兩平方反比力在球體（殼）模型中的強度公式對比

楊天才

摘 要：萬有引力是在1687年由牛頓發現的，庫侖力是法國物理學家查爾斯·庫侖在1785年發現的，它們都滿足與距離的平方成反比，即平方反比律，由他們在球體（殼）周圍產生的引力場強度和電場強度非常相似，在球殼內部為零，在球體內部強度與距離成正比，在球體外部與距離的平方成反比，本文對兩種強度做對比.

關鍵詞：萬有引力;庫侖力;電場強度;球體;球殼

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0077-03

萬有引力是在1687年由牛頓發現的，庫侖力是法國物理學家查爾斯·庫侖在1785年發現的，它們都滿足與距離的平方成反比，即平方反比律，由他們在球體（殼）周圍產生的引力場強度和電場強度非常相似，在球殼內部為零，在球體內部強度與距離成正比，在球體外部與距離的平方成反比.具體見下表：

引力場強度電場強度

定義式g=GMr2

E=kQr2

球體空腔內部特點勻質球體在空腔內任意一點位置形成的合引力場強度為零均勻帶電球殼在其內部任意一點位置形成的合場強為零（法拉第圓筒實驗）

勻質（或均勻）實心球體內部的強度公式（r<R）

g=43Gπρ·r（ρ表物質的密度）

E=43kπρ′·r（ρ′為體電荷密度，可理解帶電體單位體積的帶電量）

勻質（或均勻）實心球體外部的強度公式（r>R）

g=GMr2

E=kQr2

勻質（或均勻）實心球體在空間產生的強度隨離球心的距離的函數圖像圖1圖2

球殼在空間產生的強度隨離球心的距離的函數圖像

一、部分結論推導和應用

結論一 在勻質球體的空腔內任意位置處，質點受到的萬有引力的合力為零.

解析 一個勻質球殼，可視為無限多厚度可以忽略不計的同心球殼組成.取一個球殼，并過球殼內任一點O作一圖5對頂角很小的對頂圓錐，如圖5所示.這時圓錐底面可視為兩質量元，質量分別為m1和m2，設兩質量元半徑為r1和r2且到O點的距離為R1和R2，球殼密度為ρ，則它們對于O處質點（m）的萬有引力分為F1=Gm1mR21=Gπr21ρmR21，F2=Gm2mR22=Gπr22ρmR22，根據相似三角形對應邊成比例，有R1r1=R2r2，所以F1=F2，因兩引力方向相反，所以其合引力為零.依此類推，球殼上其他任意兩個對應部分，在球殼內任意一點產生的合引力也為零，從而球殼組成的球層對其任意點的合引力為零，合引力場強度也為零.

結論二 均質實心星球內部某點的引力場強度與該點到星球球心的距離r成正比.

解析 一個位于該星球內部，且距星球心為r的物體受到星球的萬有引力，就可視為厚度為（R-r）的球層和半徑為r的球體的引力的合力.因為球層對其內部任一點的引力為零，所以物體受到的星球引力就等于半徑為r的球體所產生的引力.若設均質星球體的密度為ρ，則g=GMr2=G43πr3ρr2=43Gπρ·r，即在星球內部，某點的引力場強度與該點到星球球心的距離r成正比.

結論三 均勻實心帶電球體內部某點的電場強度與該點到球心的距離r成正比.

解析 由法拉第圓筒實驗，電荷只分布在導體的外表面上，導體內部沒有靜電荷，即均勻帶電薄球殼上的電荷在球的空腔內任一點產生的場強為零，在球殼外某點產生的場強 與將球殼中所有電荷集中在球心后在該點產生的場強相等.若設均勻實心帶電球體單位體積帶的電荷量的密度為ρ′，則E=kQ′r2=k43πr3ρ′r2=43kπρ′·r，即在帶電體內部，某點的電場強度與該點到球心的距離r成正比.

例1 （2012年高考全國卷）假設地球是一半徑為R、質量分布均勻的球體，一礦井深度為d.已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零.礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為（）.

A.1-dR B.1+dR C.（1-dR）2 D. （RR-d）2

解析 均勻球殼對內部質點的萬有引力合力為零.地面處重力加速度：mg=GMmR2 又M=ρ43πR3， 得g=43πGRρ;

同理礦井底部重力加速度： g′=43πG（R-d）ρ;所以g′g=1-dR，故A項正確.

點評 題目給出了“均勻球殼對內部質點的萬有引力合力為零”，但大多數同學沒理解這句信息而導致本題錯誤率較高.其實礦井底部重力加速度可等效半徑為R-d的小“地球”表面的重力加速度，這樣就大大簡化了問題.

例2 假設地球是一半徑為R質量分布均勻的球體.已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，不考慮地球自轉的影響，距離地球球心為r處的重力加速度大小可能為如圖6圖像中的哪一個（）.

圖6

解析 設地球的密度為ρ，當物體處于地心時，所受萬有引力為零，加速度為零;當距地心距離為r<R時，只有半徑為r的球體對其產生萬有引力，根據GM′mr2=ma，又M′=ρ43πr3， 得a=43πGrρ，即加速度與半徑成正比;當距地心距離為r>R時，根據GMmr2=ma，M=ρ43πR3得a=4R33r2πGρ，加速度與的平方成反比，故B項正確.

