含裂紋內嚙合變位齒輪的疲勞性能研究

梁興波

摘要：針對內嚙合變位齒輪，裂紋是影響齒輪傳動系統的主要因素。建立內嚙合變位齒輪的動力學模型，得出內嚙合變位齒輪的接觸嚙合力，并對虛擬樣機進行有限元分析，結果表明，應力最大值點位于接觸側的齒根圓位置。在此基礎上，運用聯合軟件分析的方法，對內嚙合變位齒輪的裂紋疲勞分析。

關鍵詞：變位齒輪;裂紋;嚙合力;聯合軟件分析法

中圖分類號：U463.3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-957X（2021）06-0001-03

0? 引言

齒輪傳動廣泛用于各重工和制造行業[1]，同時常被用作減速器、增速器、差速器和換向機構以及其它特殊用途，是世界各國機械傳動發展的重點[2]。但是它也有存在自身的一定缺陷，那就是齒輪疲勞，其中疲勞斷齒所占比例最大。特別是出現裂紋之后，對疲勞壽命和接觸嚙合都有很大的影響，對整體的效應也會有影響。然而疲勞斷裂不會發生明顯的塑性變形，相對比較難檢測和預防，這是影響齒輪傳動效率以及造成經濟損失的重要因素。

針對含裂紋內嚙合變位齒輪疲勞性能的研究，為工程檢查和評估提供依據參考，也有利于提高它的可靠性和壽命，大大提高工作效益。

1? 內嚙合變位齒輪模型建立

內嚙合變位齒輪的主要參數如表1所示。

三環傳動主要采用內嚙合角度變位齒輪，所以要建立內齒板和外齒輪的模型就需要運用變位齒輪的構建方法。

在笛卡爾坐標系下，變位齒輪的齒廓曲線參數方程為：

在式（1）和式（5）中，db為基圓直徑;theta為壓力角由0到45°。

建立第一條變位齒輪的齒廓曲線，第二條變位齒輪的齒廓曲線通過創建基準面，再鏡像生成，最后拉伸實體。對于外齒輪和內齒板的構建輪齒是不一樣的，內齒板采用切除法構建輪齒。

2? 內嚙合變位齒輪動力學分析

根據內嚙合齒輪副的力學模型并結合齒輪動力學模型，創建本文內嚙合變位齒輪的動力學模型，模型如圖1所示。

在圖1中，K廣義接觸剛度;e為齒輪傳動誤差;C齒輪副接觸過程中的阻尼系數;I、？茲、R、T分別為轉動慣量、扭轉振動位移、基圓半徑、外力矩。根據圖1動力學模型，運用牛頓定律推導出嚙合力方程為[3]：

動力學模型建立之后，運用MATLAB函數編程求解出嚙合力，并進行對比分析。分析結果如圖2所示。

從圖2中可以看出嚙合力在-600～600N之間，最大嚙合力出現在波動幅值上方，為600N，當機構運動到波動幅值下方時。

3? 內嚙合變位齒輪有限元分析

因為內齒板和外齒輪接觸嚙合時齒輪工作情況是一樣的，有限元分析效果也是一樣的，所以選擇兩對嚙合齒輪進行有限元分析。采用六面體網格劃分，175179個節點。

根據齒輪的工作狀態，對外齒板的軸孔內圈加固定約束，給外齒輪輸入扭矩T，扭矩T為：

從圖3中可以看出內齒板應力分布，最小應力為87.581Pa，最大應力為168.44×108Pa。最大應力和最小應力的差值比較大，主要是因為齒輪接觸嚙合部分受力比較大，其他部分受力比較小。最大應力出現主要是在齒根位置和接觸嚙合點，齒根位置的應力要比接觸嚙合點應力大，而且位于接觸側。

4? 含裂紋內嚙合變位齒輪壽命分析

對內齒板裂紋疲勞壽命分析時，將運用ABAQUS軟件和FRANC3D軟件聯合運用分析法[4-6]，主要分析步驟如下：

4.1 對內齒板定義子模型

進裂紋分析時，首先是導入*.inp格式的模型，選擇導入并劃分為全局模型和子模型;分別輸出子模型和全局模型的有限元模型，生成兩個*.inp文件，用于后續的裂紋擴展分析。

4.2 在子模型中添加初始裂紋

首先建立裂紋，選擇裂紋類型為橢圓形裂紋。其次定義裂紋的尺寸，橢圓裂紋的長軸半徑a=1mm，橢圓裂紋的短軸半徑b=0.25mm。再次就是定義橢圓形裂紋坐標為（73.5018，3.091，-20），圍繞X、Y、Z軸在各旋轉90°。最后再重新劃分網格，為了保證計算精度，裂紋處的網格會自動加密。

