分類討論思想在初中數學教學中的應用

申海學

數學作為一門對學生邏輯思維能力和計算能力要求極高的學科，有其獨特的學科思維方式。分類討論思想作為出現率較高的思維方式，是初中數學教師的教學重點，貫穿學生數學學習的始終。筆者將結合實例，就分類討論思想在初中數學的應用展開討論。

結合簡單實例，滲透分類討論思想。教師應該為學生介紹分類討論思想的概念及應用情況，以符合學生認知規律的教學模式開展教學，讓學生對分類討論思想有基礎的認知和判斷。

部分學生在遇到這種問題時往往焦頭爛額，絞盡腦汁也很難迅速做出題目，甚至會通過基礎的代值法解題，使題目復雜化，也沒有跟隨出題人的意圖鍛煉自己的數學思維。教師需要提示學生：“a和b均為代數，那么a和b就都有兩種可能，要么正數要么負數，那么便可以應用分類討論思想，分為三種情況，ab均正、ab均負、ab異號，結果自然就選A。”

聯系生活實際，鍛煉分類討論思維。發展教育事業，為學生傳道授業解惑的目的并不是讓學生提高卷面成績，而是讓學生有效利用所學知識，以最高效的方式發現并解決生活中的實際問題，做到學以致用。因此，教師可以結合生活實際問題培養學生分類討論的思維方式。

教師需要結合生活實際為學生呈現數學問題：“甲乙兩個家庭均選擇在周末到集市上購買蔬菜，發現某一蔬菜店有促銷活動，具體如下。倘若購買蔬菜的質量不超過30千克，那么蔬菜價格為3元/千克；倘若購買的蔬菜的質量超過30千克但不超過50千克，那么蔬菜價格為2.5元/千克；如果購買蔬菜的質量大于50千克，那么蔬菜價格為2元/千克。現在已知甲家庭因為經費問題，不得已選擇分2次購買蔬菜，一共購買了70千克蔬菜，第二次購買的蔬菜質量大于第一次，同時共付款189元，而乙家庭一次性購買70千克，請問甲家庭第一次和第二次分別購買了多少千克蔬菜？”

教師需要給予學生一定的思考時間，在激烈的小組討論后，教師可以幫助學生分析問題：“已知甲家庭2次共購買蔬菜70千克便可以此作為出發點進行思考，假設甲家庭第一次購買蔬菜x千克，那么第二次則購買了（70-x）千克，因為第二次購買的蔬菜質量大于第一次，則得到不等式70-x>x，解得x<35。這時，問題就變成了含未知數x的實際問題，因為給定題目將購買蔬菜的情況分為3種，那么x也應分3種情況進行討論：第1種為當0

注重積累整合，幫助學生歸類題型。初中數學一共六本教材，其中涵蓋了幾何和代數的眾多知識點，并且囊括了各種數學模型和題型，經常需要運用分類討論思想。教師可以建議學生準備數學積累本，將應用分類討論思想的相關題型進行整合積累。

第一類為概念產生的分類。如：“已知直角三角形的一邊長為5，且一個銳角為30°，求三角形的周長。”這時學生需要跳出“勾三股四弦五”的思維定式進行分類討論：5既可以是直角三角形的斜邊，也可以是直角三角形的任何一條直角邊。第二類為幾何類題型的分類討論情況。如：“已知圓O的半徑為10cm，弦AB平行于CD，AB=16cm，CD=12cm，求解AB、CD之間的距離。”這道題同樣需要分類討論，根據弦的定義可知，兩條弦可以在圓心的同側，也可以在圓心的異側，教師可以引導學生結合數形結合思想、分類討論思想。第三類是函數類題型的分類討論，尤其是二次函數和平行四邊形、圓等知識點有機結合的題型，需要頻繁地應用分類討論思想。教師需要重點講解，并為學生強調應用原則：分類討論必須確定分的對象，并且以同一標準進行分類，分類情況必須是并列關系，并且最終需要檢驗與整合答案。

總之，分類討論于數學學習不可或缺。教師需要在日常教學中抓住分類討論思想的精髓，遵循其原則，引導學生用最高效、最科學的方法解決數學問題。除此之外，教師還應該根據學生的學習狀況，為學生布置一些應用分類討論思想的有難度的題目，在一定程度上鍛煉學生的思維。

（作者單位系江蘇省南通崇川學校）