“函數應用：停車距離問題”（第2課時）教學設計

馬杰

摘? 要：數學建模活動與數學探究活動的過程應包括選題、開題、做題、結題四個環節. 本節課是繼學生完成開題活動后進行的做題展示交流活動. 通過課下小組合作探究成果的展示，結合形式多樣、主體多元的綜合評價及應用函數模型解決實際問題，使學生經歷完整的數學建模過程.

關鍵詞：數學建模;展示交流;評價;應用

一、教學內容解析

數學建模活動是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的過程. 教材中有關實際問題的函數建模是在學生學習完冪函數、指數函數、對數函數的圖象與性質后進一步對函數應用的探究與學習，讓學生感知數學與實際生活的緊密關聯，從實例出發學會用函數模型來解決實際問題. 實際問題的函數建模是培養學生高層次思維、應用數學的意識、分析和解決實際問題能力的重要載體. 解決此類問題，需要熟悉問題情境，明確任務目標，探究問題中各變量之間的關系，抽象概括出熟悉的模型. 脫離以上過程則無法獲得解決實際問題的能力.

本節課的教學內容是根據現實背景和來源于《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）第118頁表1的數據建立的停車距離數學模型，需要使學生理解數學模型中系數的意義，并根據模型得到的結果就行車安全提出建議.

根據《標準》中對數學建模活動與數學探究活動的教學提示，將“函數應用：停車距離問題”課題研究分為三個課時進行. 第1課時，教師組織學生開展開題交流活動，開題報告應該包括選題的意義、文獻綜述、解決問題思路、研究計劃、預期結果等，學生需要撰寫開題報告;第2課時，教師根據學生的實際情況引導學生建立急剎車停車距離模型，理解數學模型中系數的意義，并根據模型得到的結果就行車安全提出建議;第3課時，撰寫研究報告和報告研究結果，由教師組織學生開展結題答辯. 本節課進行的是第2課時的內容.

因此，確定本節課的教學重點是：讓學生學會從實際問題中抽象出數學模型，經歷用數學方法構建數學模型的過程，理解模型中系數的意義.

二、教學目標設置

根據《標準》要求和教學內容解析，確定本節課的教學目標如下.

（1）經歷數學建模活動的基本過程，體會數學建模思想.

（2）經歷從停車距離問題中抽象出數學問題的過程，發展學生的數學抽象思維能力;通過模仿學過的數學模型，選擇合適的數學模型表達所要解決的數學問題，發展學生的類比歸納能力;從學科綜合的角度分析制動過程中制動距離與速度的關系，理解模型中系數的意義，發展學生的邏輯推理能力;經歷散點圖與實際分析相結合，猜想函數模型并利用數據求解及檢驗函數模型的過程，培養學生的數學抽象與數學運算能力.

（3）感受數學來源于生活并能應用于生活，用數學來解決生活中的問題，體驗數學在生活中的價值，激發學生學習數學、應用數學的興趣. 在小組探索建模的過程中體驗成功的喜悅，同時培養團隊協作的意識.

三、學生學情分析

本次探究活動的對象為高二年級學生. 從知識上看，學生已經學習了一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數及三角函數，對這些函數的圖象和性質都有了深入的了解. 從能力上看，通過初、高中階段的學習，學生已經具備了一些將實際問題抽象成數學問題的能力，經歷基本初等函數的學習，學生具備了靈活應用函數解決數學問題的能力，高中生心智趨向成熟，具備一定的自主學習能力、模仿能力和查閱資料的能力，這為數學建模活動的順利開展奠定了良好的基礎. 但是學生所學知識有限、數學建模方法單一，數學建模過程中不熟悉數據處理軟件，在具體的建模活動中會遇到很多困難，需要教師的適時引導.

因此，確定本節課的教學難點為：在數學建模活動中建立模型，并選擇合適的模型.

四、教學策略分析

數學是培養并發展學生思維的重要學科. 在實際教學活動中，不僅要使學生“知其然”，而且要使學生“知其所以然”，讓其了解探究問題的一般過程和方法. 在實際教學中，當遇到情境比較復雜的問題時，教師往往先要幫助學生“掃清障礙”，使學生把注意力集中到問題中的關鍵字、詞、句上，理清問題中量與量之間的關系，這樣學生就不會“誤入歧途”，課堂教學才得以順利進行. 在這個過程中，如果教師強加給學生“正確”的解決問題的方法，而并非由學生自己經過分析、抽象得到解決問題的方法，即使學生在課后能夠做出與例題相似的題目，也并不能說明學生具備了解決問題的能力，且最終會導致很多學生遇到“老師沒講過”的題目就束手無策. 數學建模是培養學生高層次思維的重要載體. 在教學中，教師要勇于放手，要在學生獨立思考和解決問題的基礎上進行總結，切實提高學生解決問題的能力.

