1，即

QC

=

QD

.所以Q點在y軸上，可設Q點的坐標為（0，y）.

當直線l與x軸垂直時，設直線l與橢圓相交于M，N兩點，則M，N的坐標分別為（0，），（0，-）. 由=，有=，解得y=1，或y=2.

所以，若存在不同于點P的定點Q滿足條件，則Q點坐標只可能為（0，2）.

下證：對任意直線l，均有=.

當直線l的斜率不存在時，結論成立.

當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y=kx+1，A，B的坐標分別為（x，y），（x，y）. 聯立

+

=1，

y=kx+1，有（2k2+1）x2+4kx-2=0，其判別式Δ=（4k）2+8（2k2+1）>0，所以x+x=-，xx=-. 因此+==2k. 易知，點B關于y軸對稱的點B′的坐標為（-x，y）. 又k===k-，k=== -k+=k-，所以k=k，即Q，A，B′三點共線. 所以===.

故存在于點P不同的定點Q（0，2），使得=恒成立.

評注：通過作點B關于y軸對稱的點B′，將QB轉化成y軸右邊的QB′，由QA，QB′的斜率表達式，易證Q，A，B′三點共線，最后利用相似三角形的知識得出==. 該方法設而不求，在解決問題的過程中充分運用數形結合的思想，將數與形巧妙結合，避免了復雜的運算過程.

法二：（角平分線定理）

前同解法一.

又k===k-，k===k-，所以k+k=2k--=2k-=0，又因為QP所在直線垂直于x軸，則QP是∠AQB的角平分線. 根據角平分線定理，=.

故存在與P不同的定點Q（0，2），使得=恒成立.

評注：聯立直線方程和橢圓方程，利用根與系數的關系說明QP是∠AQB的角平分線，于是根據角平分線定理得出等式. 使用該方法解決問題的關鍵是充分認識到等式的幾何特征，并聯想到角平分線定理. 該方法簡潔明了，對學生的初等幾何知識掌握情況具有考查性. 使用該方法需要學生具有一定的初等幾何知識儲備量和敏銳的觀察能力.

法三：（構造平行線段）

如圖3，過A作x軸的垂線，過Q作線段QG使G點在垂線上且QG=QA，則AG∥PQ. 要證=，即證=，即證△ABG～△PBQ，即證B，Q，G共線.

前同解法一.

由QG=QA易知G（x，4-y），于是k===k-，k===-k+，又+==2k，故k=k，即B，Q，G共線.

故存在與P不同的定點Q（0，2），使得=恒成立.

評注：通過構造平行線段，將線段比例關系轉化到相似三角形中，再利用相似三角形知識求證等式. 解決問題的關鍵在于通過轉化由比例關系聯想到相似三角形. 該方法具有一定的巧妙性，雖然過程簡單，但不易操作. 使用該方法需要學生具有獨特的審題視角.

法四：（執果朔因法）

前同解法一.

欲證=，即=，則需證=，由等比定理得，需證=，化簡得（kxx-x）2=（kxx-x）2.

因為x≠x，所以需證kxx-x=-kxx+x，即需證x+x=2kxx，由x+x= -，xx=-，該式顯然成立.

故存在與P不同的定點Q（0，2），使得=恒成立.

評注：從=出發，構建代數等式，尋求等式成立的條件. 在解決問題的過程中層層遞進，充分利用了等式的性質，最后運用韋達定理證明等式成立. 該方法又稱分析法，從結論出發逐步推向已知，是證明結論常用的方法之一，學生易學，但使用該方法解決問題時需要方向明確，注意等式成立的條件.

法五：（作差法）

前同解法一.

因為-=-==0，因此=. 故存在與P不同的定點Q（0，2），使得=恒成立.

評注：通過將等式=變形為-=0，結合韋達定理證得等式成立，從而解決問題.該方法簡單快捷，關鍵在于對等式進行作差處理，變形后再求證，能夠大量減少計算步驟，節約時間.

法六：（代數消元法）

前同解法一. 這里考慮不用韋達定理.

不難得出=，而==. 借助代數消元思想，考慮不用韋達定理的消元法，分別對的常數項消元、一次項消元、常數項與一次項消元、整體消元[3]，下簡述一次項消元.

因為2kx-1=-，2kx-1= -. 又y=kx+1，y=kx+1，

從而==== =. 又因為=，所以=，即=.

故存在與P不同的定點Q（0，2），使得=恒成立.

評注：用代數式分別表示出和，觀察式子，借助代數消元思想對進行消元處理，于是得出=，從而解決問題. 該方法充分利用了已有代數式的特點，通過帶入消元，回避了韋達定理，解法新穎.

法七：（化簡法）

當直線l與x軸平行時，設直線l與橢圓相交于C，D兩點. 如果存在定點Q滿足條件，則有==1，即QC=QD. 所以Q點在y軸上，可設Q點的坐標為（0，y）.

