解讀知識核心，探討破題策略

唐凝

[摘? 要] 函數零點問題的探究教學，需要關注其中的核心知識和類型問題的解題思路，核心知識包括定理定義、零點的等價關系、數形策略，而常見的類型問題有零點個數、范圍、參數取值等. 文章深入解讀零點核心知識，圍繞具體問題探討解題策略.

[關鍵詞] 函數;零點;知識;定理;問題;建議

[?]問題綜述

函數零點問題是高中數學的重難點內容，同時問題的綜合性和關聯性極強，常與不等式、方程、幾何等知識相結合，在高考中常出現在選擇題、壓軸導數問題中. 零點問題不僅包含了函數、零點知識，其中也隱含了數學方法和思想，如常見的數形結合、分離參數、化歸轉化、換元等. 函數零點問題可全面考查學生對函數知識的理解和數學方法應用的能力. 問題探究建議立足函數零點的核心知識，深刻理解定理定義內涵，整理常見的問題類型，歸納解題方法. 下面從“知識解讀”和“問題探究”兩個環節對函數零點問題進行探討.

[?]知識解讀

掌握函數零點問題的知識核心，理解定義定理的知識內涵是問題突破的基礎. 關于函數零點問題，需要關注以下幾點.

1. 函數零點的定義

對于函數y=f（x），教材中定義使f（x）=0的實數x稱之為函數y=f（x）的零點.

分析上述定義，可知函數y=f（x）的零點就是方程f（x）=0的實數根，也是y=f（x）圖像與坐標x軸交點的橫坐標. 在探究學習時需要關注以下兩點：一是定義中的函數零點不是單純的“點”，而是函數圖像與x軸交點的橫坐標;二是注意類比導數極值點，同樣極值點也不是“點”，而是函數取得極值時x的值. 但無論是函數零點，還是極值點，通過觀察圖像可初步確定.

2. 函數零點的等價關系

根據上述對函數零點的定義分析可知，函數零點有如下三個等價關系：

函數y=f（x）有零點?方程f（x）=0有實數根?函數y=f（x）的圖像與x軸有交點.

對于上述三個等價關系，可從方程實數根、與x軸的交點來把握函數的零點，同時建立零點個數與根的個數、交點個數之間的關聯.

3. 函數零點的存在性定理

函數零點存在性定理的內容較為豐富，首先呈現其定理，然后分段理解.

定理：若函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根.

定理的內容可分為三段，第一段描述函數的連續性，第二段描述函數與x軸的交點，第三段進行零點確定. 在理解時需要把握定理的三個關鍵點：一是函數圖像的連續性，如果函數的圖像不連續，則不能保證端點值異號就一定有零點;二是兩端點函數值滿足f（a）·f（b）<0，實則表示與x軸有交點;三是定理描述的存在零點，指的是至少存在一個零點，并沒有說明具體的零點個數，后續還需結合相關知識進行確認判斷.

4. 函數零點問題的解析策略

函數零點問題往往基于函數知識而構建，而函數具有“數”與“形”兩大知識屬性，因此數形結合是解析該類問題的核心策略. 解析時可利用函數的圖像來研究函數的性質，從而將抽象的函數直觀化、具體化. 學習數形結合策略要側重以下幾點：一是熟悉常見初等函數的圖像;二是搭配參數分析法，對于較為復雜的函數，可先進行參數分離，將復合函數等效轉化，然后利用數形結合繪制圖像.

[?]問題探究

函數零點問題的類型較為眾多，常見的包括求零點個數，判斷零點的區間，分析參數取值，以及探究復合函數等，下面結合實例加以解讀探究.

類型一：函數零點個數或區間問題

函數零點個數問題較為常見，問題難點主要集中在函數性質判斷和方法選取上. 求函數零點個數一般有以下三種方法：①直接解方程，即將函數問題轉化為方程問題，求方程的解來確定函數零點個數;②研究函數單調性和端點值，單調函數至多有一個零點，若函數不是單調函數，則可將其分解為單調區間上的零點存在性問題，該方法常結合導數來研究函數性質;③構造函數法，根據對應的方程來構建兩個函數，則零點個數就是兩個函數的交點個數，該方法常搭配圖像使用.

例1：函數f（x）=ex-

x

3的零點個數是（? ）

A. 1? B. 2? C. 3? D. 4

解析：①當x≤0時，f（x）=ex+x3，對應導函數f′（x）=ex+3x2>0，則函數在區間上單調遞增，又知f（-1）=e-1-1<0，f（0）=1>0，則此時函數f（x）=ex-

x

3有唯一的零點.