依據本節課的內容特點，結合《標準》對數學建模活動的要求，以及第1課時的內容與開展方式，本節課采用“展示—評價—總結—應用”的模式進行教學，從學生的展示活動入手，通過學生自評、互評與教師評價相結合的方式實現本節課的教學目標，突出重點、突破難點，通過模型應用不僅讓學生感受到數學從實際生活中來又應用于實際生活，也讓學生明白遵守法律、法規的重要性，實現本節課的育人目標. 本節課采用多媒體和信息技術輔助教學，對不同組學生的不同做法進行展示，鼓勵學生積極主動地從不同角度闡述自己的想法，并及時給予肯定，使學生的數學學習更有成就感，培養學生學習數學的信心.

五、教學過程設計

本節課的課堂主體設計分為：前情回顧、交流展示、評價提升、拓展應用、反思小結、模型延伸.

1. 前情回顧

回顧梳理：教師對上節課開展的開題報告展示交流活動進行梳理總結.

【設計意圖】讓學生體會課題研究活動需要經歷選題、開題、做題、結題的完整過程. 上節課已經完成了開題展示交流活動，接下來該進行做題展示交流活動，為引出今天的活動主題做好鋪墊.

活動掠影：展示各小組課下數學建模活動的照片. 同時，教師通過激勵性語言對學生課下的積極探究、團結協作予以肯定.

【設計意圖】提高學生探究、學習本節課的積極性，也為本節課的開展營造良好的學習氛圍.

2. 交流展示

教師課前對各小組的數學建模成果進行收集與比對，選擇具有代表性的小組開展展示交流活動，但提前不告知學生，以免影響其他學生的積極性.

（1）小組1展示交流.

① 模型分析. 在駕車行駛的過程中，從司機看到意外狀況的發生到決定剎車到汽車最終停止的過程中汽車行駛的距離叫做停車距離. 小組成員認為停車距離由反應距離和制動距離兩部分組成，如圖1所示，即停車距離 = 反應距離 + 制動距離. 設停車距離為[d]，反應距離為[d1]，制動距離為[d2]，則[d=d1+d2].

我們知道，影響停車距離的因素有很多. 例如，汽車剎車前的速度、司機的反應時間、車輛的性能、道路狀況、天氣狀況等. 通過對實際問題進行分析，可以得到影響停車距離的主要因素是汽車剎車前的速度和司機的反應時間.

② 模型假設. 為方便研究停車距離問題，從考慮影響停車距離的主要因素——汽車行駛速度和司機反應時間的角度出發，需要進行如下假設：假設車型、輪胎類型、路面條件都相同，汽車無超載，剎車系統的機械狀況、輪胎狀況、天氣狀況及司機狀態都良好;假設汽車在平直的道路上行駛，司機緊急剎車，一腳把剎車踩到底，汽車在剎車過程中未發生轉向;假設汽車在反應時間內做勻速直線運動，制動過程中做勻減速直線運動，制動力所作的功等于汽車動能的減少量.

③ 研究反應距離與速度之間的關系.

反應距離與速度之間的關系如表1所示.

結合表1繪制如圖2所示的散點圖. 根據散點圖及實際分析，得到反應距離與速度成正比. 設想反應距離 = 反應時間 × 剎車前速度. 通過查閱資料與試驗操作發現正常人的反應時間約為0.2 ～ 0.5秒.

重新建立模型. 反應距離 =[k1]× 剎車前速度，即[d1=k1v]，其中[v]為剎車前的速度，系數[k1]為除汽車速度外反應時間及其他因素對反應距離的綜合影響. 將速度與反應距離分別代入[d1=k1v]求出相應的[k1]的值，再求出其平均值作為[k1]的值，得到[d1=0.209 633 346v].

⑤ 研究制動距離與速度之間的關系.

制動距離與速度之間的關系如表3所示.

總結：通過對比發現誤差較小，小組成員一致認定此模型成立.