4.3 求解應力強度因子

通過計算機計算出相關參數和應力強度因子，如圖4～圖6所示。

圖4中，從圖中可以看出，應力強度因子KI是呈現對稱性，裂紋尖端的中部應力強度因子要比邊緣位置的大;應力強度因子KI在邊緣的變化趨勢要比中部大，說明邊緣的擴展速度要比中部大;節點0處的應力強度因子要比節點1處小一點，出現這種情況主要因為裂紋中部拉應力比較大。通過查相關的手冊，可以找到相關材料的KIC。45號鋼的KIC=281MPa，FRANC3D分析結果最大應力強度因子KI=13.6MPa，KI<KIC，所以滿足要求，符合斷裂準則。

在圖5中，應力強度因子KII在節點0.2處和節點0.8處出現負值，負值是代表擴展方向為反方向。應力強度因子KII也是呈現對稱性，節點0處附近的應力強度因子大于節點1處;裂紋尖端邊緣是正方向擴展，裂紋尖端節點0.2處和節點0.8處是反方向擴展;雖然裂紋尖端節點0.2處和節點0.8處是反方向擴展，但是相比裂紋尖端邊緣擴展速度，中部還是很小。這些也是因為II型應力在裂紋尖端邊緣位置要大于裂紋尖端中部。

從圖6中可以看出應力強度因子KIII近似一條直線，是以節點0.5處為界，左半部分是正方向擴展，右半部分是反方向擴展，擴展速度相近，1.89MPa為最大應力強度因子。節點0.5處應力強度因子KIII為零，說明節點0.5處III型裂紋是不擴展的。

求解出應力強度因子之后，下文將根據應力強度因子，判斷主要裂紋類型，并對主要裂紋類型進行裂紋擴展分析。

4.4 裂紋擴展分析

根據上一節計算出的應力強度因子，對應力強度因子分析中發現KI的結果最大，比II型和III型應力強度因子要大很多。所以裂紋主要是I型裂紋為主，裂紋一開始擴展就發生比較嚴重的產生張開位移，但也有一點滑開位移。根據應力強度因子已經判斷裂紋主要模式是I型為主，II型和III型為輔。

裂紋判斷完成之后，開始裂紋擴展分析。裂紋擴展第一步設置最大周向應力準則，第二步添加材料相關Paris參數。第三步設置擴展增量為0.2mm，最后進行裂紋擴展。

裂紋開始擴展第一次之后，FRANC3D會自動對子模型進行裂紋識別并對裂紋子模型進行網格劃分，網格劃分之后;將進行第二次裂紋擴展，求出裂紋尖端的應力強度因子;第二次裂紋擴展完成之后，FRANC3D自動會網格劃分，再進行第三次裂紋擴展。這樣一個重復過程一直到斷裂狀態，或者設置自動擴展時到達到設置的終止條件為止。

4.5 疲勞裂紋壽命分析

第一次擴展完成之后，再進行應力強度因子求解，根據應力強度因子進行第二次裂紋擴展，這樣一個反復循環的過程，直到實現斷裂。這樣一個循環過程，可以得出應力強度因子歷程曲線數據，在利用FRANC3D的后處理模塊可得出裂紋擴展壽命曲線。計算出的裂紋疲勞擴展壽命結果如圖7所示。

從圖7中可以看出，隨著裂紋擴展不斷的增加，壽命次數也在逐漸增加，當裂紋擴展到8.37mm時，整個過程裂紋擴展了41次，出現斷裂，最終壽命次數為36891次。通過對三環傳動的傳動齒輪進行壽命預測，將擴張裂紋長度8.37mm帶入公式中：

綜合上文分析發現，對內齒板進行疲勞壽命分析是運用聯合軟件分析，很大程度上彌補各自的不足，分析結果合理、可行。出現裂紋之后，壽命急劇下降為36891次，說明裂紋對壽命影響還是很大。

5? 結論

從內齒板應力分布中看出，最大應力為168.44×108Pa。最大應力出現主要是在齒根位置和接觸嚙合點，齒根位置的應力要比接觸嚙合點應力大，而且位于接觸側。

三環傳動的疲勞壽命分析，結果表明，擴張裂紋長度8.37mm，最終壽命次數為36891次，壽命次數大幅度降低。裂紋的主要擴展模式，以張開型裂紋為主，以滑開型裂紋和撕開型裂紋為輔。

參考文獻：

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