②當x>0時，令f（x）=ex-x3=0，可解得ex=x3?x=3lnx，原函數的零點就為函數g（x）=x-3lnx的零點，其導函數為g′（x）=1-. 當x>3時，g′（x）=1->0，則函數單調遞增;當3>x>0時，g′（x）=1-<0，函數單調遞減，又知g（3）=3-3ln3=3（1-ln3）<0，g（1）=1>0，g（6）=6-3ln6=3（2-ln2）>0，所以原函數在區間3>x>0和x>0上各有一個零點.

綜上可知，函數零點個數為3，選C.

評析：上述在求函數零點時采用了分類討論、導函數分析的策略，即方法二，問題的難點主要有兩點：一是除去絕對值符號，這也是后續分類的標準;二是解析指數函數ex的性質. 求零點個數問題，需要關注區間的端點位置、斷點位置.

類型二：討論函數零點的范圍

函數零點范圍問題關注的是零點的范圍，可結合零點存在性定理、函數性質來解析. 解析時首先分析函數是否連續，若不連續則需分段求解，然后結合函數性質論證零點的取值范圍;若函數中的參數對單調性有影響，則須討論參數取值.

例2：（2020年高考全國Ⅲ卷理數）設函數f（x）=x3+bx+c，曲線y=f（x）在點

，f

處的切線與y軸垂直.

（1）求b;

（2）若f（x）有一個絕對值不大于1的零點，證明：f（x）所有零點的絕對值都不大于1.

解析：（1）過程略，b=-. （2）可知f（x）=x3-x+c，導函數f′（x）=3x2-，令f′（x）=0，可解得x=-或x=，則f′（x）和f（x）的取值情形如表1.

①由于f（1）=f

-

=c+，所以當c<-時，f（x）只有大于1的零點;

②由于f（-1）=f

=c-，所以當c>時，f（x）只有小于-1的零點;

③由題設可知-≤c≤，則當c= -時，f（x）有兩個零點，分別為-和1;當c=時，f（x）的兩個零點分別為-1和;

④當-

-1，-

，x∈

-，

，x∈

，1

.

綜上可知，若f（x）有一個絕對值不大于1的零點，則f（x）所有零點的絕對值都不大于1.

評析：上述證明特定條件下f（x）的零點均不大于1，采用了函數性質分析和參數取值討論的策略，分別討論參數對函數零點取值范圍的影響. 對于零點取值問題，需要把握兩個關鍵點：一是函數零點是否存在;二是參數對零點取值的影響.

類型三：根據零點條件求參數取值

零點條件下的參數取值問題常采用數形結合的方法，將問題等效為方程問題，后續采用構造法突破，另外又分參數分離和整體構造兩種：①參數分離構造法，將參數變換到等號一側，另一側則可構造函數，只需研究一側函數的取值即可;②整體構造，常結合函數圖像，但需要逐步討論參數取值.

例3：已知函數f（x）=lnx-2ax恰有三個零點，則實數a的取值范圍為_____.

解析：f（x）=lnx-2ax有三個零點，等價于方程lnx=2ax有三個解，基于方程構造函數y=lnx和y=2ax，則轉化為y=lnx和y=2ax的函數圖像有三個交點. 又知y=2ax為經過原點的直線，可繪制圖1所示圖像.

①當a≤0時，由圖可知，函數y=lnx和y=2ax沒有三個交點，不滿足條件.

②當a>0時，當且僅當y=2ax為y=lnx的切線時，方程lnx=2ax有兩個解. 令y=2ax為y=lnx的切線，設切點A（x，lnx），則切線方程為y-lnx=（x-x），由于切線經過原點，則可解得x=e，此時切線的斜率為. 根據題意可得0<2a<，即a∈

0，

時原函數有三個零點.

評析：上述探究零點條件下參數的取值，解析時采用函數構造的方法，將問題轉化為兩函數的交點問題，后續結合圖像進行參數取值討論，有效降低了思維難度. 其中涉及了分類討論、函數構造、數形結合等策略，技巧性極強.

[?]總結思考

上述重點探究了函數零點問題解析的核心知識，并結合考題探討常見類型問題的突破思路，其中的知識核心是教學的重點，開展類型探究則有利于提升學生的解題能力.

開展零點問題探究，要立足核心知識，關注問題的定理定義及等價關系，探索問題的轉化策略和解析思路. 教學中可從以下幾個方面引導：一是方程的根、函數圖像交點與函數零點之間的關系，該內容是后續問題轉化的核心依據;二是深入解讀定理，零點存在性定理較為抽象，教學中可結合基本函數具體講解，關注定理的核心要點;三是總結問題的解析策略，從上述問題的探究過程來看，化歸轉化、分類討論、數形結合、構造函數、參數分離是該類問題突破的常用策略，教學中有必要引導學生理解方法內涵、掌握方法技巧，結合實例幫助學生積累解題經驗.