平面向量數量積教學案例

張亞

高中數學教學除了要完成教學課程標準規定的內容之外，還要注重引導學生多方位、多角度地思考問題和解決問題， 鍛煉學生的多向思維能力。培養學生的核心素養，要求數學技能與思維訓練相兼顧，本節“平面向量數量積”，通過一個數學問題來引出學生對于課題的思考，再結合教師的引導與講解，總結出平面向量數量積的運算規律，再通過典型的題目解答，從多變的題型中找到變化規律和不變的本質，從而提升學生的數學素養。

一、教學設計思路

本節課是新授課，可以將情境演繹法、實際操作法結合起來，讓學生在輕松愉悅的氛圍中體會向量數量積的運算規律。在教師的引導下，通過總結之前學過的平面向量的加減法、數乘之類的線性運算，引出向量之間的相乘運算，建立新舊知識之間的聯系，從實際問題引出抽象概念，通過教師的引導，再學會用數學模型去解決實際問題。

二、教學材料分析

本節課選自人教版高中數學必修，本單元主要內容是平面向量的概念、加法、減法、數乘、數量積及相關運算規律和實際應用。向量是一種重要的數學模型，讓學生掌握向量的有關運算和應用，能夠提升學生的獨立思考能力、幫助學生解決更多的問題。

三、學情分析

學生在學習本節課之前已經充分認識了平面向量的概念，也理解掌握了向量的加減法等線性運算，為本節課的學習奠定了基礎。但向量的數量積是一種非封閉性運算，與線性運算相比，運算結果是一元的，但運算對象卻是二元的，這種運算在學生之前的數學學習中還沒有遇到過，因此，學生的認知和理解能力比較薄弱，學習起來比較吃力。

四、教學目標

1、充分理解平面向量和向量的數量積的概念，能夠區分向量數量積與數乘之間、向量數量積運算規律與實數運算規律之間的區別，熟練掌握向量數量積的運算規律，能夠通過向量數學模型來解決數學問題和實際問題。培養學生數學抽象、數學運算的核心素養。

2、通過動手操作、實踐演練，提升學生數學思維能力和處理數學問題的能力。培養學生數學建模的核心素養，培養學生多方位、多角度思考問題、歸納總結的能力。

五、教學重難點

1、充分理解平面向量的概念，認識平面向量的方向、長度，區分平面向量的數乘與數量積的概念。

2、理解掌握向量的數量積運算規律，能夠熟練運用平面數量積運算規律來解決數學問題。

3、能夠識別實際問題中平面向量數量積的具體應用場景，例如速度、力、位移等運算場景，能夠運用向量運算規律和數學模型來解決實際問題。

六、教學策略

首先總結一下之前學過的平面向量有關的概念及運算，讓學生充分理解和認識向量的線性運算。然后再利用情景法和任務型導入法，通過問題引出向量的數量積運算概念。接著再由教師引導類比普通的運算規律來總結向量的數量積的運算規律。最后再由教師提出一些實際問題，讓學生通過自己的理解掌握來解決。

由于向量的數量積運算是一種帶方向的運算，因此在實際教學過程中可以利用多媒體的優勢，在教學課件中充分展示平面向量運算的具體過程，幫助學生更好地理解掌握向量的運算規律。

七、教學過程

1、回顧知識，引入新概念

在開啟新課程“平面向量數量積”的學習之前，教師要善于引導學生復習回顧，保證學生掌握了基本的向量概念和知識，再此基礎之上再開展新課程的學習。

教師：同學們，在學習向量的數量積這一課程之前，我們先來回顧一下上節課的學習內容。我們上節課主要講了哪些知識點呢？

學生：平面向量的基本定理、平面向量的正交分解及坐標表示、平面向量的坐標運算和平面向量共線的坐標表示。

教師：有哪位同學可以說一下平面向量基本定理呢？

學生：如果兩個向量a、b不共線，那么向量p與向量a、b共面的充要條件是：存在唯一實數對x、y，使p=xa+yb。

教師：接下來我們將一起學習新的概念“平面向量的數量積”。

引導學生回顧之前學過的向量的概念及其線性運算，初步體會研究向量運算的一般方法：即由特殊模型中抽象出向量的概念，然后從概念出發來進一步研究向量的性質。在學習向量數量積過程中，需要學生區分向量和向量數量積的概念，深入理解向量數量積的性質和運算規律，從而提高向量數量積的教學效率。

2、創設情景，激發學生思考

教師利用多媒體播放有關平面向量數量積的相關教學視頻，向學生全方位展示平面向量數量積的計算過程和原理，幫助學生理解新知識。

引入：

問題1：拉小車的力所做的功如何計算？

問題2：功是矢量還是標量？

問題3：日常生活中，拉較重物體時身體一直盡量保持前傾，這樣做的理由是什么？

類比力和位移的夾角的定義，指出下圖中力和位移夾角的大小或范圍：

OA=a，OB=b

請學生根據類比力和位移的夾角，明確向量夾角的定義。根據通過類比功的計算公式來進一步引導學生明確向量數量積的定義：

已知兩個非零向量 a 、 b ，那么 a·b= | a || b |cosθ（θ是 a 與 b 的夾角）叫做 a 與 b 的 數量積 或 內積 ，記作 a·b 。. 零向量與任意向量的數量積為0。

[從物理學的角度來引入數學概念，利用物理模型解釋平面向量數量積的概念和性質，借助PPT向學生展示授課內容，營造良好的教學環境，有利于提高學生的學習興趣。]

3、問題導學，提高學習效率

在此基礎上教師進行提問數量積的幾何意義，通過例題講解，提高學生對平面向量數量積概念和性質的理解。

問題：當力、位移的大小不變，隨著夾角的變化，功也在變化，這種變化如何解釋？

[在教學過程中教師要根據學生的知識接受程度來安排教學進度，以問題導學的形式來引導學生思考問題，促進學生思維的發展。同時在問題導學過程中引導學生樹立問題意識，善于發問，并善于解決問題。]

4、例題講解，提高解題能力

例題：已知|a|=6，|b|=3，若向量a與b的夾角為60度，求a*（b-2a）的值。

[通過講解課堂例題，有助于學生較快的掌握教學內容。課本中的例題中涉及了向量的數乘運算，又考察了向量的數量積運算與分配律等知識，能夠幫助學生區分想來數量積運算與數乘運算之間的不同，通過練習相關題目，有利于提高學生的解題能力。]

八、教學反思

在平面向量數量積的學習過程中，教師要立足于教材，選取示范性例子，讓學生自己發現問題、獨立思考解決。平面向量的運算涉及了位移、方向等內容，數量積的運算與一般的實數運算不同，教師要引導學生主動發現問題、探索解決方法，在新舊知識之間建立起聯系，讓學生在思考中理解向量運算的具體含義。并通過練習典型例題來更好地應用平面向量數量積運算規律。

在高中數學教學過程中，更多的是注重思維方式的培養，學生學習數學，不僅要學習數學課程標準中的內容，還要在學習過程中培養獨立思考的能力，讓學生參與到問題的猜想、歸納、總結過程中，成為學習的主導者，以此來幫助學生建立數學思想。