全稱量詞與存在量詞在高考中的運用

劉兆云

摘 要：量詞在新高考剛執行時，是一個新的內容.常見的題型就是寫出含有量詞的命題的否定形式，量詞也可以與函數的最值及值域相結合，求參數的范圍，此類問題往往與導數息息相關.關鍵詞：量詞;命題的否定;量詞與函數最值的綜合應用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0003-02

全稱量詞與存在量詞在最近的高考試題中頻繁出現，量詞作為一種工具顯得越來越重要.下面我們一起看看在高考中以什么樣的形式來考查“全稱量詞與存在量詞”這一知識點.

一、量詞在命題中的應用

例1 （2009年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）數學（理工農醫類））命題“存在x0∈R， 2x0≤0”的否定是（）.

A.不存在x0∈R， 2x0>0 B.存在x0∈R， 2x0≥0

C.對任意的x∈R， 2x≤0D.對任意的x∈R， 2x>0

解析 對含有一個量詞的命題進行否定時，不僅要對量詞進行否定，而且對后面的結論也要進行否定.本題“存在x0∈R”的否定是“任意的x∈R”，同時“2x0≤0”的否定是“2x>0”，故本題應該選擇D.本題容易誤選A，我們可以通過命題的真假來辨析，2x0>0 恒成立，即原命題：“存在x0∈R， 2x0≤0”是假命題;所以它的否定是真命題，而命題：“不存在x0∈R， 2x0>0”也是一個假命題.所以選項A是錯誤的.

評注 含有一個量詞的命題的否定形式：一般有下面兩種情況：

①“x∈M，p（x）”的否定為“x∈M，p（x）”;

②“x∈M，p（x）” 的否定為“x∈M，p（x）”.

常用的正面詞語與它的否定詞語歸納如下：正面詞語分別為：等于;大于;小于;是;都是;都不是;相應的否定詞語分別是：不等于;不大于;不小于;不是;不都是;至少有一個是.

正面詞語分別為：至多有一;至少有一;任意的;所有的;至多有n個;任意兩個;相應的否定詞語分別是：至少有兩個;一個也沒有;存在的某些;至少有n+1個;某兩個.

例2 （2009年普通高等學校招生全國統一考試數學（文科））若函數f（x）=x2+ax（a∈R），則下列結論正確的是（）.

A.a∈R，f（x）在（0，+SymboleB@）上是增函數

B.a∈R，f（x）在（0，+SymboleB@）上是減函數

C.a∈R，f（x）是偶函數

D.a∈R，f（x）是奇函數

解析 當a=0時，f（x）=x2是偶函數，即：a∈R，f（x）是偶函數，所以選擇C.

例3 （2009年普通高等學校招生全國統一考試（寧夏卷）數學（理工農醫類））有四個關于三角函數的命題：

p1：x∈R， sin2x2+cos2x2=12

p2： x、y∈R， sin（x-y）=sinx-siny

p3： x∈0，π，1-cos2x2=sinx

p4： sinx=cosyx+y=π2

其中假命題的是（）.

A.p1，p4 B.p2，p4 C.p1，p3 4.p2，p4

解析∵sin2x2+cos2x2=1∴不存在x∈R， sin2x2+cos2x2=12，即p1是假命題;

∵當y=0時，sin（x-y）=sinx，sinx-siny= sinx，∴x、y∈R， sin（x-y）=sinx-siny，即p2是真命題;

∵1-cos2x2=1-1-2sin2x2=sin2x，∴x∈0，π，1-cos2x2=sinx恒成立，即p3是真命題;

∵當x=π，y=π2時， sinx=cosy=0，此時x+y=3π2≠π2，即p4是假命題;

故本題選擇A.

評注 例2和例3都是要求理解“”和“”的含義;往往對于存在性問題只要找到一個滿足題意的解即可;而對于任意性（恒成立）問題要說明它是真命題需要證明，而判斷它是假命題時，只需要找到一個解說明原命題不正確就行.

二、量詞在函數問題中的應用

例4 （2007年普通高等學校招生全國統一考試（安徽卷）數 學（理科））若對任意x∈R，不等式x≥ax恒成立，則實數a的取值范圍是（ ）.

A.a<-1 B.a≤1 C.a<1 D.a≥1

解析 對于含有絕對值的問題，不妨先考慮去掉絕對值.

①當x>0時，∴x≥ax，即x（1-a）≥0，∴1≥a;

②當x=0時，∴0≥0恒成立，此時a∈R;

③當x<0時，∴-x≥ax，即x（1+a）≤0，a≥-1.

由于對任意x∈R，不等式x≥ax恒成立，即a≤1.

評注 分類討論時需分清何時取并集、何時取交集、何時只能分開寫.

例5 （2008年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）數學（文史類））設a>1，若對于任意的x∈a，2a，都有y∈[a，a2]滿足方程logax+logay=3，這時a的取值的集合為（）.

A.a1<a≤2 B.aa≥2

C.a2≤a≤3 D.2，3

解析 對于任意的x∈a，2a，方程logax+logay=3都有y∈[a，a2]，不妨用x表示y，得到y關于x的一個函數，該函數的值域是[a，a2]的子集，才能保證一定有y∈[a，a2].

∵logax+logay=3，

∴loga（xy）=logaa3，即y=a3x.

∵a>1>0，∴函數y=a3x在a，2a上單調遞減;∴y∈[a22，a2].∵[a22，a2][a，a2]，∴a22≥a，∵a>1，∴a≥2.

評注 常見的全稱量詞是指：所有的、一切、任意一個、每一個、任給等;常見的存在性量詞是指：存在一個、至少有一個、某個、有的、有些等.要搞清楚題目中到底是恒成立問題還是有解（存在性）問題.

例6 （2007年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）數學（文史類））設f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f（x）=x2，若對任意的x∈t，t+2，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，則實數t的取值范圍是（ ）.

A.2，+SymboleB@B.2，+SymboleB@

C.0，2D.-2，-1∪2，0

解析 所給區間是變化的、所給函數也不是一個解析式，如果還像上題分類討論顯得無從下手.本題2f（x）=f（2x），這樣可以利用函數的單調性，得到x+t與2x的關系.

∵f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f（x）=x2.

∴f（x）=x2（x≥0）-x2（x<0），即f（x）在R上單調遞增.

∵2f（x）=f（2x），∴f（x+t）≥f（2x） 即x+t≥2x恒成立，

∴t≥（2-1）x恒成立，∵函數（2-1）x在x∈t，t+2上單調遞增，

∴（2-1）x在x∈t，t+2上的最大值是（2-1）（t+2），

∴t≥（2-1）（t+2）恒成立，∴（2-2）t≥2（2-1），即：t≥2，所以選A.

評注 在解決含有參數的不等關系時，常采用分離變量的方法，將條件轉化為所求量與某個函數的不等關系.如：“t<f（x）”（t>f（x）），若對于給定區間中的任意x原不等式恒成立，則t比f（x）的最小值小（t比f（x）的最大值大）就能保證原不等關系恒成立;而對于給定區間，則t比f（x）的最大值小（t比f（x）的最小值大）就能保證原不等式有解.

參考文獻：

[1]蔣壽榮.新高考試卷中的全稱量詞和存在量詞[J].數學通訊，2009（05）：38.

[2]何豪明.全稱量詞表示的恒成立問題與存在量詞表示的存在問題[J].中學生數學，2009（08）：37.

[責任編輯：李 璟]