【設計意圖】小組展示交流活動是本節課非常重要的一個環節，是本節課實現教學目標、突出教學重點、突破教學難點的有力活動支撐，也是對課下小組探究活動的進一步肯定，為接下來的評價環節奠定了基礎.

3. 評價提升

（1）學生自評（小組代表對本小組的模型自評）.

小組1展示代表評價自己小組的建模過程思路清晰，過程是最完整的.

小組2展示代表評價自己小組借助信息技術進行數學建模，方法是最好的.

小組3展示代表評價自己小組的方法獨樹一幟，建模過程簡單、快捷.

（2）小組互評.

開展課堂小組討論活動，通過小組內部討論，結合自己小組的建模情況選定一個模型進行評價，每個小組選派一名代表發言.

小組1學生代表：評價小組2的模型. 首先，小組2運用信息技術建模，使得建模過程更加簡便;其次，小組2在面對趨勢線與散點圖吻合程度較高的模型時運用數據比對選擇函數模型，使得模型誤差較小，值得學習. 但他們沒有考慮影響停車距離的主要因素——反應時間.

小組2學生代表：評價小組3模型. 小組3運用整體思維對模型進行了認知，簡化建立模型的過程，但小組3沒有考慮影響停車距離的主要因素——反應時間，檢驗模型的過程數據比對較少，準確性值得考量.

小組3學生代表：評價小組1的模型. 小組1的建模過程有兩個優點. 其一，對模型進行了假設，排除其他因素對建模的影響;其二，小組1善于從所學的“茶水最佳飲用時間”模型中汲取方法并為己所用，學以致用和獨特的思維值得學習. 但是在模型檢驗環節數據比對較少，誤差大小有待考量.

小組4學生代表：評價小組2的模型. 小組2與自己小組的建模方式類似，結果相同，但解決問題的過程中小組2對散點圖與趨勢線吻合程度較高的趨勢線進行數據對比，選擇誤差較小的模型，有利于減少誤差.

小組5學生代表：評價小組3的模型. 小組3的建模方法比較獨特，直接研究停車距離與速度之間的函數關系，方法便捷，減少了很多運算過程.

小組6學生代表：評價小組1的模型. 小組1通過試驗和查閱資料進行模型檢驗后重新建立模型，做得非常好. 自己小組在建模過程中沒有考慮到這個問題.

【設計意圖】通過自評與互評，讓學生感受相互學習、交流的重要性和必要性，在發現他人優點的同時也關注建模活動過程中存在的問題，為后期改進、優化模型奠定基礎. 同時，讓更多學生參與到課堂活動中去.

（3）教師評價. 教師對三個模型進行總結性評價.

① 從誤差分析的角度對模型進行評價.

方式1：“點差法”比較誤差，如表9所示.

“點差法”來源于學生，實質是將函數模型值與對應實際值做差，通過觀察、比較，選擇偏差較小的模型. 基于“點差法”引入“平均誤差法”，具體是對函數模型值與對應實際值做差，求結果的絕對值，再將所有絕對值的平均值作為“平均誤差”比較誤差.

方式2：“平均誤差法”比較誤差，如表10所示.

② 從數學建模的過程對模型進行評價.

首先，教師從什么是數學建模活動及函數建模基本步驟的角度出發，讓學生理解數學建模活動及其基本步驟. 提出問題，讓學生思考三個模型中哪個模型的建模過程更加完善. 其次，教師帶著學生一起總結回顧小組1的數學建模過程. 最后，鼓勵學習小組之間相互學習、取長補短，對自己小組的模型進行優化.

【設計意圖】教師評價環節是非常重要的一個環節，不僅是教師“教”的主導地位的重要體現，也是實現本節課教學目標、突出重點、突破難點的重要載體.

4. 拓展應用

應用1：法律、法規中相關數據的解釋.

《中華人民共和國道路交通安全法實施條例》第六十條：機動車在道路上發生故障或者發生交通事故，妨礙交通又難以移動的，應當按照規定開啟危險報警閃光燈，并在車后50米至100米處設置警告標志，夜間還應當同時開啟示廓燈和后位燈. 第八十條：機動車在高速公路上行駛，車速超過每小時100千米時，應當與同車道前車保持100米以上的距離，車速低于每小時100千米時，與同車道前車距離可以適當縮短，但最小距離不得少于50米.

