中職“直線與圓錐曲線”專題解題分析

李士榮

摘 要：圓錐曲線題型多樣、解法靈活，對學生數學綜合性思維提出了較高的要求.但此類題型也不乏有規律可循，如直線與圓錐曲線類題型，其常見考查題型包括直線與圓錐曲線的基礎性之應用、位置關系、弦長及中點弦、最值和應用證明類等.因此，本文針對以上四點內容，對“直線與圓錐曲線”開展專題解題分析.

關鍵詞：直線;圓錐曲線;專題解析

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0018-02

直線與圓錐曲線類題型，是一種兼具對學生基礎考察和能力檢測的題型.當此類題型出現在選擇、填空及解答題型中時，往往是出于學生對圓錐曲線的定義、標準方程等基礎知識點的考察，只要學生們按部就班、仔細研判，通常不難得到正確答案.而當此類題型出現在解答題中，往往會與圓錐曲線的軌跡、位置、弦長、最值等相關聯，需要學生能夠融合函數、方程、幾何等知識點，并對數形結合、空間想象及復雜類計算等能力實施考察.

一、直線與圓錐曲線的基礎性質類題型

對于直線與圓錐曲線基礎性質類問題，其往往是考察一個圓錐曲線與一條或多條直線之間的組合關系，又或者是與其它平面圖形相聯系，對學生關于圓錐曲線知識點的掌握進行全面考察.結合長期的教學經驗，針對此類基礎類題型，可以通過采用待定系數法的方式，從而實現快速求解.

圖1例1 已知雙曲線的兩個定點分別為A、B，且點M為雙曲線上的任意一點，其中點A、B、M組成的△ABM為等腰三角形，其鈍角為120°，求雙曲線的離心率.

分析 結合題中已知條件可知，欲求解本題，等腰三角形是最重要的條件.不妨使用待定系數法，假設雙曲線方程，利用等腰性質實現求解.

解析 假設雙曲線的方程為

x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），由于△ABM為等腰三角形，可知

|AB|=|BM|，∠ABM=120°

.此時，經過點M做x軸的垂線MN交x軸于點N.于是，在此Rt△NBM中，|BN|=a，|MN|=3a，此時，結合雙曲線的性質c2=a2+b2，及離心率表達式e=ca（e>1）.綜上可知，c2=2a2，離心率e=2.

二、直線與圓錐曲線的位置關系類題型

求解直線與圓錐曲線的位置關系時，待定系數法往往是最直接的方法，通過假設直線方程為Ax+By+C=0（A，B不同時為0），利用待定系數的方法，將其代入圓錐曲線的表達式，此時，利用消元法消去其中一個未知數，得到關于另外一個未知數的方程，再分類討論a≠0及a=0的情況下，便可實現判斷.

例2 已知拋物線C：y2=3x，F為拋物線的焦點，此時斜率為32的直線l與拋物線C的交點為A和B，并與x軸交于P點，若有關系式|AF|+|BF|=4，試求此時直線l的方程.

分析 針對此題，可以利用待定系數法假設直線l的方程，再與拋物線聯立方程組消元求解，并結合交點個數，求解直線方程.

解析 假設直線l的方程為y=

32x+t，點A（x1，y1）、B（x2，y2）.將其代入拋物線方程C聯立方程組得到

y=32x+ty2=3x，消元并化簡后得到

94x2+（3t-3）x+t2=0.結合已知條件，直線與拋物線存在兩個交點，利用一元二次方程的韋達定理得到Δ>0，即可得Δ=（3t-3）2-4×94t2>0，求解得到t<12，x1+x2=4×（3-3t）9.結合|AF|+|BF|=4，得到x1+x2=52，結合x1+x2=4×（3-3t）9，求得t=-78，且滿足Δ>0.綜上可知，直線l的方程為12x-8y-7=0.

