數學高考試題中的核心素養探析

許映春

[摘? 要] 在核心素養的背景下，高考試題注重考查學生的綜合能力，體現核心素養的考查意圖，反映當前新課標的教學成果. 文章以一道高考試題為例，通過挖掘試題資源，以探索多解和變式提升的方式為學生搭建施展才華的平臺，讓學生在領略高考試題魅力的同時提升探究能力和思維水平，培養學生的綜合能力，以落實數學核心素養.

[關鍵詞] 核心素養;高考試題;培養

當前，新課程背景下的高考改革進入關鍵時期，隨著新一輪高考改革理念的落實，高考也更加注重基礎性和選拔性. 縱觀歷年的高考試題，不難看出命題人落實數學核心素養于各個試題之中，強調對探究能力、思維能力的考查. 從而，教師應及時理解高考試題變化的本質，真正理解高考改革，真正理解試題，在教學中落實教書育人的目標.

鑒于此，近年來廣大一線教師都在積極探索培養核心素養的路徑，通過挖掘高考試題資源，以引申拓展和變式提升的方式為學生搭建施展才華的平臺，讓學生在領略高考試題魅力的同時提升他們的探究能力和思維水平，培養學生的綜合能力，以落實數學核心素養.

[?]問題呈現

如圖1，已知△ABC中，M為邊BC的中點，∠C=90°，若sin∠BAM=，則sin∠BAC=________.

[?]展現特色，領悟意圖

本題是一道填空題，難度中等偏上，需要學生在考試中既快又準地完成解題. 不過不少學生在解決本題時易受諸多因素影響而耗時過多，導致無法完成整張試卷;又或是因為運算能力薄弱而出現錯誤，影響到最后考試的成績.

事實上，就是這么看似不經意的一道小題，其“韻味”卻是無限的. 本題所展現的特色：其設計聚焦核心知識，凸顯核心素養，主要考查學生結合已有知識進行運算的能力，探索解決問題的思路. 在筆者看來，“運算”能力不僅是學生的童子功，更是核心素養理念下需要培育的重要能力. 不少學生認為運算就是充分利用公式進行計算，事實上并非如此，核心素養下的運算能力就是思維與運算的有效溝通，需要學生具備邏輯素養、數學建模和運算能力，只有具有了這些能力，才能在高考中完美取勝.

[?]探究解法，寓教于思

盡管本題在考場答題需要做到快、準，但在平時的練習中卻需要引導學生深入領略其風景，從而領悟其韻味，真正意義上理解編者的意圖，以達到寓教于思的效果，培養學生的探究能力和思維能力.

本題涉及三角形計算的相關知識點，其韻味主要在于它的多解性. 萬變不離其宗，盡管這是一道一題多解的試題，但不管運用哪一種解法都需運用到數形結合這一重要思想方法. 下面，筆者對本題進行深入分析.

解法1：設BC=a，AB=c，AC=b. 在△ABM中，溝通正弦定理和誘導公式，可得==，從而a=，整理后可得（3a2-2c2）2=0，=，所以sin∠BAC==.

意圖：基礎知識掌握的熟練程度直接決定著學生是否有能力將題干中的材料轉化為所需要的相關概念、公式等. 在本題中，命題者以圖形和公式作為題干信息，學生需要結合題干信息準確選擇和運用相關知識. 所以，這一解法主要考查學生對相關公式、定理的靈活運用能力.

解法2：因為sin∠BAM=，所以cos∠BAM=.

如圖1，在△ABM中，利用正弦定理，可得=，所以===.

在Rt△ACM中，有=sin∠CAM=sin（∠BAC-∠BAM）. 根據題意，可知BM=CM，所以=sin（∠BAC-∠BAM），借助兩角差的正弦展開化簡，可得2sin∠BACcos∠BAC-cos2∠BAC=1，所以=1，可得tan∠BAC=. 再結合sin2∠BAC+cos2∠BAC=1和∠BAC為銳角，解得sin∠BAC=.

意圖：從這種解法來看，命題者著重考查的是學生對幾何量的求解能力，這需要教師在長期的教學實踐中注重引導，著力提升其計算求解能力.

解法3：在Rt△MAC與Rt△BAC中，有tan∠MAC=，tan∠BAC=. 因為M為邊BC的中點，所以BC=2MC，所以tan∠BAC=2tan∠MAC=tan（∠BAM+∠MAC）=. 又因為sin∠BAM=，所以cos∠BAM=，tan∠BAM=，所以2tan2∠MAC-2tan∠MAC+1=0，所以tan∠MAC=，tan∠BAC=. 再結合sin2∠BAC+cos2∠BAC=1和∠BAC為銳角，解得sin∠BAC=.

意圖：這一解法對學生考查的能力與解法2相同，不同點在于所涉知識點不同.