《中華人民共和國道路交通安全法》第六十八條：機動車在高速公路上發生故障時，應當依照本法第五十二條的有關規定辦理;但是，警告標志應當設置在故障車來車方向一百五十米以外，車上人員應當迅速轉移到右側路肩上或者應急車道內，并且迅速報警.

問題：結合我們所建立的函數模型，說一說法律法規中出現的數據“50米至100米”“100米以上、不得少于50米”“一百五十米以外”建立的依據是什么？

例如，選擇誤差較小的模型[d=0.010 6v2-0.410 2v+][16.669]來解決問題，如表11所示.

【設計意圖】利用模型解決實際生活中的問題，讓學生感受數學來源于生活、應用于生活，從而解決生活中的問題，是實現本節課育人目標的重要載體. 讓學生了解法規內容，體會法規中數據的科學性，明確遵守法律、法規的重要性，也為行車安全提出了建議.

5. 反思小結

學生回憶本節課的主要內容，教師引導學生從多方面來敘述，學生自述，教師補充總結，完善板書. 由于時間關系，很多學生都意猶未盡，課下讓學生寫下學習本節課的收獲與體會.

（1）函數建模的基本步驟，如圖13所示.

[實際背景分析發現][提出問題數據采集][分析] [實際問題的解][檢驗函數模型][求解函數模型][符合實際] [選擇函數模型] [不符合實際][圖13]

（2）學法、知法、守法.

6. 模型延伸

（1）問題思考.

《中華人民共和國道路交通安全法》第二十二條：機動車駕駛人應當遵守道路交通安全法律、法規的規定，按照操作規范安全駕駛、文明駕駛. 飲酒、服用國家管制的精神藥品或者麻醉藥品，或者患有妨礙安全駕駛機動車的疾病，或者過度疲勞影響安全駕駛的，不得駕駛機動車. 任何人不得強迫、指使、縱容駕駛人違反道路交通安全法律、法規和機動車安全駕駛要求駕駛機動車.

提出問題：司機疲勞駕駛或酒后駕駛對停車距離有什么影響？

【設計意圖】問題思考的設置既是課堂育人功能的延伸，也為下一次數學建模活動的開展做好鋪墊.

（2）作業布置.

基礎作業：完成學案上的第1小題和第2小題.

【設計意圖】學生獨立完成，考查學生結合數據選擇函數模型及應用函數模型解決問題的能力.

拓展作業：① 完成“函數應用：停車距離問題”課題研究結題報告;② 以小組為單位收集司機在疲勞駕駛或酒后駕駛的狀態下停車距離的相關數據，為下一次數學建模活動課做好準備.

【設計意圖】為第3課時結題交流活動的開展和下一次數學建模活動做好準備，課后小組合作完成.

六、課后反思

本節課的教學設計建立在“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”的教育理念上，融入了《標準》的思想內涵. 《標準》明確指出要讓學生感受運用函數概念建立模型的過程與方法，強調了學生親身經歷建模過程的重要性. 因此，本節課從學生的展示活動出發，通過學生的展示，結合學生和教師的評價實現本節課的教學目標，設計中突出體現了學生的主體地位. 經歷了數學建模教學實踐活動后，對于數學建模活動的開展有以下幾點思考.

1. 數學建模活動的開展應該常態化、系列化

在實際教學活動中，有些教師和學生對數學建模的重視程度不夠，在教授這部分內容時，按照教材完成教學任務后將更多的時間留給了“刷題”. 這次建模活動中學生表現出非常高的積極性，學生的綜合能力得到了明顯提升. 數學建模活動的開展應該常態化、系列化.

2. 教師指導學生應注意“度”的把控

學生在課下進行探究活動時，教師應該及時關注學生，在必要的時候給予學生指導. 在日常教學過程中，教師常常強加給學生“正確”的解決問題的方法，而不是讓學生自己經過分析、抽象得到，這樣學生解決問題的能力并不能得到真正提升. 因此，對學生的指導應該注意“度”的把握，應該如何把握“度”還需要教師在教學實踐活動中慢慢體會.

3. 嘗試讓學生親歷選題

本次建模活動是在給定課題和相關數據的基礎上完成的，學生未經歷選題和收集數據的過程，后期開展建模活動時可以嘗試讓學生經歷討論選題和收集數據的過程，這更有利于提高學生學習的積極性.

參考文獻：

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