三、直線與圓錐曲線的弦長類問題

直線與圓錐曲線弦長類問題最具代表性的即是中點弦的計算，處理中點弦的常見方法包括點差法和根與系數的關系.點差法，顧名思義，即是將弦兩端點坐標帶入圓錐曲線方程，并兩兩相減，得到x1+x2、y1+y2、y1-y2x1-x2三個未知量.此時即可將中點與直線斜率相結合.根與系數的關系，指的是聯立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數的關系求解.

例3 已知雙曲線x2-y23=1上分別有兩點M、N關于直線y=x+m

對稱，其中MN的中點在拋物線y2=18x上，試求實數m的取值.

分析 本題雖說包含直線、雙曲線和拋物線，并存在交點、中點等，但若是利用點差法，假設處各個點的坐標，聯立方程組，并結合已知條件，便可實現順利求解.

解析 首先假設M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0），結合已知條件聯立方程組得到x21-y213=1x22-y223=1x1+x2=2x0y1+y2=2y0，聯立上兩式得到（x2-x1）（x2+x1）=13（y2-y1）（y2+y1），明顯x1≠x2.

于是可知，

y2-y1x2-x1·y2+y1x2+x1=3，即是kMN·y0x0=3.同時，結合已知條件M、N關于直線y=x+m對稱，得到kMN=-1，即是y0=-3x0.同時有y0=x0+m，于是將點P帶入拋物線方程得到916m2=18·（-m4），最終解得m=0或-8均滿足條件.

四、直線與圓錐曲線的最值類問題

圓錐曲線最值問題的題型眾多，但最終的求解方法無異于兩類.一是幾何求解方法，即是利用圓錐曲線的定義、性質及定理等實施求解;二是利用代數的方法進行求解，即是將最值求解的幾何量或表達式轉化成函數或不等式的形式進行求解.

例4 已知橢圓

x24+y2=1，過橢圓左焦點作兩條互相垂直的直線，兩直線與橢圓相交于點A、B、C、D，則試問四邊形ABCD最大值與最小值的差值為多少？

分析 針對該四邊形面積的最值求解，其最大值較為明顯，即是當其中一條直線經過通徑時，故本題的難點就在于判斷何時四邊形面積取得最小值.其核心方法就是建立關于面積變量的目標函數.

解析 當BD⊥于x軸時，AC長度為2a，則|BD|=2b2a，此時四邊形面積取得最大值，即是Smax=12·2a·2b2a=2b2=2.假設其中一條直線AC的方程表達式為y=kx-3k，通過與橢圓聯立方程組得到（14+k2）x2-23k2x+3k2-1=0.

設點A、C的坐標為A（x1，y1）、C（x2，y2），得到Δ=b2-4ac=12k4-4（14+k2）（3k2-1）=k2+1，此時得到

|AC|=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=1+k214+k2，同理得到|BD|=

1+（1k）214+（1k）2

=4+4k2k2+4，得到S=12|AC||BD|=8（1+k2）2（4k2+1）（k2+4）·（4k2+1）（k2+4）≤（4k2+1+k2+42）2=25（1+k2）24，可得S≥8（1+k2）2·425（k2+1）2=3225.

于是可知Smax-Smin=2-3225=1825.

總之，對于直線與圓錐曲線的試題類型眾多，解題方法也是千變萬化.但無論如何，其基本考點無非是對圓錐曲線的概念、性質、交點及軌跡等，有效求解方法無非是待定系數、點差法等.相對重點題型的一對一訓練，更重要的還是從題干入手，結合各題的已知條件及類型，找出針對性的求解方法，實現對癥下藥，從而快捷高效求解.

參考文獻：

[1]黃如炎.走出直線與圓錐曲線位置關系的教學困境[J].中學數學研究，2018（05）：1-3.

[2]陳輝.直線與圓錐曲線的位置關系[J].數學大世界（上旬版），2018（02）：66.

[責任編輯：李 璟]