解法4：如圖2，設AM=3，作MD⊥AB，垂足為點D. 根據sin∠BAM=，可求得MD=1，AD=2. 設CM=MB=x，則有AC2=9-x2，BD=. 在Rt△ACB中，CA2+CB2=AB2，則有9-x2+4x2=（+2）2，所以（x2-3）2=0，x=，所以CB=2，AB=AD+BD=3，所以sin∠BAC===.

意圖：這一解法主要思路在于構造直角三角形求解，需要學生在明確運算對象的基礎上構造直角三角形，進一步解數學問題，進而得出正確結論. 在本題中，學生不僅需找尋到構造直角三角形的正確思路，還需要通過運算得出正確答案. 從這種角度來看，學生能力的培養十分重要.

解法5：如圖3，以點C為原點、CA為x軸、CB為y軸建立直角坐標系.

設A（x，0），B（0，2），M（0，1），則有=（-x，2），=（-x，1）. 根據向量的數量積，可得·=

cos∠BAM. 又因為sin∠BAM=，可得cos∠BAM=，x2+2=··，進一步解得x=.

在Rt△BAC中，AB2=CA2+CB2=6，所以AB=，所以sin∠BAC===.

意圖：建系并利用平面向量的數量積求解是創新解法，但由于缺乏對向量的正確認識，學生很難將思維遷移到建立坐標系這樣的解法上來，而一旦確定了建系這一思路，學生也就恍然大悟了.

高中數學問題的最大特色就是問題的解法多樣，基于對數學問題的不同理解方向選擇不同的解題策略，根據運算對象的理解程度不同選擇不同的運算方法，從而收獲多題訓練的效果. 當然，多解中運用到的方法有的比較簡潔，這樣可以快速而準確地完成解題;也有的較為煩瑣，這樣運算也易出錯，出錯率自然也就高. 長期的一題多解訓練，就是通過優化探究思路，精準選擇解法，有效提升學生的探究能力和運算素養，提高解題能力，最終提升學生的數學核心素養.

[?]變式拓展，孕育創新

數學知識間的聯系往往是隱性的，常常隱匿于一些典型試題之中. 教學中，教師若對一些典型例題、習題和一些高質量的高考試題進行拓展、改裝和引申，也就是通過“借題發揮”則可以最大可能地覆蓋知識點，實現對知識的遷移和融會貫通，在這個過程中還可以彰顯出較強的創新意識. 基于此，筆者對本題進行如下變形.

變式1：已知△ABC中，M為邊BC的中點，C=，若tan∠CAM=2tan∠BAM，試求tan∠CAM.

變式2：已知△ABC中，M為邊BC的中點，若tan∠CAM=2tan∠BAM=，證明：C=.

意圖：就這樣，通過對一個問題的變式達到了解決多種問題的效能，對引導學生主動學習，掌握雙基，領悟數學思想，發展創新意識都有著很好的推進作用.

[?]核心素養下的教學思考

1. 加強運算能力的培養

正確計算對學生最終成績的影響極大，這一點是毋庸置疑的. 高考中，不少學生的失分點在于運算能力薄弱，易出現失誤，易影響解題速度. 本題的解答中，大部分學生都是因為運算能力薄弱而造成的失分，因此，培養運算能力刻不容緩. 同時，深入剖析不難看出，想要在高考的重壓下完成較大的計算任務并獲得正確答案，必須具有良好的運算習慣和較高的運算能力. 有鑒于此，教師需在長期的教學實踐中一以貫之地加以培養，以提升學生的運算能力.

2. 加強創新能力的培養

近年來，高考命題著重強調能力立意，從而對學生的創新能力提出了更高的要求. 在教學中，教師可以探究為基礎，將創新藏于問題之中，引導學生對問題進行分析、思考、探究和反思，探索得出解決問題的方法，從中提升創新能力. 對于這道高考試題而言，從命題角度來說，其命制過程凝聚了命題者的創新智慧，充分體現了“圖”中思道、“式”中求法的韻味，強化了運算能力和創新能力，是一道很好的創新試題. 從學生課堂中的解答來看也是一種創新，不僅考查了學生運算、推理、邏輯思維等學習能力，還考查了學生求異的創新能力，同時運用好數形結合是求解的關鍵.

3. 強化高考試題的應用性

高考試題蘊含著豐富的教學資源，具有較高的典型性、創新性和拓展性，都是值得探究性學習的典型問題. 從而，無論是高三一輪和二輪復習，還是高一或高二年級的教學中，都可以積極開發和利用好高考題，引導學生展開認知活動，使其成為提升探究能力、解題能力和創新思維能力的源頭活水. 例如，教師以本題為素材，激發了學生的學習興趣，培養了學生的探究能力和運算能力，以實現核心素養的培育.

總之，我們不能總是從意識層面去強調運算能力、探究能力和創新能力的重要性，而應該把握數學核心素養的本質，從本質中探尋培養路徑. 對于高考試題，一線教師應予以極大的關注，充分理解命題的意圖，充分挖掘其內在潛能進行解法的探究，加強變式拓展，讓學生通過解題感受試題的靈動與跳躍，以孕育數學核心素養.