點評 本題再一次考查對“均勻球殼對內部質點的萬有引力合力為零”的理解，雖然不要求推導這個結論的由來，但要學生直接利用這個結論來解題.

例3 如圖7所示是某農家院內打出一口深度為d圖7的水井，如果質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，地球可以看作是質量分布均勻的球體，地球半徑為R，則水井底部和離地面高度為d處的重力加速度大小之比為（）.

A.R-dR B. （R2-d2）（R+d）R3

C.R2-d2RD.（R2-d2）（R+d）R2

解析 根據萬有引力定律，地球表面上的重力加速度g=GMR2.設離地面高度為d處的重力加速度為g′，由萬有引力定律有

g′=GM（R+d）2

，兩式聯立得g′=R2（R+d）2g，根據結論，球殼對其內部物體的引力為零，則礦井底部的物體m′只受到其以下球體對它的引力，則有g″=R-dRg，所以g″g′=（R2-d2）（R+d）R3，B項正確.

點評 本題考查天上某點和地球里某點的重力加速度之比，因它們滿足不同的規律，或者說定義域不同，分段函數的函數關系就不同，這是要注意的.

例4 已知均勻帶電球體在其外部產生的電場與

圖8

一個位于球心的、電荷量相等的點電荷產生的電場相同，而均勻帶電球売在其內部任意一點形成的電場強度為零.如圖8所示，現有一半徑為R、電荷量為Q的均勻帯正電絕緣球體，M、N為一條直徑上距圓心O為R2的兩點，靜電力常量為k，則（）.

A.M、N點的電勢小于O點的電勢

B.M、N點的電場強度方向相同

C.M、N點的電場強度大小均為kQ2R2

D.M、N點的電場強度大小均為kQ8R2

解析 根據題述可知均勻帶電絕緣球體的電場線由圓心沿半徑向外，由電場線方向電勢降低可知，M、N點的電勢小于O點的電勢，選項A正確.已知均勻球體在其外部產生的電場與一個位于球心的、電荷量相等的點電荷產生的電場相同，所以求MN兩點的電場就等效為半徑為R2的球體在MN兩點的場強，以ON為半徑的球體所帶電量為Q′=43π（R2）343πR3Q=18Q，產生的場強大小為E=kQ′（R2）2=kQ2R2，且方向相反，選項C正確.

點評 均勻帶電球體可以理解為體電荷密度不變，即體電荷密度是每單位體積的電荷量，球體所帶電量之比為半徑之比的三次方，從而求球體表面的場強.

例5 均勻帶電的球殼在球外空間產生的電場等圖9效于電荷集中于球心處產生的電場.如圖9所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過半球頂點與球心O的軸線，在軸線上有M、N兩點，OM=ON=2R，已知M點的場強大小為E，則N點的場強大小為（）.

A.kq4R2 B.kq2R2-E C.kq4R2-E D.kq2R2+E

解析 把半個帶正電荷的球面等效為整個帶正電荷的球面跟半個帶負電荷球面疊加在一起.整個帶正電荷的球面在N點的場強E1=k2q（2R）2=kq2R2，半個帶負電荷球面在N點的場強E2=E，N點的場強EN=E1-E2=kq2R2-E，則B項正確.

點評 本題是信息題，信息題的特點是起點高、落點低，理解“均勻帶電的球殼在球外空間產生的電場等效于電荷集中于球心處產生的電場”，即將面電荷等效為點電荷，然后用割補法構建一個球殼模型與題目建立聯系順利求解.

圖10

例6 （2013年高考上海卷）半徑為R，均勻帶正電荷的球體在空間產生球對稱的電場;場強大小沿半徑分布如圖10所示，圖中E0已知，E-r曲線下O-R部分的面積等于R-2R部分的面積.求：

（1）寫出E-r曲線下面積的單位;

（2）己知帶電球在r≥R處的場強E=kQr2，式中k為靜電力常量，該均勻帶電球所帶的電荷量Q為多大;

（3）求球心與球表面間的電勢差ΔU;

（4）質量為m，電荷量為q的負電荷在球面處需具有多大的速度可以剛好運動到2R處.

解析 （1）根據關系式U=Ed可知，E-r曲線下面積表示電勢差，其單位是V（伏特）.

（2）將r=R，E=E0，代入關系式E=kQr2，可得E0=kQR2，所以Q=E0R2k.

（3）根據（1）可知，球心與球表面間的電勢差ΔU=SOR=12E0R.

（4）由動能定理qΔU=12mv20=12qE0R可得，v0=qE0Rm.

點評 本題考查E-r圖像的意義，帶電球體周圍電場的規律，以及電場力做功等問題.根據圖像與橫軸所圍的面積在數值上表示兩點間電勢差，均勻帶電球體周圍的場強可以理解為在球內部均勻增加，外部逐漸減小.

從以上分析可以看出，萬有引力和庫侖力都是平方反比定律，由他們在球體（殼）周圍產生的引力場強度和電場強度非常相似，都在球殼內部為零，在球體內部強度與距離成正比，在球體外部與距離的平方成反比.

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心. 普通高中教科書·物理[M].北京：人民教育出版社，2019：6.

[責任編輯：李 璟]