點差法的基本原理及其在高考數學中的簡單應用

武增明

摘 要：本文給出點差法的基本原理和點差法的簡單應用，與同仁及同學們共饗.

關鍵詞：點差法;圓錐曲線;解題研究

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0053-03

一、點差法的基本原理

在研究直線被圓錐曲線截得中點弦問題時，設出弦端點坐標，并分別代入圓錐曲線方程得兩式，將其兩式相減，可得弦的斜率與弦的中點坐標之間的關系式，這種解題方法叫做點差法.

如，圓錐曲線mx2+ny2=1（m，n∈R，且m≠0，n≠0，）上兩點P，Q，設P（x1，y1），Q（x2，y2），弦PQ的中點

M（x0，y0），弦PQ的斜率為k，則mx21+ny21=1，①mx22+ny22=1，②

由①-②，得m（x1+x2）（x1-x2）+n（y1+y2）（y1-y2）=0，又x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，y1-y2x1-x2=k（x1≠x2），于是mx0+nky0=0，這一等式建立了圓錐曲線弦的斜率與弦的中點坐標之間的關系式.

二、點差法的簡單應用

與弦中點相關的問題有三種，一是平行弦的中點軌跡;二是過定點的弦的中點軌跡;三是過定點且被定點平分的弦所在直線方程.其他問題都是由這三類問題衍生出來的.

1.已知弦中點坐標簡求弦所在直線方程

此類問題是點差法的最基本的簡單應用.

例1 （2002年高考江蘇卷·文理20）設A，B是雙曲線x2-y22=1上的兩點，點N（1，2）是線段AB的中點.

（1）求直線AB的方程;

（2）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C，D兩點，那么A，B，C，D四點是否共圓，為什么？

解 （1）由題意知，直線AB的斜率存在且不為0，設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的斜率為k，則有x1+x2=2，y1+y2=4，k=y1-y2x1-x2 .

由x21-y212=1x22-y222=1

兩式相減并整理，得 y1-y2x1-x2=2·x1+x2y1+y2，

所以y1-y2x1-x2=1，從而k=1.

故直線AB的方程為y-2=1·（x-1），即x-y+1=0.

（2）解略.

評注 此問題用常規方法也易求解，但沒有用點差法來得快.

2.用點差法簡求軌跡方程

例2 （2001年春季高考上海卷·文理21）已知橢圓C的方程為x2+y22=1，點P（a，b）的坐標滿足a2+b22≤1，過點P的直線l與橢圓交于A，B兩點，點Q為線段AB的中點，求：

（1）點Q的軌跡方程;

（2）點Q的軌跡與坐標軸的交點的個數.

解 （1）設A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），則有x1+x2=2x，y1+y2=2y.

由x21+y212=1x22+y222=1

兩式相減并整理，得y1-y2x1-x2=-2·x1+x2y1+y2，

所以y1-y2x1-x2=-2·xy，

又y1-y2x1-x2=b-ya-x，

從而b-ya-x=-2·xy，即2x2+y2-2ax-by=0.

故點Q的方程為2x2+y2-2ax-by=0.

（2）解略.

3.用點差法簡求圓錐曲線的方程

例3 （2013年高考新課標全國卷Ⅱ·理20）平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）右焦點的直線x+y-3=0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為12 .

（1）求M的方程;

（2）C，D為M上兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值.

解 （1）設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），則

x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，y1-y2x1-x2=-1，y0-0x0-0=12 .

x21a2+y21b2=1， ①x22a2+y22b2=1， ②

①-②并整理，得b2（x1+x2）a2（y1+y2）=-y1-y2x1-x2，

所以b2·2x0a2·2y0=1，故b2a2·2=1，即a2=2b2.

又由題意知，M的右焦點為（3，0），故a2-b2=3.

因此，a2=6，b2=3.

所以M的方程為x26+y23=1.

（2）解略.

評注此問題若沒有想到點差法，就不易求解了，甚至解不出來.

4.巧用點差法簡解對稱題型

一般地，對稱直線、對稱點的題目，用點差法求解較為簡便.