當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y=kx+1，A，B的坐標分別為（x，y），（x，y）. 聯立

+

=1，

y=kx+1，得（2k2+1）x2+4kx-2=0. 其判別式Δ=（4k）2+8（2k2+1）>0，所以，x+x=-，xx=-. 由=得=，化簡得[kxx+（1-y）x]2=[kxx+（1-y）x]2. 因為x≠x，所以kxx+（1-y）x=-kxx-（1-y）x. 即（1-y）（x+x）= -2kxx，=，所以1-y= -1，y=2.

當直線l斜率不存在時，===3-2，==3-2，所以此時=也成立.

綜上可知，存在點Q（0，2）使得=恒成立.

評注：通過直線l與x軸平行的特殊情況找到Q點的坐標應該滿足（0，y）的形式;然后假設直線l的斜率存在，聯立方程，利用韋達定理對等式=進行計算，不斷化簡等式求出y，從而得出Q點的坐標;最后對直線l斜率不存在的情況帶入進行驗證.

法八：（直接證明法）

當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y=kx+1，A，B的坐標分別為（x，y），（x，y）. 設Q點的坐標為（m，n）. 聯立

+

=1，

y=kx+1，可得（2k2+1）x2+4kx-2=0，其判別式Δ=（4k）2+8（2k2+1）>0. 所以x+x=-，xx=-. 由=得=，化簡得[（-2m+2k-2nk）xx+（n-1）2（x+x）]（x-x）=0.因為x≠x，所以（-2m+2k-2nk）xx+（n-1）2（x+x）=0，即=0. 要使=恒成立，則需4n-4-4（n-1）2=0，

4m=0，解得m=0，n=2（n=1舍去）. 所以求得Q（0，2）.

當直線l斜率不存在時，===3-2， ==3-2，所以此時=也成立.

綜上可知，存在點Q（0，2），使得=恒成立.

評注：首先假設直線斜率存在，設出Q點的坐標，然后聯立方程，利用韋達定理求解等式=，得出Q點的坐標，最后對直線l斜率不存在的情況進行帶入驗證. 該方法思路清晰，是多數學生容易想到的方法，但這種方法步驟較多，且運算量大. 因此，該方法對學生的運算能力有一定的要求.

[?]問題推廣

推廣是數學研究中極重要的手段之一，數學自身的發展在很大程度上依賴于推廣[4]. 抓住問題本質，通過對問題進行推廣，產生新問題，探尋新方法，能夠拓展學生的知識視野，培養學生的觀察能力和創造能力.問題推廣還有利于學生體會數學研究的一般思路：研究特殊問題→提出一般問題→解決新問題[5].

研究題目，將問題一般化，將P點一般化為P（0，m）（b>m>-b）放在y軸上，探究發現，存在與點P不同的定點Q使等式恒成立;再考慮將一般化后的P點放在x軸上，仍存在與點P不同的定點Q使等式成立.要證等式成立，根據角平分線定理，即證∠PQA=∠PQB，于是問題也可推廣為證明∠PQA=∠PQB.考慮雙曲線和拋物線，探究發現問題推廣到雙曲線、拋物線仍然成立[6].

推廣1：橢圓E：+=1（a>b>0），過點P（0，m）（b>m>-b）（P（m，0）（a>m> -a））的動直線l與橢圓相交于A，B兩點. 在平面直角坐標系xOy中，存在與點P不同的定點Q

0，

Q

，0

，使得=或∠PQA=∠PQB.

推廣2：雙曲線E：-=1（a>0，b>0），過點P（0，m）（P（m，0）（a>m>-a））的動直線l與雙曲線相交于A，B兩點.在平面直角坐標系xOy中，存在與點P不同的定點Q

0，-

Q

，0

，使得=或∠PQA=∠PQB.

推廣3：拋物線E：y2=2px（p>0），過點P（m，0）（m>0）的動直線l與拋物線相交于A，B兩點.在平面直角坐標系xOy中，存在與點P不同的定點Q（-m，0），使得=或∠PQA=∠PQB.

參考文獻：

[1]? 李萌浩. 要專注高考考點更需拓寬學生視野——高三復習課一題多解教學方法探究[J]. 數學教學通訊，2019（09）.

[2]? 劉玲，王強. 不忘初心任性算到底——2015年四川高考數學第20題[J]. 數學教學研究，2016，35（08）.

[3]? 徐小琴，趙思林. 2015年高考數學四川卷理科20題探究[J]. 數學教學通訊，2016（15）.

[4]? 朱華偉，張景中. 論推廣[J]. 數學通報，2005（04）.

[5]? 劉成龍，胡琳. 高考數學創新試題的幾種類型及評析[J]. 中學數學，2019（05）.

[6]? 周文超. 靈動的思維與執著的探索——兩道高考題的教學思考[J]. 中學數學教學參考，2017（07）.