概述力學在小提琴研究上的應用（上）

韓玫瑰 曹小建

摘要：小提琴的演化過程離不開力學的貢獻，其中的力學應用也推動著該學科的進步。材料力學中的彈性模量、本構方程為小提琴選材及制作提供了依據，弦及弓的選材依賴承力強度，弓還與材料彎曲變形后的彈性恢復能力相關。弦與弓的互動為振動力學中的粘滑振動模式。弓施力區間在Schelleng給出的[Fmin，Fmax]內時可較好地激勵亥姆霍茲運動，從而帶來連續且悅耳的樂音。人琴整體符合理論力學的動量矩守恒定律。演奏時肩關節放松給予手臂足夠自由度，主要靠肘關節、腕關節和手指施力。借助生物力學對演奏者關節角度及運動幅度的習慣性分析，可輔助診斷關節損傷并提出矯正或治療方案。

關鍵詞：小提琴? 材料選擇? 弓弦交互作用? 振動力學? 生物力學

聲音的產生和傳播是典型的力學問題。音樂進化的過程中也離不開科學家們在力學領域的貢獻，比如大家耳熟能詳的伽利略、牛頓、伯努利、達朗貝爾、亥姆霍茲和韋伯等，中國古代人物管仲、沈括和朱載堉等也有各自的理論成果。小提琴被譽為西洋樂器中的“皇后”，其特點是音色美、音域寬、音質正，是現代交響樂隊中的支柱。在小提琴的選材、運弓法、人弦交互、演奏者骨骼發育等方面，力學研究成果起著指導作用，而且這些研究同樣反哺著科學本身。本文就應用力學在小提琴上的研究成果進行歸納，以期更優選材、輔導施力、規范演奏姿勢。

一、材料力學參數的影響

小提琴本體結構及琴弓共有30多個零部件，本體包括琴頭、弦軸箱、弦軸、琴頸、指板、面板、側板、背板、琴弦、琴碼（琴橋）、音柱、拉弦板、腮托和系弦柱等，琴弓包括弓桿、馬尾、馬尾箱和螺絲。隨著科技的進步，部分結構選材范圍逐漸變窄，也有些部件最多能看到多達10余種材料的商品。材料和結構性質的選擇會影響樂器的音質，所以其選材需要嚴謹的科學指導。

（一）共鳴組件

面板現在常選擇質地偏軟的云杉制作;琴頭、琴頸、側板和背板，會選擇較硬的楓木;指板則會選用更硬的烏木。制作琴弓最上乘的巴西紅木一直面臨著必須省著用和如何持續的問題。Fletcher[1]和Bucur[2]等對于樂器選用的木材分別進行過論述，給出了一些建議，但在東西方木材特性區分及樂器結構細部選材上還有很多研究空間。普遍認為木材依據傳聲速度c、音響阻抗z、輻射阻尼R和衰減因素η這四個指標來定，它們的計算公式從上往下依次見公式（1），前三式中E為材料彈性模量，ρ則是材料密度。由公式可見，聲速、阻抗、輻射阻尼均與彈性模量的方根呈正比例關系。

彈性模量宏觀上反映了材料抵抗彈性變形的能力，微觀上則是揭示了材料內部分子鍵合力的強弱。從力學的角度，木材屬于典型的各向異性材料，沿木纖維方向（順紋）的拉伸性能遠大于垂直于纖維方向（橫紋）的拉伸性能，另一方面垂直于纖維方向的抗剪切性能和壓縮性能又高于順紋方向。廣義胡克定律中的楊氏彈性模量、切變模量和泊松比這三個物理量在順紋方向、橫紋徑向、橫紋弦向均不相等，需要通過小塊試樣分別測量。以西洋樂器常用的高彈性低密度云杉為例，其順紋方向彈模EL約11.58GPa，橫紋徑向彈模ER為896MPa，橫紋弦向彈模ET最小僅496MPa左右。順紋方向的彈性模量比其他兩個方向高兩個數量級。因此，聲速在順紋理方向最大，約為橫向聲速的10～20倍。另外木材中的管狀細胞空隙和本身的彈性也便于聲音的傳播。木材的阻抗表示了材料對聲波的反射能力和折射能力。通常希望共鳴箱具有較大的輻射阻尼。從均勻性角度看，樂器用材最好順紋徑切且以順紋方向作為共鳴板長度方向。輻射聲波時，材料內部分子摩擦會引起振動能量的損耗，Newland[3]提出了公式（1）中的第四式，Q為測得的材料衰減特性參數，δ為對數衰減率，ψ為虧損角。由公式可見聲音的衰減與彈性模量和密度無關。樂器材料的損耗越低越好，較小的含水率會更有利于較少聲音衰減，樂器上用的木材含水率一般控制在10%以內。從利于聲音的傳播角度，傾向于選用輻射阻尼大、阻抗和損耗小的木材制作共振板;共鳴箱板壁則優先選擇輻射阻尼小、阻抗大、便于聲能匯聚反射的材料[4]。