例4 （1986年高考廣東卷·理4）已知橢圓C：x24+y23=1，試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y=4x+m，橢圓C上有不同的兩點關于該直線對稱.

解 設橢圓C：x24+y23=1上不同兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）關于直線l：y=4x+m對稱，線段P1P2的中點為M（x0，y0），則

x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，y0=4x0+m，kp1p2=-14.

x214+y213=1， ①x224+y223=1， ②

①-②并整理，得y1-y2x1-x2=-34·x1+x2y1+y2，

又因為kp1p2=-14，

所以y1-y2x1-x2=-14，

所以-14=-34·2x02y0，即y0=3x0 .

由y0=4x0+m，y0=3x0， 解得x0=-m，y0=-3m.

因為點M（x0，y0）在橢圓C：x24+y23=1內，所以x024+y023<1，即m24+9m23<1，解得-21313

評注 解此類題關鍵是用了點在圓錐曲線內部的充要條件，應認真領會.

5.注意中點的構造，創造點差法的條件簡解題

例5 （2016年高考浙江卷·理19）設橢圓x2a2+y2=1（a>1）.

（1）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a，k表示）;

（2）若任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.

分析 （1）略.

（2）因為此問題，正面情況較多或正面入手困難，所以想到從反面入手，即運用正難則反思想，任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓x2a2+y2=1（a>1）至多有3個公共點的反面是，任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓x2a2+y2=1（a>1）至少有4個公共點.而在這里，任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓x2a2+y2=1（a>1）的公共點數不可能是5，6，7，…，n.故而，在這里，任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓x2a2+y2=1（a>1）至多有3個公共點的反面是，任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓x2a2+y2=1（a>1）有4個公共點.

解 （1）略.

（2）假設圓與橢圓有4個公共點，則圓與橢圓在y軸左側有2個交點P，Q.設P（x1，y1），Q（x2，y2），線段PQ的中點為M（x0，y0），

于是x21a2+y12=1，x22a2+y22=1，兩式相減整理，得（x1+x2）（x1-x2）+a2（y1+y2）（y1-y2）=0.

因為x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，

又kAM·kPQ=-1，即y1-y2x1-x2=-x0y0-1，從而x0+a2y0·-x0y0-1=0，

由x0≠0，得y0=11-a2.

因為點M（x0，y0）在橢圓x2a2+y2=1內，所以x02a2+y02<1.

故x02a2+1（1-a2）2<1，即x02

又存在x02∈（0，a2）使上式成立，

所以a2-a2（1-a2）2>0，即a>2 .

因此，任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件為1

評注 （1）命題者（官方）給出的解答計算量較大，詳見文[4].（2）此問題，解法較多（詳見文[1]），上述解法最簡捷.

點差法在高考中有著廣泛的運用，如：2010年高考，山東卷·文9，新課標全國卷Ⅰ·理12，安徽卷·理19;2012年高考，湖北卷·理21;2013年高考，新課標全國卷Ⅰ·理10;2015年高考，全國卷Ⅱ·理20，浙江卷·理19;2018年高考，全國卷Ⅲ·理20.

綜上所述，點差法在各式各樣的題目中均有廣泛的應用，同時作為一種基礎數學方法，它與其它數學方法之間有著極大的相關性，這是我們在解題過程中所不能忽視的，在學習點差法的解題過程中要熟練掌握運用其它方法，才能夠把數學解題思想方法運用到解題過程中，來提高解題效率與質量.

參考文獻：

[1]李美君.數學“入題”三維度：直接、間接、轉換——以2016年浙江省數學高考理科第19題為例[J].中學教研（數學），2016（11）：33-37.

[2]趙建勛.點差法及其應用[J].中學生數學（高中）， 2012（12）：20-21.

[3]湯伊靜.淺談點差法在高中數學中的應用[J].數理化解題研究（高中），2019（2）：9-10.

[4]天利高考命題研究中心.2016高考真題（數學·理科）[M].拉薩：西藏人民出版社，2016.

[責任編輯：李 璟]