以問題表征為著力點提高學生數學思維能力

周宇霆

問題表征包括圖式表征、原理表征、符號表征等，各種表征對問題解決起到不同的重要作用，也是不同思維能力的體現。利用圖式表征可以改善學生的認知結構，幫助學生把握難點、關鍵點;在教學中滲透符號表征策略，可以逐步提高學生抽象概括和邏輯推理能力;在教學中注重新舊知識聯系，用舊原理表征新知識，可以實現學生在銜接階段的平穩過渡。

一、問題的提出

自新課程改革開始以來，無數教師、學者投身于課程改革和教學研究中，唐會紅、張志云等從新課程的要求及現狀出發，結合教學實際對數學教學特別是小學高年級學生的數學思維能力提高做出研究并提出了教學建議。

問題表征是認知心理學派的重要概念，研究表明，科學的問題表征對解答數學問題有著舉足輕重的作用。同樣，認知主體的問題表征能力受諸多因素的影響，毛麗麗等人從心理狀態、認知基礎等角度對如何良好表征做出了研究。

二、問題表征對提高學生數學思維能力的意義

紀桂平等學者認為，平時成績好的學生在解決數學問題時會產生一些與問題相關聯的形象，而一些成績較差的學生則不能建立這種關系，或會建立一些關聯性弱或不關聯的錯誤形象，其實這也就是正確表征和錯誤表征的差異所在。所以，高層次的問題表征對于解決數學問題有著相當大的積極作用。研究表明，視覺表征有利于提升學生對問題的理解;原理表征有利于幫助學生選擇解答的策略;圖示表征則有利于輔助學生抓住問題的關鍵點。

三、提高學生數學思維能力分析

（一）利用圖式表征幫助學生抓準問題的關鍵

在常見的數學問題中，我們所遇到的大多是對所涉及的量和形的分析，所以我們常會用數量關系的圖形結構對問題中給出的語言文字信息做一個加工，將其進一步翻譯成自己的數學語言。不同階段的學生會選擇從不同的角度對題目進行表征，利用自己熟悉的、適應的概念及原理對問題進行轉化處理。

例1：幾個男生和女生參加一次學校的演講練習，第一次上去一名男生，臺下男女生人數相等，第二次上去一名女生，臺下男生人數是女生人數的兩倍，問男生和女生各有多少人？

小學高年級學生往往無法通過直接讀題正確列式，因為題目中并沒有明確的數量關系，所以學生無法通過語言文字分析形成問題圖式，但如果借助圖形表征的方式就比較方便。

小學高年級學生已可以適當運用數形結合的方法處理問題，在面對一些沒有明確數量關系的題目時，往往能夠通過分析數量關系，用圖式表征問題。

圖式表征建立起相應的圖式可以幫助學生，通過圖式對問題的關鍵信息進行編碼、改造和重組，幫助他們找準難點、重點。除此之外，圖式表征還可以幫助學生把抽象的符號語言和數字語言轉化為具體的圖像，在具體想象思維和抽象邏輯思維之間建立直接的聯系，用圖像去完善問題空間，豐富其思維方式和知識結構。

（二）用舊原理表征新知識，良好建構知識

問題表征和題目類型及認知主體緊密相關，學生需通過自己的知識經驗和思維策略對問題進行表征。所以，我們要注意對舊知識的回憶鞏固，努力建立新舊知識的聯系，提升學生的理解力和記憶力。

在學習多邊形的面積時，我們要給學生建立一個基礎圖形的概念，以蘇教版教材為例，要讓學生牢記基礎圖形都是從長方形產生的。我們在探究三角形面積時，也是將其和之前的平行四邊形建立聯系，用平行四邊形面積的計算推導出三角形的面積計算，梯形也是如此。但是在解決較復雜的問題時，學生往往會出錯。

數學知識有陳述性知識、程序性知識和過程性知識，每一種知識掌握都有其必經的階段，而經歷每一個階段也是在發展不同的思維能力。利用舊原理表征新知識，讓學生能有效地構建知識，面對問題時正確與對應原理進行連接，做到快速準確地提取知識。

（三）通過原理表征幫助學生明確解決問題的方法

當解決一些開放性較強或題干不是特別清晰的問題時，學生往往會不知道從何做起，利用原理表征可以幫助其正確選擇出發點，找準方向。

分析問題知道求什么就是求什么，這就是原理表征的過程。教師在問題講解時要注重原理表征，讓學生知道什么問題用什么原理，然后去總結方法，訓練技巧，做到心中有理，腦中有法，舉一反三。

（四）通過視覺表征幫助學生理解問題的結構

研究表明，視覺表征可以幫助學生更好地理解問題，掌握題干，能有效提升學生的自覺理解力，這對于提高學生的數學思維能力是非常有效的。高年級小學生在處理一些復雜的圖形問題時，往往不能抓住關鍵，正確表征問題。所以我們提倡學生打草稿、畫圖，可以有效幫助學生解決問題，提高其數學思維能力。

例2（蘇教版五上第20頁）：如圖，長方形被分成一個三角形和一個梯形。已知三角形的面積比梯形少180平方厘米，求三角形和梯形的面積。

本題中已經給出了示意圖，但學生往往還是無法直接理解三角形面積比梯形面積少180平方厘米。顯然，不借助圖形是很難理解這句話的，所以教師在講解此題時可以讓學生在圖形上找到缺少的180平方厘米，讓學生去添加輔助線，在圖形上尋找三角形和梯形所差的面積。

學生在平時的練習中往往追求解題速度，但“欲速則不達”，學生容易停留在對教師解題格式的模仿階段，不能真正理解問題。利用視覺表征可以幫助學生提高理解力，去挖掘一些通過文字難以發現的條件，有效鍛煉其能力思維，幫助學生體會數學的趣味性，體會畫圖打草稿的實用性，逐步提高對題干的理解，做到“磨刀不誤砍柴工”。