光測彈性力學方法是一種實驗應力分析方法，曾廣泛應用于較復雜的工程構件應力狀態。該方法主要用來判斷應力集中區域和描繪結構三維內部應力，一般用光程差來確定主應力。Molin等采用雙脈沖紅寶石激光器作光源結合全息干涉技術分析了拱形小提琴面板的瞬態彎曲波（如圖1所示），包括云杉面板和楓木面板[5]。并與矩形吉他平面板進行對比。從給定高度對板進行鐘擺沖擊，撞擊點控制在小提琴板橋位和吉他面板中心。結果表明，木材中傳播脈沖的形狀隨時間變化，呈現典型板中彎曲波傳播特性。波傳播的形狀圖案為若干嵌套橢圓形，與小提琴面板中央部位任意水平切面形狀近似，吉他板也為嵌套橢圓形波紋。說明小提琴面板目前采用的形狀較圓形更合理。綜上所述，好的小提琴很大程度上取決于形狀控制和材料選擇。

（二）弦與弓

古人以弦長來度量音高，公元前600年前后中國和古希臘幾乎同時認識到了三分損益和五度相生的規律[6-7]。文藝復興時期，科學家們提出聲音的高低跟振動頻率相關并通過實驗加以驗證，最終得到了公式（2）中最前面成正比例關系的經驗公式，繼續總結才得到后兩個等式計算方法。其中f為弦的振動頻率，T為琴弦張力，ρ為琴弦密度，l為弦長，μ為單位長度的質量，σ為弦受拉時截面正應力。對指定長度的弦，它的最大可能頻率取決于材料本身的拉伸或屈服強度。弦上施加的張力既不能太緊也不能太松，小提琴單根弦張力一般在70～90N，木制琴身基本足夠支撐四根弦共約300N的總張力。弦繃緊以后，會產生軸向拉伸變形，從理論力學靜力平衡角度構成超靜定結構，需要考慮變形協調問題。對于有四根弦的小提琴，不能一根一根依次調音，而是應先將整體松緊程度調到差不多再微調。

小提琴的琴弦材料歷經腸、生絲、尼龍和鋼絲，表1列出了它們的力學參數[8]。前三種材料具有相似的密度，金屬弦密度大約是它們的6倍，算下來腸弦、絲弦和金屬弦的最高頻率差不多，尼龍弦頻率要高出約50%。小提琴E弦最細，從結實耐用的角度一般是直接用裸金屬絲制造。在松緊度相當時，弦的振動頻率與密度的平方根成反比，因空弦低八度的規律，其直徑要增大一倍。材料力學中，金屬桿件直徑加倍后的抗彎剛度會變為之前的8倍。此時的弦若繼續采用裸金屬弦，將大大降低其柔韌性。因此，小提琴上的低音弦常在裸金屬線外纏細金屬絲。

18世紀后半葉弓的形狀逐漸由上凸弧線變為了輕微下凹。竹木由直到曲要經歷反復火烤，但一段時間后其彎曲變形減小會降低弓的承載力。影響弓品質的因素極為復雜，但承載力大（強度高）的弓一般表現力更好。玻璃纖維弓沒有變形問題，但因其中空質量較清，常在兩端置入金屬，重心的把握上較難。巴西蘇木從強度、密度、變形等角度看是目前的制弓上品。

參考文獻：

[1]Fletcher NH，Rossing TD.The physics of Musical Instruments[M]，2nd edition.Springer-Verlag，New York，1998.

[2]Bucur V.Acoustics of wood[M]，2nd edition.Springer-Verlag，Berlin，2006.

[3]Newland DE.Mechanical vibration analysis and computation[M].Harlow，UK Longman，London，1989.

[4]Yoshikawa S.Acoustical classification of woods for string instruments[J].The Journal of the Acoustical Society of America，2007，122（1）：568-573.

[5]Molin NE，Jansson EV.Translent wave propagation in wooden plate for musial instruments[J].The Journal of the Acoustical Society of America，1989，85：2179-2184.

[6]武際可.絲竹背后話力學[J].自然雜志，2015，31（5）：355-361.

[7]劉延柱.漫話音樂中的力學[J].力學與實踐，2011，33（3）：91-94.

[8]Wegst UGK.Bamboo and wood in musical instruments[J].Annual Review of Material Research，2008，38：323-349.

（待 續）